2.3数学归纳法 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
2.3数学归纳法
一、单选题
1.用数学归纳法证明等式，
时，由
到
时，等式左边应添加的项是（
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
2.用数学归纳法证明等式
时，第一步验证
时，左边应取的项是(???
)
A.?1??????????????????????????????????B.?1+2??????????????????????????????????C.?1+2+3??????????????????????????????????D.?1+2+3+4
3.用数学归纳法证明
时，从“
”到“
”的证明等式左边需增添的代数式是（??
?）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
4.用数学归纳法证明：
，在验证
时，左边为（???
）
A.?1?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?都不正确
5.用数学归纳法证明：
时，从n=k推证
时，左边增加的代数式是（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.用数学归纳法证明：“
”时，从
到
，等式的左边需要增乘的代数式是（）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.证明：
，当
时，中间式子等于（???
）
A.?1??????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
8.用数学归纳法证明“
”，由
到
时，不等式左边应添加的项是（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
9.用数学归纳法证明等式
，当
时，等式左端应在
的基础上加上（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????D.?
10.在用数学归纳法证明等式
的第(ii)步中，假设
时原等式成立，那么在
时，需要证明的等式为（???
）
A.?
B.?
C.?
D.?
11.对于不等式
，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当
时，
，不等式成立；②假设当
时，不等式成立，即
，则当
时，
.故当
时，不等式成立.
则上述证法（???
）
A.?过程全部正确?????????????????????????????????????????????????????B.?的验证不正确
C.?的归纳假设不正确?????????????????????????????????????D.?从
到
的推理不正确
12.已知数列
满足
，则（???
）
A.?当
时，则
???????????????B.?当
时，则
C.?当
时，则
????????????D.?当
时，则
二、填空题
13.用数学归纳法证明等式
时，第一步验证
时，左边应取的项是________．
14.用数学归纳法证明“
”时，由
不等式成立，推证
时，则不等式左边增加的项数共
项.
15.用数学归纳法证明“
能被
整除”的过程中，当
时，
式子应变形为________
16.已知
，用数学归纳法证明：
时,从“
到
”左边需增加的代数式是________.
三、解答题
17.用数学归纳法证明
.
已知数列
满足
，
，
，求证：数列
是递增数列.
19.已知数列
满足
，对任意
，都有
成立.
（1）求出
的值.
（2）推测出数列
通项公式并用数学归纳法证明.
20.已知数列
的前n项和为
，满足
，且
，
.
（1）求
，
，
的值；
（2）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法予以证明.
21.已知数列（a.）满足a1=a，an+1=
，
（1）求a2
，
a3
，
a4；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
22.某班级共派出
个男生和
个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有
种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有
种选法.
（1）试求
和Fn；
（2）判断
和
的大小（
），并用数学归纳法证明.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由
到
时，等式左边增加了
，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，由
到
时，等式左边应添加的项.
2.答案：
D
解：由数学归纳法的证明步骤可知：当
时，等式的左边是
，
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件，从而求出当
时，等式的左边的项.
3.答案：
D
解：由
到
时，等式左端的项为
，
等式左端增加的项为
.
故答案为：D．
【分析】左边用“
”替换“
”，观察增加的变化项即可得结果.
4.答案：
C
解：用数学归纳法证明：
，
在验证
时，
只需令
代入左边的代数式，
得到左边
.
故答案为：C
【分析】根据题意，将
直接代入，即可求出结果.
5.答案：
A
解：由题意，可得当
时，等式的左边为
，
当
时，等式的左边为
，
当
时，等式的左边为
，
所以从
到
时，左边需增加的代数式是
，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为
，当
时，等式的左边为
，利用数学归纳法即可求解．
6.答案：
D
解：当
时，左边
，
当
时，左边
，
所以由
到
时，等式左边应该增乘的代数式是
.
故答案为：D
【分析】根据条件分别求出
和
时左边的式子，从而可求得由
到
时需要增乘的代数式.
7.答案：
D
解：
时中间式子的最后一项为
，中间式子为
.
故答案为：D
【分析】由n
=
2
时中间式子的最后一项为可得结果.
8.答案：
D
解：当
时，不等式左边为
；
当
时，不等式左边为
，
即由
到
时，不等式左边应添加的项是
.
故答案为：D
【分析】求出当
和
时，不等式左边的式子，即可得出答案.
9.答案：
B
解：
时等式为
，
时等式为
，
当
时，等式左端应在
的基础上加上
，
故答案为：B．
【分析】写出
和
时的两式，然后比较可得．
10.答案：
D
解：因为要证
，
因此，当
时，需要证明
.
故答案为：D
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，结合题中条件，即可得出结果.
11.答案：
D
解：在
时，没有应用
时的假设，即从
到
的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.
12.答案：
C
解：
，
即
，
当
时，
，故
，A不符合题意；
当
时，
，故
，B不符合题意；
对于D选项，当
时，
，
，D不符合题意；
用数学归纳法证明C，
易知
恒成立，
当
时，
，成立；
假设当
时成立，
，即
，
当
时：
即
?
成立，
故
恒成立，即可得证.
故答案为：C
【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.
二、填空题
13.答案：
解：在等式
中，
当
时，
，而等式左边起始为
的连续的正整数的和，
故
时，等式左边的项为
，
故答案为
.
【分析】利用数学归纳法的推理证明过程，从而得出第一步验证
时，左边应取的项.
14.答案：
解：解：当
时，
不等式左边为
，
当
时，
不等式左边为
，
则由
不等式成立，推证
时，
则不等式左边增加的项数共
项.
故答案为：
.
【分析】由题意有：由
不等式成立，推证
时，即可求出不等式左边增加的项数共
项.
15.答案：
解：用数学归纳法证明：
能被6整除的过程中，
当
时，式子
应变形为
，
由于假设
能够被6整除，而
能被2整除，
因此
能被6整除，
故答案为
.
【分析】分析“n=k+1时”的命题，找出与“n=k”时命题形式的差别，即可得式子变形应增加的项．
16.答案：
解：当
时，左端
，
当
时，左端
，
所以当
到
“”左端需要增加的代数式为
．
【分析】本题考查的是推理与证明中的数学归纳法的证明应用，重点考察从
n
=
k这一步到下一步n
=
k
+
1的证明过程，也就是这道题左端需要增加的代数式.
三、解答题
17.答案：
证明：①当
时，左边
，
右边
，等式成立；
②假
设
当
时等式成立，
即
.
那么，
即当
时等式也成立.
由①②知，等式对任何
都成立.
【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
18.答案：
证明：若
，要证
是递增数列.
即
，即证
对任意
成立.
下面用数学归纳法证明：
当
时，
对任意
成立.
①当
时，
，结论成立
②假设当
（
，
）时结论成立，即
因为函数
在区间
内单调递增，
所以
，
∴当
时，
成立.
由①，②知，
对任意
，
成立.
因此，
，即
是递增数列.
【分析】若
，要证
是递增数列．即证
对任意
成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
19.答案：
（1）解：由
，且
，
令
，可得：
，
令
，可得：
，
令
，可得：
；
（2）解：由（1），归纳猜想：
，
下面应用数学归纳法进行证明：
①当
时，
，满足题意，故成立；
②假设当
成立，即
，
故当
时：=
=
，
故
时，等式成立，
由①②可知，对任意自然数等式都成立，故
.
【分析】（1）根据
，且
，分别令
，
，
求解即可.
（2）由（1），归纳猜想：
，
再用数学归纳法进行证明，分当
时和假设当
成立，两步进行证明.
20.答案：
（1）解：
，且
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，或
舍
，
当
时，
，
，或
舍
，
，
，
；
（2）解：由
1
猜想
，下面用数学归纳法证明：
①当
时，
，显然成立，
②假设
时，结论成立，即
，
则当
时，由
，
有
，
，
，或
舍
，
时结论成立，
由①②知当
，
均成立．
【分析】
1
利用
代入计算，可得结论；
2
猜想
，然后利用归纳法进行证明，检验
时等式成立，假设
时命题成立，证明当
时命题也成立．
答案：
（1）解：由an+1=
可得a2=
=
，
a3=
，
a4=
；
（2）解：推测an=
.
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，右边=
=a，结论成立；
②假设n=k（n∈N
）时等式成立，有ak=
，则当n=k+1时，
ak+1=
故当n=k+1时，结论也成立，
由①②可知，对任何n∈N
都有an=
.
【分析】（1）由的值，根据递推公式以次计算；
（2）猜想
an=???，利用数学归纳法先验证时等式成立，再假设时命题成立，证明当时命题也成立即可.
答案：
（1）解：
，
；
（2）解：因为
，
所以
，
，，
由此猜想：当
时，都有
，即
.
下面用数学归纳法证明
（
）.
①
时，该不等式显然成立.
②假设当
时，不等式成立，即
，.
则当
时，
，
要证当
时不等式成立.只要证：
，
只要证：
..
令
，
因为
，所以
在
上单调递减，
从而
，
而
，所以
成立.
则当
时，不等式也成立.
综合①、②得原不等式对任意的
均成立
【分析】（1）根据题意，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得En；根据从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得Fn；
（2）先猜想出结论，再用数学归纳法证明，用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论.
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