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8.2消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）
一、教学内容：第96——98页。
二、教学目标：
1、通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。
2、会借助二元一次方程组解简单的实际问题。
三、教学重难点：
1、教学重点：用代入法解二元一次方程组。
2、教学难点：代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。
四、教学过程：
（一）前提测评：
在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，可以列方程组 表示本章引言中问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程_______________________来解。
分析：[1] 2x＋(22－x)=40。观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系
[2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。
（二）认定目标：
板书、用小黑板或用多媒体展示教学目标。
（三）导学达标：
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40
的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。（教师在课件中一步步导出过程）
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们
熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。
通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。
归纳：
由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
这是对代入法的基本步骤的概括，代入法通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”进行等量替换，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，从而实现消元。
例1 用代入法解方程组
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便。
解：由①，得x＝y＋3。 ③
把③代入②，得3(y十3)一8y=14 (把③代入①可以吗 试试看)
解这个方程，得y＝一1。
把y=－l代入③，得 (把y＝－1代入①或②可以吗 )
x＝2
所以这个方程组的解是
由于方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，而不能代入①。为使学生认识到这一点，可以让其试试把③代入①会出现什么结果。得到一个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值。其中代入方程③最简捷。为使学生认识到这一点，可以让其试试各种代入法。
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2:5。某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶
分析：问题中包含两个条件：大瓶数：小瓶数＝2：5，大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液=总生产量。
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶。
根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的相等关系，得
解这个方程，得x=20 000。
把x=20 000代入①，得y=50 000，
这个方程组的解是
答：这个工厂一天应生产20 000大瓶和50 000小瓶消毒液。
代入法解题步骤：
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用。它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型。
（四）达标测评：
完成课本第98页的练习。
（五）课堂小结：
1．解二元一次方程组的思想。
2．引导学生总结出用代入法解二元一次方程组的解题步骤。
3．用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧；②代入的技巧。
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确。
（六）布置作业：
课本第103页习题8.2的第2题。
五、课后评价与反思：
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8.1二元一次方程组
一、教学内容：第93——94页。
二、教学目标：
1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次
方程组的解。
2、学会用类比的方法迁移知识；准确理解二元一次方程、二元一次方程组及解的定义。
三、教学重难点：
1、教学重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。
2、教学难点：弄懂二元一次方程组、解的含义。
四、教学过程：
（一）前提测评：
提出问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队
要求在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜多少场？负多少场？
（老师提出问题，要求学生根据所学过的知识解答问题）
（二）认定目标：
板书、用小黑板或用多媒体展示教学目标。
（三）导学达标：
1、提出问题:假如用y 来表示负场数，会得到怎样的方程？
2、提出问题：观察左边两个方程和右边这个方程有什么相同点和不同点？
3、提出问题：什么叫做二元一次方程的解？
定义：
方程中都含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程。
定义：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4、课堂练习：
①、请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由。
(1)2x+5y=10 (2)2x+y+z=1
（3） (4)2x+10xy=0
②、判断下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、提出问题：要解决这场球赛的问题，单单满足方程①不满足方程②或者只满足方程②不满 足方程①行不行？
定义：
一般的，使二元一次方程两边的值相等垢两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义：
一般的，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
（四）达标测评：
1、完成课本第94页的练习。
2、补充练习：
①、下列各对数值中是二元一次方程x+2y=2的解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
②、下列各对数值中是二元一次方程组 的解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
③、根据题意列出二元一次方程组：
加工某种产品需要两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
（五）课堂小结：
1、二元一次方程的概念是什么？
2、什么叫二元一次方程组？
3、二元一次方程的解的概念是什么？
4、二元一次方程组的解的概念是什么？
（六）布置作业：
课本第95页习题8.1的第1、2题。
五、课后评价与反思：
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第八章 二元一次方程组检测试卷（一）
一、细心选一选，相信你一定能选出正确的答案（每题3分，共30分）
1．下列方程中，二元一次方程是（ ）．
A．xy=1 B．y=3x－1 C．x+=2 D．x2＋y－3=0
2．解方程组：（1），（2），（3），（4）比较适宜的方法是（ ）．
A．（1）（2）用代入法，（3）（4）用加减法； B．（1）（3）用代入法，（2）（4）用加减法；
C．（2）（3）用代入法，（1）（4）用加减法； D．（2）（4）用代入法，（1）（3）用加减法；
3．已知是方程组的解，则a、b间的关系是（ ）．
A．4b－9a=1 B．3a +2b=1 C．4b－9a=－1 D．9a +4b=1
4．二元一次方程2x+y＝7的正整数解有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果是关于，的二元一次方程的一个解，则等于（ ）
A．10 B．8 C．－7 D．－5
6．已知与都是方程的解，则与的值为（ ）
Ａ．， Ｂ．，Ｃ．， Ｄ．，
7．下列方程中，与不同解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8．若| x+y+1|+(2x－3y－2)2＝0，则2x3－x2y－3y2的值是（ ）．
A．0.5 B．－2 C．2 D．0.5
9．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
10．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3，请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）．
（A）106cm （B）110cm （C）114cm （D）116cm
二、耐心填一填，相信你能行（每空23分，共30分）
11．方程组的解为______ ．
12．已知x+y=4且x－y=10，则2xy= ．
13．如果2ay+6b5x与－4a2xb2－4y是同类项，则x= ，y= ．
14．若mx+(m－5)y+2=0是关于x、y的二元一次方程，那么m的取值范围是 ．
15．图1所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g．
16．若方程x+y=3，x－y=1和x－2my= 0有公共解，则m的取值为_________．
17．某工厂第一季度生产甲、乙两种机器480台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%，设该厂第一季度生产甲、乙两种机器各x、y台，则可列方程组为 ．
18．若方程mx+ny = 6的两个解是，，则m－n = ．
19．写出一个解为的二元一次方程组 ．
20．图2是一个正方体的展开图，标注了字母a的面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，则xy＝________．
三、解答题：（共20分）
21．解下列方程组（1）解方程组 （2）
22．已知方程组 与方程组 的解相同．求a、b的值．
四、解答题：（40分）
23．2009年2月20日江苏盐城市有二十余万市民饮用水出现了问题，原因是水源地里一家化工企业公然偷排30吨工业废水所造成的．为了饮水安全，李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家从甲、乙两个供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元；陈刚家从甲、乙两个供水点分别购买了8桶和12桶，共花费66元．若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装的矿泉水更便宜一些？
生产A种产品件数（件） 生产B种产品件数（件） 共用时间（分）
1 2 55
3 2 85
24．某工厂生长A、B两种产品，下表记录了工人小赵的工作情况：根据提供的信息，求小赵每生长一件A产品，每生长一件B产品，分别用多长的时间？
捐款 1 2 5 10
人数 6 7
25．2009年11月中旬，我省遭遇罕见暴雪，暴雪过程整体已达60年一遇标准．部分地区灾情严重．某学校积极组织捐款支援灾区，初三(1)班55名同学共捐款274元，捐款情况如右表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．
26．北京、上海两地的两个厂家同时生产同种型号的大型计算机，除本题使用外，北京可调运给外地10台，上海可调运给外地4台，现协议给武汉6台，重庆8台，每台的运费如下表：
费用 终点 起点 武汉 重庆
北京 400元 800元
上海 300元 500元
现有一种调运方案，设计的运费为7600元，问这种调运方案中，北京、上海应分别调运武汉、重庆各多少台？
参考答案
1．B；
2．D；
3．D；
4．C；
5．D；
6．A；
7．D；
8．C；
9．D；
10．A ．
11．；
12．－42；；
13．2，－2；
14．m≠0，m≠5；
15．20g；
16．1；
17．；
18．2；
19．；
20．3．
21．（1）（2）．
22．解：由①、③组成方程组解之，得
把代入②、④得方程组解之，得
23．解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y元．
由题意，得解得，由于3.5＞3，所以到甲供水点购买便宜一些．答：到甲供水点购买便宜一些．
24．解：设小赵每生长一件A产品需要x分钟，每生长一件B产品需要y分钟，依题意有：知，解得．
答：小赵每生长一件A产品需要15分钟，每生长一件B产品需要20分钟．
25．解：设捐款2元和5元的人数分别为x人和y人，依题意得
解得
答：表中捐款2元和5元的人数分别为4人和38人．
26．解：设北京调运到武汉x台计算机，调运到重庆y台，则上海调运到武汉(6－x)台,调运到重庆(8－y)台.根据相等关系可得
解得
6－x=0，8－y=4.
即北京调运到武汉6台,调运到重庆4台;上海调运到武汉0台,调运到重庆4台,恰好总运费为7600元．
9cm
14cm
图3
巧克力
果冻
50g砝码
图1
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第八章 二元一次方程组检测试卷（二）
一、亮出你的观点，明智选择！（每小题3分，共30分）
1. 设甲数为，乙数为，则“甲数的倍比乙数的一半少”列成方程为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
2. 方程的正整数解的个数是（ ）
（A）个 （B）个 （C）个 （D）个
3. 如果是方程组的解，则、的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 若与的和仍为一个单项式，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 下列各组数是二元一次方程组的解的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6. 根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
（A）元 （B）元 （C）元 （D）元
7. 关于、的方程组的解也是方程的一组解，那么的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8. 一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数 ，则这个两位数是（ ）
（A）86 （B）68 （C）97 （D）73
9. 如图，宽为50 cm的长方形图案由10个一样大小的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）.
（A） 400 cm2 （B） 500 cm2 （C） 600 cm2 （D） 4000 cm2
10. 某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.
若设捐款2元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组（ ）.
（A）（B）（C）（D）
二、写出你的结论，完美填空！（每小题3分，共30分）
11. 如果，满足，那么_______________.
12. 如果且，则_______________.
13. 写出一个以 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 为解的二元一次方程组 ．
14. 方程组的解是__________________.
15. 给出下列程序：
且已知当输入的值为1时，输出值为1；输入的值为－1时．输出值为－3．
则当输入的值为时．输出值为 ．
16. 用加减消元法解方程组，由①2②得 ．
17. 白羊的只数比黑羊的脚数少，黑羊的只数比白羊的脚数少，则白羊有_____只，黑羊有____只.
18. 若，则．
19. 若，，则________________.
20. 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为 只、树为 棵．
三、展示你的思维，规范解答！（共60分）
21.（12分）解方程组：
（1） （2）
23.（8分）如图，某纸品加工厂为了制作甲，乙两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出长方形的宽和正方形的边长相等．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲，乙两种小盒各多少个？
24.（8分）东风棉纺厂为适应市场需求，新上一条生产流水线，分别向银行申请甲、乙两种贷款共万元，每年共需付利息元.已知甲种贷款的年利率为，乙种贷款的年利率为.请问甲、乙两种贷款分别为多少万元？
25.（12分）一个三位数的三个数字的和是，百位数字与十位数字的和比个位数字大，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大，求原来的三位数.
26.（12分）阅读以下材料,某城市出租车收费标准为:
①起步费（千米）元；②千米后每千米元.
张老师一次乘车千米，花了元;第二次乘车千米，花去了元.
请你编制适当的问题,列出相应的二元一次方程组,写出求解过程.
参考答案
一、1.C；2.B；3.C；4.B；5.A；6.C；7.A；8.D；9.A；10.A；
二、11.；12.；13. 答案不惟一，如；14.；15. －；16.； 17.，；
18.；19.；20.，；三、21. （1）； （2）.23. 解：设可做成甲种小盒个，乙种小盒个． 根据题意，得 解得答：可做成甲种小盒30个，乙种小盒60个．
24.解：设甲种贷款万元，乙种贷款万元，根据题意，得
，解得.答：略.
25.解：设百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，根据题意，得
解得 所以原来的三位数是.
26. 此题为开放题,可编应用题如下：
某城市出租公司规定了千米内的起步费和超过千米后每千米的收费标准.张老师一次乘车千米,花了元,第二次乘车千米,花了元,求出租车千米内的起步费和超过千米后每千米的收费标准.
解:设出租车千米内的起步费为元,超过千米后每千米的收费标准为元,由题意得 解得
答：出租车千米内的起步费元,超过3千米后每千米收费为元.
共43元
共94元
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人教版教材七年级下册第八章 8.1二元一次方程组 课堂检测卷 时间：45分钟 姓名： 成绩：
一、基础题（每小题3分，共30分）
1．已知xm-1+2yn+1=0是二元一次方程，则m=_______，n=________．
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy=1 B．y=3x-1 C．x+=2 D．x2+x-3=0
3．已知是关于x、y的二元一次方程3x-ay=7的一个解，则a的值为（ ）
A．5 B． C．- D．-5
4．kx+（k-2）y=7是关于x、y的二元一次方程，则k值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≠2 C．k≠0或k≠2 D．k≠0且k≠2
5．下面三对数值是方程2x-y=4的解的是（ ）
（1） （2） （3）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（1）和（3）
6．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三个数组：（1） （2） （3）和两个方程组：Ⅰ． Ⅱ．那么（ ）
A．Ⅰ的解是（1），Ⅱ的解是（2） B．Ⅰ的解是（2），Ⅱ的解是（3）
C．Ⅰ的解是（3），Ⅱ的解是（1） D．Ⅰ的解是（2），Ⅱ的解是（1）
8．如果是方程2x+y=0的一个解（a≠0），那么（ ）
A．a、b同号 B．a、b异号
C．a、b可能同号也可能异号 D．a≠0，b=0
9.（2005，盐城）若一个二元一次方程组的一个解为，则这个方程
可以是：_________（只要求写出一组）．
10.（2005年，荆州）单项式-xa+bya-1与3x2y是同类项，则a-b的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．1
二、应用题（第11小题6分，第12小题14分，共20分）
11．已知│2a-4b│+（4b-5a）2=0，求a,b的值．
12．（应用题）（1）初一．六班买了35张电影票，共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，问甲、乙两种票各买了多少张？列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义找出问题的解．
（2）某工程队共有27人，每天每人可挖土4方或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人数分别是多少？
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8.2消元——二元一次方程组的解法（加减消元法）
一、教学内容：第99——102页。
二、教学目标：
1、会运用加减消元法解二元一次方程组。
2、体会解二元一次方程组的基本思想----“消元”。
三、教学重难点：
1、教学重点：会用加减法解二元一次方程组。
2、教学难点：会灵活运用加减法解二元一次方程组及消元的思想（二元转化为一元）。
四、教学过程：
（一）前提测评：
1、已知二元一次方程2x-3y=-15，用含y的式子表示x，则x=___ ___，用含x的式子表示y，则y=__ ___。
2、用代入法解方程组
（二）认定目标：
板书、用小黑板或用多媒体展示教学目标。
（三）导学达标：
1、上面的方程组，我们用代入法已经解出它的解，仔细观察，我们
可以看出 这个方程组的两个方程中，y的系数都是 ，用②—①，可消去未知数 ，得： 。再把x= 代入①，得： ，即：该方程组的解为： 。
2、联系上面的解法，解方程组
解答过程略
归纳：两个二元一次方程中，同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消法这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例3：用加减法解方程组
详细解答过程见课本第100页。
（即时训练）用加减法解下列方程组：
⑴ （2）
学生板演，教师订正。
例4详见课本第101页。
（四）达标测评：
1、完成课本第102页的练习。
2、反馈训练：
（1）、在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时，y=3；则k=______，b=_______。
（2）、若3a+2b=4，2a-b=5，则5a+b=__________。
（3）、已知甲、乙两人共同解方程组，如果甲看错了方程①中的a，得方程组的解为，而乙看错方程②中的b，得到方程组的解是，请求a2010+（-b）2011的值。
（五）课堂小结：
1、加减消元法的步骤：①将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数_____________的两个方程。②把这两个方程____________，消去一个未知数。③解得到的___________方程。④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。⑤确定原方程组的解。
2、_______法和______法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过_____使方程组转化为________方程，只是_____的方法不同。当方程组中的某一个未知数的系数______时，用代入法较简便；当两个方程中，同一个未知数系数_______或______，用加减法较简便。应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法。
（六）布置作业：
课本第103习题8.2的第3题。
五、课后评价与反思：
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人教版教材七年级下册第八章 8.2消元——二元一次方程组的解法 课堂检测卷 时间：45分钟 姓名： 成绩：
一、选择题（每小题2分，共12分）
1.若是方程组的解，则a、b的值为（ ）
A. B. C. D.
2.对于方程组，用加减法消去x，得到的方程是（ ）
A. 2y=－2 B. 2y=－36 C. 12y=－2 D. 12y=－36
3. 将方程－x+y=1中x的系数变为5，则以下正确的是（ ）
A. 5x+y=7 B. 5x+10y=10 C. 5x－10y=10 D. 5x－10y=－10
4.解方程组比较简便的方法为( )
A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样
5．二元一次方程组的解满足2x－ky=10，则k的值等于( )
A．4 B．－4 C．8 D．－8
6．若二元一次方程2x+y=3，3x－y=2和2x－my=－1有公共解，则m取值为( )
A．－2 B．－1 C．3 D．4
二、填空题（每小题2分，共12分）
1. 若方程组的解满足x－y=5，则m的值为 。
2. 把方程2x＝3y+7变形，用含y的代数式表示x，x＝ ；用含x的代数式表示y，则y＝ 。
3. 当x＝－1时，方程2x－y＝3与mx+2y＝－1有相同的解，则m＝ 。
4.二元一次方程组的解是方程x－y=1的解，则k= 。
5. 若3x2a+b+1+5ya-2b-1=10是关于x、y的二元一次方程，则a－b= 。
6. 若与是方程mx+ny=1的两个解，则m+n= 。
三、解答题（共26分）
1. 用代入法解下列方程组：（10分）
（1） （2）
2. 用加减消元法解方程组：（10分）
（1） （2）
3.已知关于x、y的方程组和的解相同，
求a、b的值。（6分）
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8.3实际问题与二元一次方程组
一、教学内容：第105——107页。
二、教学目标：
1、经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。 2、能够通过分析寻找“已知”与未知“的等量关系，进而列出二元一次方程组。
三、教学重难点：
1、教学重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程。
2、教学难点：用方程组刻画和解决实际问题的过程。
四、教学过程：
（一）前提测评：
1、二元一次方程组的解法，有几种？分别是哪几种？
2、代入法和加减法解二元一次方程组的步骤是什么？
（二）认定目标：
板书、用小黑板或用多媒体展示教学目标。
（三）导学达标：
调动学生思考问题的积极性，要求学生自己找出未知数，表达出等量关系，再利用等量关系，列出二元一次方程组，并解之。
（四）达标测评：
课本第108页的复习巩固的1、2、3叫学生板演。
（五）课堂小结：
多个未知数的实际问题，列方程组是一种有效的数学工具，通常地设两个未知数,就得到两个方程。解决实际问题的关键是把它转化成数学问题，不过解出数学答案后还得检验它是否符合实际。
（六）布置作业：
课本第108页习题8.3的5、7、8题。
五、课后评价与反思：
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8.4三元一次方程组解法举例
一、教学内容：第111——114页。
二、教学目标：
1、会解三元一次方程组，感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想。
2、培养数学化归思想 ，使学生真正体验到数学分析的应用价值。
三、教学重难点：
1、教学重点：掌握三元一次方程组的解法。
2、教学难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组。
四、教学过程：
（一）前提测评：
问题：有人问：甲、乙丙三人的年龄，甲说：“我们三个人的年龄之和和26，乙说：“甲的年
龄的两倍再加上我的年龄就要比丙大18，丙说：“我比甲小1小，聪明的你能算出甲、
乙丙的年龄各是多少吗？
学生在老师的引导下独立思考后合作交流，思考以下问题：
1、选用什么数学工具来解呢？ 2、设哪些量为未知数呢？
（二）认定目标：
板书、用小黑板或用多媒体展示教学目标。
（三）导学达标：
刚才这一问题，如果我们不设两个未知数，只设一个未知数，用一元一次方程能否求解呢？
引导学生，认真的分析题意，找出能概括问题全部含义的三个等量关系并能设出未知数：设甲的年龄为x岁，设乙的年龄为y岁，设丙的年龄为z 岁，由题意得出方程组：
三元一次方程组的概念：
含有三个未知数的方程组，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫做三元一次方程组。
认真的观察这三个方程的特点，组此方程组下一个定义，然后分组讨论此方程的基本解法，分组讨论此方程组的消元方法，并能在组内交流三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法的区别，总结解方程组的基本思想是消元。
老师给学生提示三元一次方程组与一元一次方程及二元一次方程组的关系。并介绍三元一次方程组的解法：
（四）达标测评：
完成课本第114页的练习。
（五）课堂小结：
1、三元一次方程组的概念；
2、解三元一次方程组的基本思想及方法：
转化 转化
三元 二元 一元
代入、加减 代入、加减
（六）布置作业：
课本第114习题8.4的第1、2题。
五、课后评价与反思：
X+y+z=26…………………①
2x+y-z=18…………………②
x-z=1………………………③
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
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第八章 二元一次方程组检测试卷（三）
一、亮出你的观点，明智选择！（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中不是二元一次方程的是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
2. 已知，，用含的式子表示的结果是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 方程组的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 在等式中，当时，；当时，.则当时，等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 如果二元一次方程有两个解与，那么下列各组中仍是这个方程的解的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6. 已知与9互为相反数，则、的值是（ ）
（A） （B） （C）无法确定 （D）
7. 已知方程组的解满足方程，那么的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8. 已知方程组和有相同的解，则，的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9. 设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前面两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）.
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
10. 已知方程组与方程组有相同的解，则、、的值为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
二、写出你的结论，完美填空！（每小题3分，共30分）
11. 在中，如果，那么_______________.
12. 由方程可得到用表示的式子是________________.
13. 已知是二元一次方程组的解，则的值为___________.
14. 四川512大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，可列方程组为___________________.
15. 学生问老师：“您今年多大年龄？”老师风趣地说：“我像你这么大时，你才岁，你到我这样大时，我已经岁了.”那么老师的年龄是_________岁，学生的年龄是____________岁.
16. 甲、乙两人去商店买东西，他们所带的钱数之比为，甲用掉元，乙用掉 元，两人余下的钱之比是，则甲余下的钱为__________元，乙余下的钱为_________元.
17. 在一本书上写着方程组的解是，其中的值被墨汁盖住了，不过，我们可以解得__________________.
18. 对于定义一种新运算“”：，其中为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：，那么= ．
19. 把下图折叠成正方体，如果相对面的值相等，则、的值是__________.
20. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 .
三、展示你的思维，规范解答！（共60分）
21.（12分）解下列方程组：
（1）； （2）.
22.（8分）（2009年彬州）李大叔今年五月份购买了一台彩电和一台洗衣机，根据“家电下乡”的补贴标准：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户． 因此，李大叔从乡政府领到了390元补贴款． 若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，求彩电和洗衣机的售价各是多少元．
23.（8分）七年级三班在召开期眯总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有元，请帮我安排买支钢笔和本笔记本.
售货员：好。每支钢笔比每本笔记本贵元，退你元，请清点好，再见.
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
24.（8分）如图所求，小强和小红一起搭积木．小强所搭的“小塔”高度为23cm，小红所搭的“小树”高度为22cm．设每块A型积木的高为cm，每块B型积木的高为cm，请求出和的值．
25.（12分）（原创题）在“五一”期间，小明和他的父亲坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅他们看到了表（一），在游船上，他又注意到了表（二）.爸爸对小明说：“我来考考你，若船在静水中的速度保持不变，你能知道船在静水中的速度和水流速度吗？”小明很快得出了答案，你知道小明是如何算的吗？
里程（千米） 票价（元）
甲乙 ……
甲丙 ……
甲丁 ……
…… …… ……
出发时间 到达时间
甲乙 ︰ ︰
乙甲 ︰ ︰
甲乙 ︰ ︰
…… …… ……
表（一） 表（二）
26.（12分）某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为表示），请你根据下面的示意图，求电车每隔几分钟（用表示）从车站开出一部？
参考答案
一、1.C；2.B；3.D；4.D；5.A；6.B；7.B；8.D；9.A；10.D；
二、11.；12.或；13.；14. ；15.，；16. ，；
17.；18. 2；19. ，；20. ；
三、展示你的思维，规范解答！
21. （1）；（2）.
22. 解：设一台彩电的售价为元，一台洗衣机的售价为元
根据题意得：，解得.
答：略
23. 解：设每支钢笔元，每本笔记本元，根据题意，得
，解得.答：略.
24. 解：根据题意，得
解得
答：为4，为5．
25. 解：设船在静水中的速度是千米/时，水流速度为千米时，根据题意，得
解得
答：略.
26. 解：根据题意得：，
解得．
所以（分钟）.
答：电车每隔分钟从车站开出一部．
xcm
ycm
A
B
B
B
B
B
B
A
A
A
A
A
小强
小红
（第24题）
人车同向示意图
人车异向示意图
26题
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第八章 二元一次方程组检测试卷（四）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果是方程组的解，则a、c的关系是（ ）
A B C D
3、如果和互为相反数，则x、y的值为（ ）
A B C D
4、若方程组的解也是方程的解，则（ ）
A 6 B 10 C 9 D 110
5、若，则的值为（ ）
A 0 B C D
6、在中，当1时，0；当－1时，6；当2时，3；则当－2时，（ ）
A、13 B、14 C、15 D、16
7、小刚带了面值为2元和5元的人民币若干，去超市买学习用品，共花了29元，如果正好给收银员29元，则小刚的付款方式有（ ）
A 4种 B 3种 C 2种 D 1种
8、一艘船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（ ）
A 3︰1 B 2︰1 C 1︰1 D 5︰3
9、已知（xyz≠0），则x∶y∶z的值为（ ）
A、1∶2∶3 B、3∶2∶1 C、2∶1∶3 D、不能确定
10、如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中
一个小长方形的面积为（ ）
A. 400 cm2 B. 500 cm2 C. 600 cm2 D. 4000 cm2
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、若方程为二元一次方程，则a的值为_________.
12、已知，则用x的代数式表示y为_____________.
13、若，则=________ .
14、请写出一个x、y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①有两个二元一次方程组成；②方程组的解为。这样的方程组可以是_________
15、是二元一次方程的一个解，则的值等于_______.
16、当k=_____时，下列方程：有公共解。
17、已知关于x、y的方程组的解为，则a+b的值为_________.
18、在△ABC中，∠A=3∠B，∠A∠C=30°，则此三角形三个内角的度数分别是______
19、若买2支圆珠笔、1本日记本需要4元；买1支圆珠笔、2本日记本需要5元；则买4支圆珠笔、4本日记本需要______元
20、、三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组的解。”甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解；”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以５， 通过换元替代的方法来解决。”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是__________。
三、解答题（共60分）
21、（8分）阅读下列问题：解方程组
解：（2）×2得，（3）……A；（1）（3）得……B，所以，把代入（2）中，得，……C，所以，所以这个方程组的解为，……D
问：上述解方程组的步骤是正确？若有错误，请指出在哪一个步骤出现错误，并说明错误的原因。
22、（8分）已知方程组与有相同的解，求a、b的值。
23、（10分）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？
如果假设鸡有x 只，兔有y只，请你列出关于x、y的二元一次方程组，并写出你求解这个方程组的方法。
24、（10分）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角40公斤到市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价和零售价如下表所示：
品名 西红柿 豆角
批发价（单位：元/公斤） 1.2 1.6
零售价（单位：元/公斤） 1.8 2.5
问：他今天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
25、（12分）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。
例 ：由2x+3y=12，得：=（x、y为正整数）。所以＞0， 122＞0，则有0＜＜6.y=为正整数，则为正整数。由2、3互质，可知：为3的倍数，从而 =3，代入：。所以2x+3y=12的整数解为
问题：
（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解；
（2）若为自然数，则满足条件的x的值有（ 个；
A 2 B 3 C 3 D 4
（3）九年级某班为了奖励学生学习的进步，购买了单价３元的笔记本与单价为５元的钢笔两种奖品，共花费38元，问有几种购买方案，试确定。
参考答案
一、
1～5 DBCBC 6～10 ABBAA2、将如果代入中，得，（1）×2 （3）得3、由题意，得，解得
4、解方程组得，代入中，得
5、因为，所以，所以原式
6、由题意，得，解得，所以，当时，
7、由题意，得，它的正整数解为 ， ， 共3组
8、设这条船在静水中的航速与河水的流速分别为x、y，根据题意，得，整理得
9、解（xyz≠0），得，所以x∶y∶z=1∶2∶3
10、设小长方形的长为x，宽为y，由图得，解得，所以小长方形的面积为400
二、填空题11、9 12、 13、5
14、答案不唯一，若15、 16、1 解三元一次方程组即得
17、 提示：把代入中，得，两个方程相加除以3即得
18、 19、12
20、 提示：因为方程组 的解是 ，所以，两边乘以5得，代入，得，移项整理得
，当即，不论取何值，方程均成立。
三、解答题
21、解：上述解方程组的步骤有错误，错误在于步骤A，当（2）×2时，未把方程（2）的各项都乘以2，方程（3）应为
22、解：解方程组，得，将分别代入ax+5y=4、5x+by=1中，得a=14，b=2。
23、解：由题意列方程组得，由（1）×2得……（3），（2）（3）得，∴，把代入（1）中得，∴，本题用的是加减消元法，也可以用代入法求解。24、解：设他从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角各x、y公斤，根据题意，列方程得，解得。则他零售可以赚元。答：他今天卖完这些西红柿和豆角能赚33元钱。
25、解：（1）（2）C
（3）设笔记本有本，钢笔有支。所以3x+5y=35，所以。因为x、y为正整数且35-3x>0，所以5为x的约数且021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 1 页）
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人教版教材七年级下册第八章 8.3实际问题与二元一次方程组 课堂检测卷 时间：45分钟 姓名： 成绩：
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．某个体商店在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都是以135元卖出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，则这家商店在这次买卖中（ ）
A．不赔不赚 B．赚9元 C．赔8元 D．赔18元
2．甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的航速与水速分别是（ ）
A．24千米/时，8千米/时 B．22.5千米/时，2.5千米/时
C．18千米/时，24千米/时 D．12.5千米/时，1.5千米/时
3．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）
A． B．C． D．
4．某文具店出售单价分别为120元和80元的两种纪念册，两种纪念册每册都有30%的利润．某人共有1080元钱，欲买一定数量的某一种纪念册，若买单价为120元的纪念册则钱不够，但经理知情后如数付给了他这种纪念册，结果文具店获利和卖出同数量的单价为80元的纪念册获利一样多，那么这个人共买纪念册（ ）
A．8册 B．9册 C．10册 D．11册
5．足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一支青年足球队参加15场比赛，负4场，共得29分，则这支球队胜了（ ）
A．2场 B．5场 C．7场 C．9场
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．如果长方形的周长是20cm，长比宽多2cm．若设长方形的长为xcm，宽为ycm，则所列方程组为_________．
2．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分．小英做了全部试题得70分，则她做对了________道题．
3．某哨卡运回一箱苹果，若每个战士分6个，则少6个；若每个战士分5个，则多5个，那么这个哨卡共有________名战士，箱中有_______个苹果．
4．10辆板车和3辆卡车一次能运货20吨，4辆板车和5辆卡车一次能运货27吨.若设每辆板车运货x吨，每辆卡车运货y吨，则可列方程组为 .
5．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕4周，则绳子少了3尺，这根绳子长 尺.
三、解答题（共20分）
1．革命老区百色某芒果种植基地，去年结余500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15%，支出比去年低10%，求去年的收入与支出各是多少万元？（6分）
2．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米处．若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度各是多少？（7分）
3．某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售．“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两服装共付款182元，两种服装标价之和为210元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？（7分）
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