2.2直接证明与间接证明 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
2.2直接证明与间接证明
一、单选题
1.在用反证法证明
时的反设为（
??）
A.?且
????????
B.?或
?????????
C.??????????????
D.?
2.用反证法证明命题“如果
可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（???
）
A.?a，b都不能被5整除?????
?B.?a，b都能被5整除??????
?C.?a，b不都能被5整除????????
D.?a不能被5整除
3.用反证法证明命题“如果
那么
”时，假设的内容是（???
）
A.??????????
B.??????????
C.?且
??????????
D.?或
4.用反证法证明"三角形的内角中最多有一个内角是钝角"时，下列假设正确的是（???
）
A.?没有一个内角是钝角?????????????????????????????????????????
??B.?至少有一个内角是钝角
C.?至少有两个内角是锐角?????????????????????????????????
??????D.?至少有两个内角是钝角
5.用反证法证明命题：“
，
，
，且
，则
中至少有一个负数”时的假设为（???
）
A.?全都大于等于0???????????????????????????????????
??B.?全为正数
C.?中至少有一个正数??????????????????????????????
??D.?中至多有一个负数
6.利用反证法证明：若
，则
，假设为(??
)
A.?都不为0?????????
B.?不都为0?????????
C.?都不为0，且
????????
D.?至少有一个为0
7.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于
”时，应假设（???
）
A.?三角形的三个内角都不大于
??????????????????????B.?三角形的三个内角都大于
C.?三角形的三个内角至多有一个大于
???????????D.?三角形的三个内角至少有两个大于
8.用反证法证明“若
，
，则
，
至少有一个为0”时，假设正确的（???
）.
A.?，
中只有一个为0???????
B.?，
全为0???????
C.?，
至少有一个不为0????????
D.?，
全不为0
9.用反证法证明“至少存在一个实数
，使
成立”时，假设正确的是（???
）
A.?至少存在两个实数
，使
成立??????????????B.?至多存在一个实数
，使
成立
C.?不存在实数
，使
成立?????????????????????????D.?任意实数
，
恒成立
10.要证
成立，a,b应满足的条件是（???
）
A.?且
??????????????????????????????????????????????????B.?且
C.?且
??????????????????????????????????????????????????D.?，
或
，
11.①已知
，求证
，用反证法证明时，可假设
；②设x，
y，
z都是正数，用反证法证明三个数
，
，
至少有一个不小于2时，可假设
，
，
都大于2，以下说法正确的是（??
）
A.?①与②的假设都错误???????????????????????????????????????????B.?①与②的假设都正确
C.?①的假设正确，②的假设错误????????????????????????????D.?①的假设错误，②的假设正确
12.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（
??）
A.?丙没有选化学????
B.?丁没有选化学????
C.?乙丁可以两门课都相同????
D.?这四个人里恰有2个人选化学
二、填空题
13.用反证法证明“设
，求证
”时，第一步的假设是________
14.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用：________
①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论
15.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.
正确顺序的序号排列为________.
16.现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是________．（填写字母）
三、解答题
17.已知为a
，
b非负实数，求证：
．
用分析法证明
.
设
，用综合法证明：
．
已知实数a、b、c、d满足
,求证a、b、c、d中至少有一个是负数.
21.??（1）已知x，y为正实数，用分析法证明：
.
（2）若
，
，
均为实数，且
，
，
，用反证法证明：中至少有一个大于0.
22.对于命题
：存在一个常数
，使得不等式
对任意正数
，
恒成立.
（1）试给出这个常数
的值（不需要证明）；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题
.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，
因为命题“
”的否定为“
”，
用反证法证明
时的反设为
“
或
”，
故答案为：B.
【分析】利用反证法的反设要求，应先假设命题的否定成立，即可得结果.
2.答案：
A
解：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故答案为：A.
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
3.答案：
D
解：解：
的反面是
即
或
．
故答案为：D．
【分析】反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑
的反面是什么即可．
4.答案：
D
解：解：
“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确，
应假设：至少有两个角是钝角.
故答案为：D.
【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.
5.答案：
A
解：因为原结论为“
中至少有一个负数”
，
所以其否定为“
中全都大于等于0”，
故答案为：A.
【分析】根据含有量词的否定，可知“至少”对应“全都”，即可得答案．
6.答案：
B
解：
的否定为
，即
，
不都为0，
故答案为：B.
【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
7.答案：
B
解：由反证法可知，只需要把结论否定即可，
应该假设：三角形的三个内角都大于
.
故答案为：B
【分析】根据反证法可知，假设应该否定结论，即可求解.
8.答案：
D
解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题：“若
，
，
”，则“
，
至少有一个为0”的否定为：
“若
，
，
”，则“
，
全不为0”.
故答案为：D．
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，即可得解.
9.答案：
C
解：根据反证法的原理知：假设是对“至少存在一个实数
”的否定，
即“不存在实数
，使
成立”.
故答案为：
.
【分析】根据反证法的原理可直接判断得到结果.
10.答案：
D
解：要使
成立，只要
，
只要
，只要
，
即只要
，故只要
且
，或
且
．
故答案为：D.
【分析】根据分析法解题原理，转化为不等式成立的充分条件即可.
11.答案：
C
解：的反面是
，①正确，
“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，②错误，
故答案为：C．
【分析】反证法中假设是假设结论的反面成立，可分别写出结论反面，判断正误.
12.答案：
D
解：根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；
又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；
若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．
综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确．
假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科．
不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确．
故答案为：D.
【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．
二、填空题
13.答案：
a+b＞2
解：用反证法证明“设
，求证
”，
第一步为假设结论不成立，即假设
，
故答案为：
【分析】根据反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立即可得解；
14.答案：
①②③
解：应用反证法推出矛盾的推导过程中，
作为条件使用的通常有：
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等
故答案为：
①②③
．
【分析】利用反证法的定义以及特征即可得出结果.
15.答案：
③①②
解：由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，下结论即②，
即顺序应为③①②.
故答案为：③①②
【分析】利用反证法的定义及解题步骤分析得解.
16.答案：
K
解：由题得
,
假设
,则
,
此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立.
假设
则由题得：
白2，灰3，白7，灰8；
灰1，白5，白6，灰7；
白1，灰2，灰4，白8；
白3，白4，灰5，灰6.
故答案为：K.
【分析】由题得
,假设
,再推出矛盾，得到假设不成立，再假设
即可得到答案.
三、解答题
17.答案：
解：因为a，b为非负实数，
所以
，
若
时，
，从而
，
得
，
若
时，
，从而
，
得
，
综上，
．
【分析】作差后因式分解，对
大小分类讨论，即可确定因式分解后式子值得符号，从而证出不等式.
18.答案：
证明：要证
，
只要证
，
即证
，
即证
，
因为
显然成立，
所以原不等式成立.
【分析】直接从待证不等式出发，平方后分析其成立的充分条件即可.
19.答案：
证明：
，
又
，而
，
，
故
，
即
.
【分析】作差、分解因式、判断符号即可.
20.答案：
解：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，
即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
因为a＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.(
)
因为a，b，c，d均为非负数，所以bc＋ad≥0.
由(
)式可以知道ac＋bd≤1.这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立．
A，b，c，d中至少有一个负数．
【分析】利用反证法进行证明，假设a、b、c、d都是非负数，找出矛盾即可．
21.答案：
（1）解：因为x,y为正实数，要证
，
只要证
，
即证
，
即证
，即证
显然成立，
所以原不等式成立；
（2）解：假设
，
，
都小于等于0，则
，
又由
，
，
得：
，
这与
矛盾，
所以假设不成立，所以原命题成立.
【分析】（1）由分析法证明即从结论出发，欲证原不等式成立，只需对其整理化简后的不等式成立，再由完全平方式的性质得证；（2）假设命题的反面成立，由其相加配方为完全平方式证得与已知矛盾，即可说明假设不成立，原命题成立.
22.答案：
（1）解：根据题意，由于
对任意正数
，
恒成立，
令
得
，故
；
（2）解：先证明
，
∵
，
，要证上式，只要证
，
即证
，即证
，这显然成立.
∴
，
再证明
，
∵
，
，要证上式，只要证
，
即证
，即证
，这显然成立.
∴
.
【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令
可得，
，分析即可得
的值；（2）由分析法的思路：先证明
，再类比可以证明
，综合即可得证明.
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