3.1数系的扩充和复数的概念 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
3.1数系的扩充和复数的概念
一、单选题
1.若
，则
（???
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
2.已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?﹣1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?﹣2
3.
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
4.复数
的共轭复数是（???
）
A.????????????????????????????????????B.???????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.已知复数
满足
，且
为纯虚数，则实数a的值为（???
）
A.?－1?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?－2?????????????????????????????????????????D.?2
6.已知复数
（i为虚数单位），则
（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.已知复数
是虚数单位），那么z的虚部是（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
8.若复数
，则复数
对应的点在第（???
）象限
A.?一?????????????????????????????????????????B.?二?????????????????????????????????????????C.?三?????????????????????????????????????????D.?四
9.已知
，
为虚数单位，
，则
（???
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
10.已知复数
（
为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（??
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
11.设复数z满足
，则
最大值为（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?4
12.已知i为虚数单位，复数z满足
，则
(??
)
A.?4??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?-4??????????????????????????????????????????D.?-2
13.设复数z满足
，z在复平面内对应的点为
，则（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
14.欧拉公式
（
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，
表示的复数在复平面中位于(???
)
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
二、多选题
15.已知复数
，则以下说法正确的是（???
）
A.?复数z的虚部为
?????????????????????????????????????????????B.?z的共轭复数
C.?????????????????????????????????????????????????????????????
D.?在复平面内与z对应的点在第二象限
16.设复数z满足
,i为虚数单位,则下列命题正确的是(???
)
A.??????????????????????????????????????????????????????????????B.?复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.?z的共轭复数为
???????????????????????????????D.?复数z在复平面内对应的点在直线
上
17.已知复数
在复平面内对应的点位于第二象限，且
则下列结论正确的是（???
）．
A.??????????????????????B.?z的虚部为
?????????????????????C.?z的共轭复数为
?????????????????????D.?
18.已知复数
满足
，
，则实数
的值可能是（????
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?5
三、填空题
19.化简：
________.
20.设复数
，
满足
，
，则
=________.
21.欧拉公式
（其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当
时，
，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将
所表示的复数记为
，那么
________.
22.已知复数z满足
，则
的最大值是________.
四、解答题
23.已知复数
，(
为实数)，且
为实数.
（1）求复数
；
（2）求复数
的模
.
24.已知复数
，
．
（Ⅰ）若
为纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若
对应的点在直线
上，求m的值．
25.已知i虚数单位，
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若复数
的虚部为2，且
的虚部为0，求
.
26.设实部为正数的复数
，满足
，且复数
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数
；
（2）若
为纯虚数，求实数
的值.
27.已知复数
z1=a-2i
，
（
，i为虚数单位）.
（1）若
是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数
在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
28.已知平行四边形OABC的三个顶点
对应的复数为
.
（1）求点B所对应的复数
；
（2）若
，求复数
所对应的点的轨迹.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：因为
，所以
．
故答案为：C．
【分析】先根据
将
化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
2.答案：
C
解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
3.答案：
D
解：，
故答案为：D.
【分析】根据公式
，可直接计算得
.
4.答案：
A
解：根据共轭复数的定义可得复数
的共轭复数是
.
故答案为：A.
【分析】利用共轭复数的定义直接得到.
5.答案：
B
解：由于
为纯虚数，设为
，由
得
，
即
，所以
.
故答案为：B
【分析】设出
，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得
的值.
6.答案：
D
解：
,
所以
.
故答案为：D
【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
7.答案：
D
解：复数
的虚部为2
故答案为：D.
【分析】直接利用复数的基本概念得答案.
8.答案：
A
解：
，
故复数z对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据周期性得到
,得到答案.
9.答案：
A
解：
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a,b的方程，解出a,b即可得解.
10.答案：
C
解：由
得
，
故对应的点的坐标为
，从而求出复数z在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义，从而求出复数z在复平面内对应的点的坐标，进而根据点的坐标确定复数z在复平面内对应的点所在的象限.
11.答案：
C
解：设
，
，
，
，即
，
点
在圆
上，
又该圆的圆心为
，半径为
，
该圆上所有点到原点的距离最大值为
，
即
，.
故答案为：C.
【分析】设
，
，由题意可得
，即点
在圆
上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
12.答案：
A
解：
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由已知可求出
，进而可求
，则可求出
的值.
13.答案：
A
解：解：∵z在复平面内对应的点为
，
∴
，又
，
，.
故答案为：A.
【分析】由z在复平面内对应的点为
，可得
，再代入
即可得答案.
14.答案：
B
解：因为欧拉公式
为虚数单位），
所以
，因为
，
，
，
，
所以
表示的复数在复平面中位于第二象限．
故答案为：B．
【分析】利用欧拉公式
，化简
的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．
二、多选题
15.答案：
C,D
解：
，
∴复数
的虚部为
，
的共轭复数
，
复平面内与
对应的点的坐标为
，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得
，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
16.答案：
A,C
解：
,A符合题意;
复数z在复平面内对应的点的坐标为
,在第三象限,B不正确;
z的共轭复数为
,C符合题意;
复数z在复平面内对应的点
不在直线
上,D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
17.答案：
A,B
解：
，且
，
，
复数
在复平面内对应的点位于第二象限
，
A:
；
B:
的虚部是
；
C:
的共轭复数为
；
D:
?.
故答案为：AB．
【分析】利用复数
的模长运算及
在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
18.答案：
A,B,C
解：设
，∴
，
∴
，
∴
，解得，
∴实数
的值可能是
.
故选：ABC.
【分析】设
，从而有
，利用消元法得到关于
的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
三、填空题
19.答案：
-1-i
解：
，
，
所以原式
.
故答案为：-1-i.
【分析】利用
的幂的性质化简即可得答案.
20.答案：
解：
，可设
，
，
，
，两式平方作和得：
，
化简得：
.
故答案为：
.
【分析】令
，
，根据复数的相等可求得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
21.答案：
1
解：解：由题意，
，
.
故答案为：1.
【分析】由已知可得
，再由复数模的计算公式求解.
22.答案：
解：设
．
则
．
，
．
当
时，
，
所以
，
的最大值是
；
当
时，
，
所以
，
的最大值是
；
当
时，
，所以
，
，
．
综上，
的最大值是
．
故答案为：
．
【分析】设
，化简得
，再分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．
四、解答题
23.答案：
（1）解：
为实数，，则
，；
（2）解：由（1）可知
，则
.
【分析】（1）根据复数的类型确定
的值，即可得出复数
；（2）由模长公式求解即可.
24.答案：
解：由题意，复数
，
则
，
（Ⅰ）若
为纯虚数，则有
，解得：
．
（Ⅱ）根据
对应的点
在
上，
可得
，解得：
．
【分析】（Ⅰ）将复数整理成代数形式，根据实部为0，虚部不为0，列式可解得结果；
（Ⅱ）根据复数的几何意义得到复数所对应的点，再代入直线方程可解得结果.
25.答案：
解：（Ⅰ）
，
所以
；
（Ⅱ）设
，
则
，
因为
的虚部为0，
所以，即
.
所以
.
【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出
后可求其模.（Ⅱ）设
，利用复数的乘法计算出
后再根据虚部为0求出
，从而可得
.
26.答案：
（1）解：设
，
，
.
由题意：
.①
，
得
，
，②
①②联立，解得
，
得
.
（2）解：由（1）可得
，
所以
，
由题意可知
，
解得
且
且
，所以
.
【分析】（1）设
，
且
，由条件可得
①，
②．由①②联立的方程组得
、
的值，即可得到
的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解
．
27.答案：
（1）解：依据
根据题意
是纯虚数，
，
；
（2）解：根据题意
在复平面上对应的点在第四象限，
可得
，
所以实数a的取值范围为
.
【分析】(1)由纯虚数概念明确实数
的值；(2)
点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.
28.答案：
（1）解：由已知得
，
∴
，
∴点
对应的复数
；
（2）解：设复数
所对应的点
，
∵
，
∴点
到点
的距离为1，
∴复数
所对应的点Z的轨迹为以
为圆心，1为半径的圆，
且其方程为
.
【分析】（1）根据复数加法的几何意义，求得
的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．
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精品试卷·第
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