第三章 数系的扩充与复数的引入 单元测试卷（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
第三章
数系的扩充与复数的引入
一、单选题
1.若
，则z=（???
）
A.?1–i?????????????????????????????????????????B.?1+i?????????????????????????????????????????C.?–i?????????????????????????????????????????D.?i
2.（1–i）4=（???
）
A.?–4?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?–4i?????????????????????????????????????????D.?4i
3.复数
的虚部是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
4.（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.??1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.??i
5.若
，则
（???
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
6.复数
(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（??
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
7.若z=1+i，则|z2–2z|=（???
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
8.在复平面内，复数z对应的点的坐标是
，则
（???
）．
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
9.已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?﹣1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?﹣2
10.下列命题中,正确的命题是（????
）
A.?若
，则
?????????????????B.?若
，则
不成立
C.?，则
或
?????????D.?，则
且
11.若复数z满足
，则
（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.已知a是实数，
是实数，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.设复数z满足
,i为虚数单位,则下列命题正确的是(???
)
A.????????????????????????????????????????????????????????????????B.?复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.?z的共轭复数为
??????????????????????????????????????D.?复数z在复平面内对应的点在直线
上
14.已知复数
满足
，
，则实数
的值可能是（????
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?-4???????????????????????????????????????????C.?0???????????????????????????????????????????D.?5
15.已知复数
在复平面内对应的点位于第二象限，且
则下列结论正确的是（???
）．
A.??????????????????????B.?z的虚部为
?????????????????????C.?z的共轭复数为
?????????????????????D.?
16.已知复数
，则以下说法正确的是（???
）
A.?复数z的虚部为
????????????????????????????????????????B.?z的共轭复数
C.?????????????????????????????????????????????????????????????D.?在复平面内与z对应的点在第二象限
三、填空题
17.i是虚数单位，复数
________．
18.已知i是虚数单位，则复数
的实部是________.
19.设复数
，
满足
，
，则
=________.
20.下列命题（
为虚数单位）中：①已知
且
，则
为纯虚数；
②当
是非零实数时，
恒成立；③复数
的实部和虚部都是－2；
④如果
，则实数
的取值范围是
；⑤复数
，则
；其中正确的命题的序号是________.
四、解答题
21.已知i虚数单位，
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若复数
的虚部为2，且
的虚部为0，求
.
22.已知复数
满足
（
是虚数单位）.
求：（1）
.
23.已知复数
是虚数单位）.
（1）求
；
（2）如图，复数
，
在复平面上的对应点分别是A，B，求
.
24.已知复数
(i为虚数单位).
（1）若z是纯虚数，求实数
的值；
（2）在复平面内，若z所对应的点在直线
的上方，求实数m的取值范围.
25.设实部为正数的复数
，满足
，且复数
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数
；
（2）若
为纯虚数，求实数
的值.
26.已知复数
，i为虚数单位，
.
（1）若z是实数，求实数a的值；
（2）若
，求实数a的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：因为
，所以
.
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得
，再利用共轭复数的概念得到z即可.
2.答案：
A
解：
.
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3.答案：
D
解：因为
，
所以复数
的虚部为
.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
4.答案：
D
解：
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
5.答案：
C
解：因为
，所以
．
故答案为：C．
【分析】先根据
将
化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
6.答案：
A
解：∵
，
∴复数
在复平面内对应的点的坐标为
，在第一象限，
故答案为：A.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出
的值，根据复数的几何意义可得结果．
7.答案：
D
解：由题意可得：
，则
.
故
.
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得
的值，然后计算其模即可.
8.答案：
B
解：由题意得
，
.
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
9.答案：
C
解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
10.答案：
C
解：A．当
时，
，此时
无法比较大小，故错误；
B．当
时，
，所以
，所以此时
成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知：
或
，故正确；
D．当
时，
，此时
且
，故错误.
故答案为：C.
【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断
是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况：
，由此判断是否正确.
11.答案：
C
解：
复数
满足
?
，
.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
12.答案：
A
解：解：
是实数，
，即
．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得
值，代入
得答案．
二、多选题
13.答案：
A,C
解：
,A符合题意;
复数z在复平面内对应的点的坐标为
,在第三象限,B不正确;
z的共轭复数为
,C符合题意;
复数z在复平面内对应的点
不在直线
上,D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
14.答案：
A,B,C
解：设
，∴
，
∴
，
∴
，解得：
，
∴实数
的值可能是
.
故答案为：ABC.
【分析】设
，从而有
，利用消元法得到关于
的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
15.答案：
A,B
解：，且
，
，
复数
在复平面内对应的点位于第二象限
，
A:
；
B:
的虚部是
；
C:
的共轭复数为
；
D:
?.
故答案为：AB．
【分析】利用复数
的模长运算及
在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
16.答案：
C,D
解：
，
∴复数
的虚部为
，
的共轭复数
，
复平面内与
对应的点的坐标为
，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得
，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
三、填空题
17.答案：
3-2i
解：
.
故答案为：3-2i.
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
?
18.答案：
3
解：∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
19.答案：
解：
，可设
，
，
，
，两式平方作和得：
，
化简得：
.
故答案为：
.
【分析】令
，
，根据复数的相等可求得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
20.答案：
②③④
解：对于①，
，
且
，若
时，则
不是纯虚数，①错误；
对于②，当
是非零实数时，根据基本不等式的性质知
恒成立，②正确；
对于③，复数
，
的实部和虚部都是
，③正确；
对于④，如果
，则
，
解得
，所以实数
的取值范围是
，④正确；
对于⑤，复数
，则
，
⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】①当
时，
不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知
恒成立；③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．
四、解答题
21.答案：
解：（Ⅰ）
，
所以
，
（Ⅱ）设
，
则
，
因为
的虚部为0，所以，
，即
.
所以
.
【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出
后可求其模.（Ⅱ）设
，利用复数的乘法计算出
后再根据虚部为0求出
，从而可得
.
答案：
（1）解：由题
.即
（2）解：由(1)
,故
,
故
，
即
.
【分析】(1)易得
,利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求
再计算
求模长即可.
23.答案：
（1）解：
，
；
（2）解：
，
，
.
【分析】（1）把
代入
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得
，
，代入
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
24.答案：
（1）解：
是纯虚数，
，
解得
，??
（2）解：z所对应的点是
，
所对应的点在直线
的上方，即
，
化简得
，即
，?
.
【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线
上方，就是点的坐标适合不等式
代入后不等式可得．
25.答案：
（1）解：设
，
，
.
由题意：
.①
，
得
，，②
①②联立，解得
，
，
得
；
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知
解得
且
且
所以
【分析】（1）设
，
且
，由条件可得
①，
②．由①②联立的方程组得
、
的值，即可得到
的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解
．
26.答案：
（1）解：由题意
，
；
（2）解：由己知
，解得
或
．
（3）解：复数
对应点坐标为
，它在第三象限，则
，解得
．∴
的范围是
．
【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．
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