3.2复数代数形式的四则运算 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
3.2复数代数形式的四则运算
一、单选题
1.复数
的虚部是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
2.（1–i）4=（???
）
A.?–4?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?–4i?????????????????????????????????????????D.?4i
3.若
，则
（???
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
4.若z=1+i，则|z2–2z|=（???
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
5.（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.??1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.??i
6.已知复数
（i为虚数单位），则
（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.复数z满足
，则
（
??）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
8.复数
（其中i为虚数单位）的虚部为（????
）
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?
9.若复数z满足
，则
（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.已知复数
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
11.已知a是实数，
是实数，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?
12.设复数z满足
，则
最大值为（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?4
二、多选题
13.已知复数
满足
，
，则实数
的值可能是（????
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?-4???????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?5
14.已知集合
，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
三、填空题
15.已知复数
，则
________.
16.计算
________.
17.设
（
为虚数单位），若
，则实数
________
18.欧拉公式
（其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当
时，
，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将
所表示的复数记为
，那么
________.
四、解答题
19.已知复数
满足
（
是虚数单位）.
求：（1）
（2）.
20.计算:
（1）;
（2）.
若复数
满足
（
为虚数单位），复数
的虚部为2，且
是实数，求
．
22.已知复数
是虚数单位）.
（1）求
；
（2）如图，复数
，
在复平面上的对应点分别是A，B，求
.
23.设复数
，复数
．
（Ⅰ）若
，求实数
的值.
（Ⅱ）若
，求实数
的值.
24.已知复数
（
为虚数单位）
（1）若
，求复数
的共轭复数；
（2）若
是关于
的方程
一个虚根，求实数
的值．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：因为
，
所以复数
的虚部为
.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
2.答案：
A
解：
.
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3.答案：
C
解：因为
，所以
．
故答案为：C．
【分析】先根据
将
化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
4.答案：
D
解：由题意可得：
，则
.
故
.
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得
的值，然后计算其模即可.
5.答案：
D
解：
.
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
6.答案：
D
解：
,
所以
.
故答案为：D
【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
7.答案：
B
解：因为
，所以
,
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z的代数表达式.
8.答案：
C
解：解：因为
，
所以复数
的虚部为2.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算法则化简复数z，再求得复数z的虚部即可.
9.答案：
C
解：解：
复数
满足
，
?，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
10.答案：
B
解：因为
，
所以
.
故答案为：B
【分析】先利用复数的除法，将
化简为
，再利用模的公式求解.
11.答案：
A
解：解：
是实数，
，即
．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得
值，代入
得答案．
12.答案：
C
解：设
，
，
，
即
，
点
在圆
上，
又该圆的圆心为
，半径为
，
该圆上所有点到原点的距离最大值为
，
即
，.
故答案为：C.
【分析】设
，
，由题意可得
，即点
在圆
上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
二、多选题
13.答案：
A,B,C
解：设
，∴
，
∴
，
∴
，解得：
，
∴实数
的值可能是
.
故答案为：ABC.
【分析】设
，从而有
，利用消元法得到关于
的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
14.答案：
B,C
解：根据题意，
中，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
，
.
A中，
；
B中，
；
C中，
；
D中，
.
故答案为：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
三、填空题
15.答案：
解：
，
.
故答案为：
.
【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得
.
16.答案：
1+3i
解：
，
故答案为：
【分析】由复数的除法和乘法化简
，
，再求
即可.
17.答案：
±180
解：解：由
和
，
得
，
所以
，
，解得
，
故答案为：
【分析】直接代入化简求解.
18.答案：
1
解：解：由题意，
，
.
故答案为：1.
【分析】由已知可得
，再由复数模的计算公式求解.
四、解答题
19.答案：
（1）解：由题
.即
；
（2）解：由(1)
,故
,
故
.
即
.
【分析】(1)易得
,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得
再计算
求模长即可.
20.答案：
（1）解：
（2）解：
.
【分析】（1）先计算
，再计算
得到答案.（2）化简得到
，再计算得到答案.
21.答案：
解：由已知，
，
设
，则
，
因
是实数，所以
，即
，所以
.
【分析】先利用复数的除法运算得到
，再设
，利用
是实数得到a.
22.答案：
（1）解：
，
；
（2）解：
，
，
【分析】（1）把
代入
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得
，
，代入
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
答案：
解：（Ⅰ）
=
=
=
，
因为
，所以，
，
；
（Ⅱ）解法1：
，
所以
，因此，
；
解法2：
，
则
，所以
.
【分析】（1）根据复数的加法和乘法运算，求出，
结合实数的虚部为0，解方程，即可求出实数a的值；（2）根据复数的除法，求出，
结合两复数相等则实部与实部相等，虚部与虚部相等，解方程组，即可求出a和b的值.
24.答案：
（1）解：因为复数
，
所以
，即
所以
；
（2）解：因为复数
是关于
?的方程
一个虚根，
所以
，
整理得
，解
.
【分析】（1）根据复数的四则运算，求出
，即可得到共轭复数；（2）根据复数z是方程的一个虚根，代入即可求出实数m的值.
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