第二章 推理与证明 单元测试（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
第二章
推理与证明
一、单选题
1.“余弦函数是偶函数，
是余弦函数，因此
是偶函数”，以上推理（???
）
A.?结论正确???????????????????????B.?小前提不正确???????????????????????C.?大前提不正确???????????????????????D.?全部正确
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点．因为函数
在
处的导数值
，所以
是函数
的极值点．以上推理中（???
）
A.?小前提错误???????????????????????B.?大前提错误???????????????????????C.?推理形式错误???????????????????????D.?结论正确
3.用数学归纳法证明等式，
时，由
到
时，等式左边应添加的项是（
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
4.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（???
）
A.?甲?????????????????????????????????????????B.?乙?????????????????????????????????????????C.?丙?????????????????????????????????????????D.?丁
5.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（
??）
A.?甲是律师，乙是医生，丙是记者?????????????????????????B.?甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.?甲是医生，乙是律师，丙是记者?????????????????????????D.?甲是记者，乙是医生，丙是律师
6.用数学归纳法证明等式
时，第一步验证
时，左边应取的项是(???
)
A.?1??????????????????????????????????B.?1+2??????????????????????????????????C.?1+2+3??????????????????????????????????D.?1+2+3+4
7.用反证法证明命题“如果
可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（???
）
A.?a，b都不能被5整除????????
B.?a，b都能被5整除??????
?C.?a，b不都能被5整除?????????
D.?a不能被5整除
8.用数学归纳法证明：
时，从n=k推证
时，左边增加的代数式是（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
9.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，
且存在正整数m，使得
成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，
满足
的序列是（
???）
A.??
?????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
10.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0
，
T近似满足R0
=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
（???
）
A.?1.2天???????????????????????????????????B.?1.8天???????????????????????????????????C.?2.5天???????????????????????????????????D.?3.5天
11.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（
Day）．历史上，求圆周率
的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为
的近似值．按照阿尔·卡西的方法，
的近似值的表达式是（???
）．
A.???????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????D.?
12.三角形的面积为
，其中
为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（???
）
A.?
B.?
C.?，（
为四面体的高）
D.?，（
分别为四面体四个面面积，r为四面体内切球半径）
二、多选题
13.为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（???
）
A.?该班选择去甲景点游览???????????????????????????????????????B.?乙景点的得票数可能会超过9
C.?丙景点的得票数不会比甲景点高????????????????????????D.?三个景点的得票数可能会相等
14.华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
，其中
，
.已知定义在R上不恒为0的函数
，对任意
有：
且满足
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.?是偶函数?????????????????????D.?是奇函数
三、填空题
15.甲、乙两支足球队进行一场比赛，
三位球迷赛前在一起聊天.
说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是________.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
用数学归纳法证明等式
时，第一步验证
时，左边应取的项是________．
刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式
是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式
，则
，即
，解得
，取正数得
.用类似的方法可得
________.
18.现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是________．（填写字母）
四、解答题
19.已知为a
，
b非负实数，求证：
．
用数学归纳法证明
.
已知数列
满足
，
，
，求证：数列
是递增数列.
已知实数a、b、c、d满足
,求证a、b、c、d中至少有一个是负数.
是否存在等差数列
，使
对任意
都成立？若存在，求出数列
的通项公式；若不存在，请说明理由.
24.对于命题
：存在一个常数
，使得不等式
对任意正数
，
恒成立.
（1）试给出这个常数
的值（不需要证明）；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题
.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：由于
不是余弦函数，所以小前提不正确．
故答案为：B．
【分析】由演绎推理的定义可得出结论．
2.答案：
B
解：大前提：对于可导函数
，如果
，
那么
是函数
的极值点，错误，
极值点的定义中除要求
，还需要在
两侧的导数的符号相反，
虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，
故答案为：B．
【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断．
3.答案：
C
解：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由
到
时，等式左边增加了
，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由
到
时，等式左边应添加的项。
4.答案：
C
解：由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，
故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.
5.答案：
C
解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），
从而乙是律师，甲是医生．
故答案为：C.
【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.
6.答案：
D
解：由数学归纳法的证明步骤可知：当
时，等式的左边是
，
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件，从而求出当
时，等式的左边的项。
7.答案：
A
解：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故答案为：A.
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
8.答案：
A
解：由题意，可得当
时，等式的左边为
，
当
时，等式的左边为
，
当
时，等式的左边为
，
所以从
到
时，左边需增加的代数式是
，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为
，当
时，等式的左边为
，利用数学归纳法即可求解．
9.答案：
C
解：由
知，序列
的周期为m，
由已知
，
，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1
,
2,
3
,
4进行讨论,
若有-一个不满足条件，就排除
；由题意可得周期都是5
,每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列，
继续写出，如C答案中的排列为10001
10001
10001.
10.答案：
B
解：因为
，
，
，
所以
，所以
，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为
天，
则
，所以
，所以
，
所以
天.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得
，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为
天，根据
，解得
即可得结果.
11.答案：
A
解：单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为
，每条边长为
，
所以，单位圆的内接正6n边形的周长为
，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为
，其周长为
，
，
则
.
故答案为：A.
【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为
的近似值可得出结果.
12.答案：
D
解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V
（S1+S2+S3+S4）r.
故答案为：D．
【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.
二、多选题
13.答案：
A,C
解：由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；
若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，
所以选择甲的一定大于等于10人.
故答案为：AC．
【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.
14.答案：
A,D
解：
，
，
，
，
，
令
,则
，
令
,则
，
，
令
,则
，
，
令
,则
，
，
故答案为：AD
【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出
，再赋值可得解.
三、填空题
15.答案：
甲胜
解：若甲队获胜，则A，B判断都正确，
与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
16.答案：
解：在等式
中，
当
时，
，而等式左边起始为
的连续的正整数的和，
故
时，等式左边的项为
，
故答案为
.
【分析】利用数学归纳法的推理证明过程，从而得出第一步验证
时，左边应取的项.
17.答案：
2
解：由题得，令原式
，则
，
化简为
，解得：
.
故答案为：2
【分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解.
18.答案：
K
解：由题得
,
假设
,则
,
此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立.
假设
则由题得：
白2，灰3，白7，灰8；
灰1，白5，白6，灰7；
白1，灰2，灰4，白8；
白3，白4，灰5，灰6.
故答案为：K.
【分析】由题得
,假设
,再推出矛盾，得到假设不成立，再假设
得到答案.
四、解答题
19.答案：
解：因为a，b为非负实数，
所以
，
若
时，
，从而
，
得
，
若
时，
，从而
，
得
，
综上，
．
【分析】作差后因式分解，对
大小分类讨论，即可确定因式分解后式子值得符号，从而证出不等式.
答案：
证明：①当
时，左边
，
右边
，等式成立；
②假
设
当
时等式成立，
即
.
那么，
即当
时等式也成立.
由①②知，等式对任何
都成立.
【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
21.答案：
证明：若
，要证
是递增数列.
即
，即证
对任意
成立.
下面用数学归纳法证明：
当
时，
对任意
成立.
①当
时，
，结论成立
②假设当
（
，
）时结论成立，即
因为函数
在区间
内单调递增，
所以
，
∴当
时，
成立.
由①，②知，
对任意
，
成立.
因此，
，即
是递增数列.
【分析】若
，要证
是递增数列，即证
对任意
成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
22.答案：
解：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，
即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
因为a＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.(
)
因为a，b，c，d均为非负数，所以bc＋ad≥0.
由(
)式可以知道ac＋bd≤1.这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立．
A，b，c，d中至少有一个负数．
【分析】利用反证法进行证明，假设a、b、c、d都是非负数，找出矛盾即可．
23.答案：
解：假设存在等差数列
满足要求
，
依题意
，
对
恒成立，
，
，
所求的等差数列存在，其通项公式为
．
【分析】假设存在等差数列满足题意，通过对
整理，找出
，
，即可说明存在数列，求出数列
的通项公式即可．
24.答案：
（1）解：根据题意，由于
对任意正数
，
恒成立，
令
得：
，故
；
（2）解：先证明
，
∵
，
，要证上式，
只要证
，
即证
，即证
，这显然成立.
∴
，
再证明
，
∵
，
，要证上式，只要证
，
即证
，即证
，这显然成立.
∴
.
【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令
可得，
，分析即可得
的值；（2）由分析法的思路：先证明
，再类比可以证明
，综合即可证明.
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精品试卷·第
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