(共33张PPT)
3.2 函数模型及其应用
3.2.1
几类不同增长的函数模型
主题
三种不同增长的函数模型
观察函数y=x2，y=2x，y=log2x在区间(0，+∞)上的图象，思考以下几个问题：
课前自主学习
1.三个函数在区间(0，+∞)上的图象有什么特点？
提示：三个函数在区间(0，+∞)上的图象都是上升的，即单调递增.
2.当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？
提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y=2x增长速度最快，y=log2x增长速
度最慢.
3.试着完成下面的填空：
函数
性质
y=2x
y=log2x
y=x2
在(0，+∞)上的增减性
_______
_______
_______
增长速度
_________
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐
表现为与____
“平行”
随x增大逐渐
表现为与____
“平行”
在(0，+∞)上，随x的增大，图象平稳上升
增函数
增函数
增函数
越来越快
y轴
x轴
结论：
1.常见的函数模型
_________、_________、_________、_________、_______.
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
2.三类函数的比较
y=ax(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xα(α>0)
单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
爆炸式
越来越慢
比较平稳
3.增长率问题
日常生活中常见的问题，计算公式为_________，若某月的产值是b，月增长率
为p，则此月开始第n个月后的产值是_______.
y=N(1+p)x
b(1+p)n
【对点训练】
1.下列函数中y随x的增大而增大速度最快的是
( )
A.y=
ex
B.y=100
ln
x
C.y=x100
D.y=100·2x
【解析】选A.指数函数y=ax，在a>1时，y随x的增大呈爆炸式增长，并且a值越
大，y随x增大的速度越快，应选A.
2.
如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型
为
( )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.
课堂合作探究
类型一
几类函数模型增长差异的比较
【典例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是
( )
A.y=2
021x
B.y=x2
021
C.y=log2
021x
D.y=2
021x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是_______ .?
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解题指南】(1)四个函数分别为指数函数、幂函数、对数函数、一次函数，都是增函数的情况下，指数函数增长最快.
(2)结合表中变量的增长情况，y2符合指数函数增长.
【解析】(1)选A.比较幂函数、指数函数、对数函数、一次函数的增长情况可知，指数函数增长速度最快.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案：y2
【方法总结】三种函数模型的表达式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型：表达式为f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a>0，b>0，且b≠1)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0
(2)对数函数模型：表达式为f(x)=mlogax+n(m，n，a为常数，m>0，a>0，且a≠1)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0(3)幂函数模型：表达式为f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.
【跟踪训练】
1.如表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则
最可能的函数模型是
( )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
x
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0.63
1.01
1.26
1.46
1.63
1.77
1.89
1.99
【解析】选D.根据x，y值的变化情况，最可能的是对数函数模型.
2.已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时
间x的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=
，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果运
动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是
( )
A.a B.b C.c D.d
【解析】选D.根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数.当
运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体.
【补偿训练】
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表所示：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为_______，
_______，_______.?
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
【解析】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，变量y3随x的变化越来越慢，为对数函数；y2随x的变化越来越快，为指数函数；y1随x的变化速度介于指数函数与对数函数之间，为幂函数.
答案：y3 y2 y1
类型二
几类函数模型的应用
【典例2】某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为
100
t，120
t，130
t.为了预测今后每个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a，b，c均为待定系数，x∈N
)或函数y=g(x)
=pqx+r(p，q，r均为待定系数，x∈N
)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137
t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
【解题指南】先根据前三个月的数据用待定系数法求得两个函数模型的表达
式，再用两个模型估测第4个月的数据，最后确定拟合较好的函数模型.
【解析】根据题意可列方程组
解得
所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①
同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②
再将x=4分别代入①与②式得
f(4)=-5×42+35×4+70=130(t)，g(4)=-80×0.54+140=135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模
拟函数比①式更好，故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
【方法总结】建立函数模型要遵循的原则
(1)简化原则：
建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：
建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
(3)反映性原则：
建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
【拓展延伸】求解函数应用题必须突破三关
(1)阅读关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.
(2)建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.
(3)数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
【跟踪训练】
水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦
已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一
定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为
18
m2，经过3个月其覆盖面积为27
m2.水葫芦的覆盖面积y(单位m2)与经过时间
x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=
+q(p>0)可供选
择.(参考数据：
≈1.414，
≈1.732，lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式.
(2)求原先投放的水葫芦的覆盖面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放的1
000倍.
【解析】(1)因为y=kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y=
+q(p>0)的增
长速度越来越慢，
所以依题意应选函数y=kax(k>0，a>1)，
则有
解得
所以y=8×
(x∈N).
(2)当x=0时，y=8.
设经过x个月该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放的
1
000
倍.
由题意得8×
=8×1
000，
所以x=
1
000=
≈17.
答：原先投放的水葫芦的覆盖面积为8
m2，约经过17个月该水域中水葫芦的覆
盖面积是当初投放的1
000倍.
【知识思维导图】(共39张PPT)
3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时 一次函数、二次函
数、幂函数模型的应用举例
课堂合作探究
类型一
一次函数模型的应用实例
【典例1】(1)一辆匀速行驶的汽车90
min行驶的路程为180
km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是
( )
A.y=2t
B.y=120t
C.y=2t(t≥0)
D.y=120t(t≥0)
(2)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用
人数为
( )
A.15 B.40 C.25 D.130
【解题指南】(1)利用待定系数法确定函数关系式.
(2)根据y的值分段求x的值.
【解析】(1)选D.因为90
min=1.5
h，所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y=120t(t≥0).
(2)选C.由题意，当4x=60时，x=15?[1，10)；
当2x+10=60时，x=25∈[10，100)；
当1.5x=60时，x=40?[100，+∞).
【方法总结】一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
【跟踪训练】
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象.
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象.
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25
cm，则可以灌溉土地多少公顷？
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
【解析】(1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌
溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y=a+bx(a，
b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4，21.1)，
(24.0，45.8)，代入y=a+bx，得
用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数
模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，
这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深
度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得到的函数模型为y=2.2+1.8x，则由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当最大积雪深度为25
cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.
【补偿训练】
1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4
000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存放x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为
( )
A.y=0.2x(0≤x≤4
000)
B.y=0.5x(0≤x≤4
000)
C.y=-0.1x+1
200(0≤x≤4
000)
D.y=0.1x+1
200(0≤x≤4
000)
【解析】选C.由题意知，普通自行车存放x辆次时，电动自行车存放(4
000-x)辆次，则y=(4
000-x)×0.3+0.2x=-0.1x+1
200，0≤x≤4
000.
2.一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示.
给出以下几个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水.
其中一定正确的论断序号是_______.?
【解析】从0点到3点，2个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、1个排水口，故③不一定正确.
答案：①②
类型二
二次函数模型的应用实例
【典例2】经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格
(单位：元)均为时间t
(单位：天)的函数，且销售量满足f(t)=
价格满足g(t)=200-t
.
(1)求该种商品的销售额h(t)与时间t的函数关系.
(2)若销售额超过16
610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该
商品在哪几天的收益达到理想程度？
【解题指南】(1)利用h(t)=f(t)·g(t)，求出函数的解析式.(2)令h(t)>
16
610解出t的范围即可得出结论.
【解析】
(1)由题意知，当1≤t≤60，t∈N时，
h(t)=f(t)·g(t)=(60+t)·(200-t)
=-t2+140t+12
000，
当61≤t≤100，t∈N时，h(t)=f(t)·g(t)=
·(200-t)=
t2-250t+
30
000，
所求函数关系为
h(t)=
(2)当1≤t≤60，t∈N时，
h(t)=-t2+140t+12
000>16
610，解得53≤t≤60，
当61≤t≤100，t∈N时，
h(t)=
t2-250t+30
000>16
610，
解得t<250-2
<62，所以取t=61.
又61<250-2
，
综合知该商品在第53～61天的收益达到理想程度.
【方法总结】解决二次函数模型应用题的四个步骤
(1)审题：理解题意，设定变量x，y.
(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域.
(3)解模：运用二次函数相关知识求解.
(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案.
【跟踪训练】
1.已知一辆汽车正在以120
km/h的速度在高速公路上行驶，突然发现前面有危
险，立即刹车，用了5
s停住，则这辆汽车的刹车距离大约是
( )
A.83
m
B.100
m
C.150
m
D.300
m
【解析】选A.因为120
km/h=120
000
m/
m/s，
根据运动学方程v=v0+at，s=v0t+
at2，
可得0=
+5a，s=
×5+
a×52，
所以a=
≈83(m).
2.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【解析】(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100，300]，n=kx+b(k<0)，
因为0=300k+b，即b=-300k，所以n=k(x-300).
所以利润y=(x-100)k(x-300)
=k(x-200)2-10
000k(x∈(100，300])，
因为k<0，所以x=200时，ymax=-10
000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)由题意得，k(x-100)(x-300)=-10
000k·75%，
x2-400x+37
500=0，解得x=250或x=150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
类型三
幂函数模型的应用实例
【典例3】(1)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系
R=a
(a为常数且a>0)，广告效应D=R-A.那么对于此商品，某商人为了取得
最大的广告效应，投入的广告费应为_______.(用常数a表示)?
(2)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品
的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根
成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
①分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
②若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？
【解题指南】(1)即求D取得最大值时，A的取值.
(2)根据已知条件，函数模型易求，再求函数最值需转化运用二次函数知识.
【解析】(1)由题意得D=a
，且A≥0，所以当
，
即A=
时，D最大，最大为
.
答案：
(2)①设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)=k1x，g(x)=k2
.
由已知得f(1)=
=k1，g(1)=
=k2，
所以f(x)=
x(x≥0)，g(x)=
(x≥0).
②设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品为(20-x)万元.
依题意得，y=f(x)+g(20-x)
=
(0≤x≤20).
令t=
(0≤t≤2
)，则x=20-t2(0≤x≤20)，y=
(t-2)2
+3，所以当t=2，即x=16，20-x=4时，收益最大，ymax=3万元.
答：投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，能获得最大收益，其最大收益为3万元.
【方法总结】幂函数模型解析式的两种类型及求解方法
(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.
(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量、变量等各元素之间的关系，列出两个变量x，y之间的解析式，进而解决问题.
【跟踪训练】
为了预防冬春季节交替形成的流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，
已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y
与时间x
成正比例，
药物燃烧完后满足y=
(k≠0)，如图所示，现测得
药物8
min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量
为6
mg，请按题中所供给的信息，解答下列各题.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3
mg且持续时间不低于
10
min时才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【解析】
(1)当0≤x≤8时，设y=λx，代入(8,6)，得到λ=
，所以y=
x
(0≤x≤8)，当x≥8时，把(8,6)代入得到k=48，所以y=
，
所以y=
(2)当0≤x≤8时，令
x=3，得x=4，当x>8时，令
=3，得x=16，所以空气
中每立方米的含药量不低于3
mg时的持续时间为16-4=12
>10，所以此次消
毒有效.
【补偿训练】
某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应y(单位：元)是产品的销售额与广告费x(单位：元)之间的差，如果销售额与广告费x的算术平方根成正比，根据对市场的抽样调查，每付出100元广告费，所得的销售额是1
000元.
(1)求出广告效应y与广告费x之间的函数解析式.
(2)该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应？是不是广告费投入越多越好？
【解题指南】(1)根据题意写出函数的解析式并写出定义域.
(2)用换元法将函数解析式转化为二次函数模型，求出能获得的最大广告效应.
【解析】(1)设销售额为t元，由题意知t=k
，x≥0，
又因为当x=100时，t=1
000，
所以1
000=k·
，解得k=100.
所以t=100
，所以y=100
-x，
所以广告效应y与广告费x之间的函数解析式为：
y=100
-x(x≥0).
(2)令u=
(u≥0)，则x=u2，
所以y=100u-u2=-(u-50)2+2
500，
所以当u=50，即x=2
500时，y有最大值2
500.
所以该企业投入2
500元广告费时能获得最大的广告效应.
当u>50，即x>2
500时，y逐渐减小，所以并不是广告费投入越多越好.
【知识思维导图】(共25张PPT)
第2课时 指数型、对数型
函数模型的应用举例
课堂合作探究
类型一
指数函数模型的应用举例
【典例1】(1)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为_____万件.?
(2)已知元素“碳14”每经过5
730年其质量就变成原来的一半.现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有_______年.(注：精确到十位，lg
2≈0.301
0，lg
4.1≈0.613)?
【解题指南】(1)代入数值解方程求参数a、b，再计算3月份的产量.
(2)根据半衰期列方程，通过取对数求解.
【解析】(1)由题意得
解得
所以y=-2×0.5x+2，所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案：1.75
(2)设距现在为x年，则有
=41%，两边取对数，得
0.41，所以
x=5
730×
≈5
730×
≈7
370.
答案：7
370
【方法总结】指数型函数模型在生活中的应用
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一.
【跟踪训练】
1.每次用同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的
，若洗x次后存留
的污垢在1%以下，则x的最小值是_______.?
【解析】每次洗去污垢的
，就是存留了
，
故洗x次后，还有原来的
(x∈N
)，故有
<1%，
所以5x>100，解得x的最小值为3.
答案：3
2.设在海拔x
m处的大气压强是y
Pa，y与x之间的函数解析式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105
Pa，1
000
m高空的大气压为0.90×105
Pa，求600
m高空的大气压强(结果保留3个有效数字).
【解析】将x=0，y=1.01×105，x=1
000，y=0.90×105分别代入函数解析式
y=cekx，
得
所以c=1.01×105，
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1
000k，
所以k=
由计算器得k≈-1.15×10-4，
所以y=1.01×105×
.
将x=600代入上述函数解析式得
y=1.01×105×
，
由计算器算得y=0.943×105.
所以600
m高空的大气压强约为0.943×105
Pa.
类型二
对数函数模型的应用举例
【典例2】声强级Y(单位：分贝)由公式Y=10lg
给出，其中I为声强(单
位：W/m2).
(1)平常人交谈时的声强约为10-6
W/m2，求其声强级.
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
【解题指南】(1)已知自变量值，求函数值，代入求解.
(2)已知函数值，求自变量，代入求解.
【解析】(1)当声强为10-6
W/m2时，由公式Y=10lg
得，Y=10lg
=10lg
106=60(分贝).
(2)当Y=0时，由公式Y=10lg
得，
10lg
=0.
所以
=1，即I=10-12
W/m2，则能听到的最低声强为10-12
W/m2.
【方法总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
【跟踪训练】
1.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千
克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2
000·ln
.当
燃料质量是火箭质量的_____倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.?
【解析】由题意可得12
000=2
000ln
，ln
=6，解得1+
=e6，
所以
=e6-1.
答案：e6-1
2.地震的等级是用里氏震级M表示，其计算公式为，M=lg
A-lg
A0，其中A是地震时的最大振幅，A0是“标准地震的振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差).一般5级地震的震感已比较明显，则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍.?
【解析】因为8=lg
A1-lg
A0，5=lg
A2-lg
A0，所以A1=108A0，A2=105A0，所以A1∶A2=108A0∶105A0=1
000.
答案：1
000
类型三
拟合型函数模型的应用举例
【典例3】某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销
售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格
P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+
(k为正常数)，日销售
量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如表所示：
x(天)
10
20
25
30
Q(x)(件)
110
120
125
120
已知第10天的日销售收入为121(百元).
(1)求k的值.
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)=ax+b，②Q(x)=a|x-25|+b，③Q(x)=a·bx，
④Q(x)=a·logbx.
请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的变化关系，并求出该函数的解析式.
(3)求该服装的日销售收入f(x)(百元)的最小值.
【解题指南】(1)根据题中条件求k的值.(2)由题意选择一种函数模型，根据待
定系数法求其解析式.(3)借助(2)中函数解析式求其最小值.
【解析】(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)=
×110=121，
解得k=1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选
②Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|
(1≤x≤30，x∈N
).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|
=
所以f(x)=P(x)·Q(x)=
当1≤x<25且x∈N
时，y=x+
在[1，10]上是减函数，在[10，25)上是增函
数，
所以当x=10时，f(x)取得最小值，f(x)min=121；
当25≤x≤30时，y=
-x为减函数，
所以当x=30时，f(x)取得最小值f(x)min=124.
综上所述，当x=10时，f(x)取得最小值121.
所以该服装的日销售收入的最小值为121百元.
【方法总结】数据拟合问题的三种求解策略
(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.
(2)列式比较法：若题目所涉及的是最优方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.
【拓展延伸】数据拟合的作用
一般情况下数学建模，是离不开假设的，假设的作用主要表现在以下几个方面：
(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.
(2)降低解题难度，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.
(3)一般情况下，是先在最简单的情况下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解.
【跟踪训练】
某品牌手机新品投放市场后第一个月销售100部，第二个月销售200部，第三个月销售400部，第四个月销售790部，则下列函数模型中能较好地反映销售量y(单位：部)与投放市场的月数x之间关系的是
( )
A.y=100x
B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x
D.y=100log2x+100
【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可.
【知识思维导图】