2.1合情推理与演绎推理 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
2.1合情推理与演绎推理
一、单选题
1.“余弦函数是偶函数，
是余弦函数，因此
是偶函数”，以上推理（???
）
A.?结论正确???????????????????????B.?小前提不正确???????????????????????C.?大前提不正确???????????????????????D.?全部正确
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点．因为函数
在
处的导数值
，所以
是函数
的极值点．以上推理中（???
）
A.?小前提错误???????????????????????B.?大前提错误???????????????????????C.?推理形式错误???????????????????????D.?结论正确
3.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（???
）
A.?甲?????????????????????????????????????????B.?乙?????????????????????????????????????????C.?丙?????????????????????????????????????????D.?丁
4.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（
??）
A.?甲是律师，乙是医生，丙是记者?????????????????????????B.?甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.?甲是医生，乙是律师，丙是记者?????????????????????????D.?甲是记者，乙是医生，丙是律师
5.观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（
???）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
6.有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线
平面
，直线
平面
，则直线
直线a”．你认为这个推理（??
）
A.?结论正确???????????????????????B.?大前提错误???????????????????????C.?小前提错误???????????????????????D.?推理形式错误
7.下列说法中正确的是（???
）
A.?合情推理就是正确的推理???????????????????????????????????B.?归纳推理就是从一般到特殊的推理过程
C.?类比推理就是从特殊到一般的推理过程???????????D.?类比推理就是从特殊到特殊的推理过程
8.某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（??
）
A.?大前提错误??????????????????????B.?推理形式错误??????????????????????C.?小前提错误??????????????????????D.?非以上错误
9.《论语·子路》篇中说“名不正则言不顺；言不顺则事不成；事不成则礼乐不兴；礼乐不兴则刑罚不中；刑罚不中则民无所措手足”所以名不正则民无所措手足，以上过程用的是（???
）
A.?类比推理???????????????????????????B.?归纳推理???????????????????????????C.?演绎推理???????????????????????????D.?数学证明
10.观察数列1，
，
，4，
，
，7，
，
……，则该数列的第11项等于（???
）
A.?1111?????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，
且存在正整数m，使得
成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（
???）
A.??
?????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
12.三角形的面积为
，其中
为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（???
）
A.?
B.?
C.?，（
为四面体的高）
D.?，（
分别为四面体四个面面积，r为四面体内切球半径）
13.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
中“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程
确定出来
，类似地不难得到
（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
14.下列使用类比推理正确的是（??
）
A.?“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”
B.?“若
，则
”类比推出“若
，则
”
C.?“实数a，b，c满足运算
”类比推出“平面向量
满足运算
”
D.?“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”
二、多选题
15.为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（???
）
A.?该班选择去甲景点游览???????????????????????????????????????B.?乙景点的得票数可能会超过9
C.?丙景点的得票数不会比甲景点高?????????????????????????D.?三个景点的得票数可能会相等
16.华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
，其中
，
.已知定义在R上不恒为0的函数
，对任意
有：
且满足
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.?是偶函数?????????????????????D.?是奇函数
三、填空题
17.甲、乙两支足球队进行一场比赛，
三位球迷赛前在一起聊天.
说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是________.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
18.给出下列演绎推理：“自然数是整数，???
▲?????
，
所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写________．
19.函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1
，
A2
，
A3
，
…，An
，
…，在点列{An}中存在三个不同的点Ak、Al、Ap
，
使得△AkAlAp是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn
，
则ω6＝________．
20.对于三次函数
，现给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
=0有实数解
，则称点(
，
)为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
，则
________.
四、解答题
21.某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.
22.将下列演绎推理写成“三段论”的形式．
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）菱形的对角线互相平分；
（3）函数f（x）＝x2－cos
x是偶函数．
23.如图所示，在△ABC中，a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体P?ABC中，S1
，
S2
，
S3
，
S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论.
24.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为
、
（如图1），则
.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.
??????????????????????????????
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：由于
不是余弦函数，所以小前提不正确．
故答案为：B．
【分析】由演绎推理的定义可得出结论．
2.答案：
B
解：大前提：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点，错误，极值点的定义中除要求
，还需要在
两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，
故答案为：B．
【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断．
3.答案：
C
解：由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.
4.答案：
C
解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），
则乙是律师，甲是医生．
故答案为：C.
【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，则乙是律师，甲是医生.
5.答案：
B
解：观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，
根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求．
故答案为：B．
【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案．
6.答案：
B
解：一条直线平行于一个平面时，这条直线与平面内的部分直线平行，
并是不与所有直线平行，所以大前提错误，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合演绎推理的三段论，从而求出这个推理中错误的一段.
7.答案：
D
解：对于A，合情推理主要有归纳推理和类比推理两种，
合情推理的结论不一定正确，A不符合题意；
对于B，归纳推理就是从特殊到一般的推理过程，B不符合题意；
对于C，类比推理就是从特殊到特殊的推理过程，C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用合情推理的特征逐一判断即可.
8.答案：
B
解：大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，
小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，
但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，
所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.
故答案为：B
【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.
9.答案：
C
解：演绎推理，就是从一般的前提出发，通过推导即“演绎·”
得出具体的陈述或个别结论的过程，
演绎推理可以帮助我们发现结论，
题中所给的这种推理符合演绎推理的形式.
故答案为：C
【分析】根据演绎推理的概念，即可作出判断.
10.答案：
C
解：由数列得出规律，按照1，
，
，…，是按正整数的顺序排列，且以3为周期，
由
，所以该数列的第11项为
.
故答案为：C.
【分析】根据所给数列的规律即可得解.
11.答案：
C
解：由
知，序列
的周期为m，
由已知，
，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1
,
2,
3
,
4进行讨论,
若有-一个不满足条件，就排除
；由题意可得周期都是5
,每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列，
继续写出，如C答案中的排列为10001
10001
10001.
12.答案：
D
解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，
将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V
（S1+S2+S3+S4）r.
故答案为：D．
【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.
13.答案：
C
解：由题意，令
，即
，
即
，
解得
或
（舍去）
，
故答案为：C
【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果.
14.答案：
D
解：因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A不符合题意；
因为“若
，则
”，所以B不符合题意；
因为
，所以C不符合题意；
因为正方体的内切球切于各面的中心，所以
D
符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据类比结果进行判断选择.
二、多选题
15.答案：
A,C
解：由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；
若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，
所以选择甲的一定大于等于10人.
故答案为：AC．
【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.
16.答案：
A,D
解：
，
，
，
，
，
令
,则
，
令
,则
，
，
令
,则
，
，
令
,则
，
.
故答案为：AD
【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出
，再赋值即可得解.
三、填空题
17.答案：
甲胜
解：若甲队获胜，则A，B判断都正确，
与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
18.答案：
2是自然数
解：解：由演绎推理的三段论可知：
“自然数是整数，2是自然数，∴2是整数”，
故答案为：2是自然数.
【分析】直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.
19.答案：
π
解：由ωx＝kπ
，得x
，k∈Z
，
由题意得x
，
，
，…，
，
即A1（
，1），A2（
，﹣1），A3（
，1），A4（
，﹣1）…，
由△A1A2A3是等腰直角三角形，得kA1A2?kA2A3＝﹣1，
即
?
1，得ω1
，
同理△A1A4A7是等腰直角三角形得kA1A4?kA1A4＝﹣1，得ω2
．
同理△A1A6A11是等腰直角三角形得kA1A6?kA6A11＝﹣1，得ω2
，
从而有ωn
，则ω6
π
，
故答案为：
π
．
【分析】令ωx＝kπ
，可求对称轴方程，进而可求A1
，
A2
，
A3
，
……An的坐标，由△AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为﹣1可求ωn
，
进而可求ω6的值.
20.答案：
解：依题意得，
，令
，得
，
函数
的对称中心为
，则
，
，
?
?
，
故答案为
.
【分析】先求出函数
的“拐点”，得函数
的对称中心为
，得到
，进而知道
，即可得出答案.
四、解答题
21.答案：解：（Ⅰ）选择⑶
∵
，
∴该常数为
；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，
推广出的三角恒等式为，
证明如下：
左边
?
右边
所以等式成立
【分析】（Ⅰ）选择（3）利用特殊角的三角函数，即可得出结论；
（Ⅱ）写出命题，再利用两角和差的三角函数即可计算.
22.答案：
（1）解：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
海王星是太阳系中的大行星，（小前提）
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．（结论）
（2）解：平行四边形的对角线互相平分，（大前提）
菱形是平行四边形，（小前提）
菱形的对角线互相平分．（结论）
（3）解：若对函数f（x）定义域中的x，都有f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数，（大前提）
对于函数f（x）＝x2－cos
x，当x∈R时，有f（－x）＝f（x），（小前提）
所以函数f（x）＝x2－cos
x是偶函数．（结论）
【分析】(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行是大前提，海王星是太阳系中的大行星是小前提，海王星以椭圆形轨道绕太阳运行是结论；
(2)对于结论:菱形的对角线互相平分来说,平行四边形的对角线互相平分是大前提,菱形是平行四边形是小前提.
(3)作为函数f（x）＝x2－cos
x是偶函数,其大前提是:偶函数的定义,小前提是函数f(x)满足偶定义.
答案：
解：类比三角形中的结论，
猜想在四面体中的结论为S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
证明：如图，设P点在底面的射影为O点，过O点作
，交AB于H，连接PH,OA,OB，
就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则
，
，
同理，
，
又
，
S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ
【分析】类比三角形中的结论，猜想四面体中的结论，并证明即可.
24.答案：
解：命题：长方体
中(如图2)，
对角线
与棱
、
、
所成的角分别为
，
则
；
证明：∵
，
，
，
∴
.（此题答案不唯一）
【分析】先掌握已知矩形中得到的结论cos2α+cos2β=1的特点，再利用类比推理的方法，在长方体中得到类似的结论，并进行证明即可.
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精品试卷·第
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