青岛版2020-2021学年度上学期九年级期中模拟数学卷（含答案）

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2020-2021学年度第一学期期中模拟卷
九年级数学（时间120分钟，满分120分）
一、单选题（共12题；共36分）
1.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（
??
）
A.?扩大为原来的两倍?????????????????????B.?缩小为原来的
?????????????????????C.?不变?????????????????????D.?不能确定
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（??
）
A.??????????????????
????B.???????????????????
???C.??????????????????
??????D.?
3.下列四个命题中，正确的个数是（
??）
①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．
A.?4个????????????????????
?B.?3个??????????????????
??C.?2个?????????????????????
?D.?1个
4.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(?
?
)
A.?(2，4)?????????????
B.?(－1，－2)??????????
????C.?(－2，－4)???????????
???D.?(－2，－1)
5.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的
弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1：5，则CD的长为（?
?
）
A.??????????????????????
B.?????????????
??
????C.??????????????????
??D.?
6.如图，在坡度为
的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（?
）
A.?3m???????????????????????
?B.?3
m????????
??
C.?12m????????????
?????
D.?6m
4题图
5题图
6题图
7.如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（??
）
A.?15
海里??????????????????B.?30海里??????????????????C.?45海里?????????????????D.?30
海里
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=4，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（
??
）
A.??????????????
?????????B.?6????????????????????????C.??????????????????????
???D.?7
8题图
9题图
10题图
9.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：
①BE=GE；?
②△AGE≌△ECF；
③∠FCD=45°；?
④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（
　）
A.?1个?????????????????
?
????B.?2个???????????
??????
????C.?3个???????????????????
?????D.?4个
10.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1．
点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（??
）
A.??????????????????????????B.???????????????????????????C.??????????????
????????D.?1
11.如图，正方形
的边长为1，点
是
边上的一点，将
沿着
折叠得
.若
，
恰好都与正方形
的中心
为圆心的
相切，则折痕
的长为（?
?
）
A.????????????????????
?
B.???????????????
??
?C.??????????????????????
?D.?
11题图
12题图
12.如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=
AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则
的值为（??
）
A.????????????????????????????
?B.????????????????????
??C.??????????????????????
?????D.?1
二、填空题（共6题；共18分）
13.计算：
+（
）﹣2﹣3tan60°+（π
）0＝________．
14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）
你的计算结果是：出南门________?步而见木．
15.如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、
（0，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标为________．
15题图
16题图
17题图
16.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．
17.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm．
18.如图，
，在
上截取
.过点
作
，交
于点
，以点
为圆心，
为半径画弧，交
于点
；过点
作
，交
于点
，以点
为圆心，
为半径画弧，交
于点
；按此规律，所得线段
的长等于________.
三、作图题（共1题；共8分）
19.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2．
（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心
及与原图形的相似比．
四、解答题（共6题；共58分）
20.如图，在?ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE
，
延长BE交CD的延长线于F
，
求FD的长．
21.如图，
为
的直角边
上一点，以
为半径的
与斜边
相切于点
，交
于点
．已知
，
．
（1）求
的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
22.如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．（参考数据：sin27°≈，
cos27°≈，
tan27°≈，
sin53°≈，
cos53°≈，
tan53°≈）
23.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求
的值．
24.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
25.小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
（1）温故：如图1，在△
中，
⊥
于点
，正方形
的边
在
上，顶点
，
分别在
，
上，若?BC=a，AD=h，求正方形
的边长(a,h表示)．
（2）操作：如何能画出这个正方形PQMN呢?
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点
，画正方形
，使
，
在
边上，
在△
内，然后连结
并延长交
于点N，画
⊥
于点
，
⊥
交
于点
，
⊥
于点
，得到四边形P
．
推理：证明图2中的四边形
是正方形．
拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取
，连结
，
(如图3)．当∠
=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．
2020-2021学年度第一学期期中模拟卷
九年级数学答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】锐角三角函数的增减性
2.【答案】
A
【考点】锐角三角函数的定义
3.【答案】
B
【考点】圆的认识，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心
4.【答案】
C
【考点】位似变换
5.【答案】
A
【考点】垂径定理，垂径定理的应用
6.【答案】
B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
7.【答案】
B
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
8.【答案】
B
【考点】全等三角形的判定与性质，四边形的性质，相似三角形的判定与性质
9.【答案】
C
【考点】解直角三角形
10.【答案】
B
【考点】平行线分线段成比例
11.
【答案】
B
【考点】圆的综合题
12.【答案】
C
【考点】全等三角形的判定与性质，四边形的性质，相似三角形的判定与性质
二、填空题
13.【答案】
10
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
14.【答案】315
【考点】相似三角形的应用
15.【答案】（2，1）
【考点】垂径定理的应用
16.【答案】
【考点】勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
17.【答案】
8
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
18.【答案】
【考点】等边三角形的判定与性质，解直角三角形，探索图形规律
三、作图题
19.【答案】解：（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；
（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，
∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，
∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．
【考点】作图-位似变换
【解析】【分析】（1）将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2得O（0，0），A′（﹣6，0），B′（﹣8，﹣8），C′（4，﹣6），顺次连接各点即可；
（2）根据位似图形的定义可知得到的四边形与四边形OABC位似，根据图形可得出位似中心及位似比．
四、解答题
20.【答案】
∵AD=9，AE=2DE，
∴AE=6，DE=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴
，
∴
，
解得：DF=2．
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】求出AE和DE，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△ABE∽△DFE，根据相似得出比例式，代入求出DF即可．
21.【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，AB===2
?.
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
又∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
（2）解：在Rt△ABC中，sinA=
?==.
∴∠A=30°.
∵AB切⊙O于点D.
∴OD⊥AB.
∴∠AOD=90°-∠A=60°.
∵
?=tanA=tan30°.
∴
?=.
∴OD=1.
S阴影==.
【考点】勾股定理，切线的性质，扇形面积的计算，解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
22.【答案】
解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB=99海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD=x海里，则AD=（99﹣x）海里，
在Rt△BCD中，tan53°=，
则tan27°=，
CD=x?tan53°≈x（海里）．
在Rt△ACD中，则CD=AD?tan27°≈（99﹣x），
则x=（99﹣x），
解得，x=27，
即BD=27．
在Rt△BCD中，cos53°=，
则BC===45，
45÷2=22.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为22.5海里/时．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（99﹣x）海里，在Rt△BCD中，根据tan53°=，
求出CD，再根据x=（99﹣x），求出BD，在Rt△BCD中，根据cos53°=?，求出BC，从而得出答案．
23.【答案】
（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
=
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴
，
∴
=
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，
，又易证△EAF∽△CAG，所以
，从而可知
．
24.【答案】
（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO=AO=EO=
AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO．
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴
=
，即
=
，
解得：r=
，
∴BE=AB﹣AE=5﹣
=
【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出
=
，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
25.【答案】
（1）解：由正方形PQMN得PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴
,即.
?
解得PN=
（2）证明：推理：由画法可得∠QMN=∠PNM=∠PQM=∠Q'M'N'=90°,
∴四边形PQMN为矩形，MN∥M'N'.
∴△BN'M'∽△BNM.
∴
同理可得
∴
:M'N'=P'N'，∴MN=PN
∴四边形PQMN为正方形。
（3）解：过N作NR⊥EM于点R，
∵NE=NM，
∴∠NEM=∠NME，
∴ER=RM=
?EM，
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，
∴∠EQM=∠EMN，
又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，
∴△EQM≌△RMN(AAS)
∴EQ=RM,
∴EQ=
?EM,
∵∠QEM=90°，
∴∠BEQ+∠NEM=90°，
∴BEQ=∠EMB，
又∵∠EBM=∠QBE,
∴△BEQ∽△BME，
∴
?，
设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，
∴QM=BM-BQ=3x=MN=NE，
∴BN=BE+NE=5x，
∴BN=
?NM=
?
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）温故：利用正方形的性质易证PN∥BC，就可证得△PAN∽△ABC，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于PN的方程，解方程求出PN的长。
（2）推理：根据画法易证四边形PQMN是矩形，可得到MN∥M'N'，易证△BMN和△BM'N'，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，同理可证△P'BN'∽△PBN，得出对应边成比例，利用中间比及M'N'=P'N'，可证MN=PN，然后利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。
（3）
拓展：
过N作NR⊥EM于点R，
根据已知条件去证明
△EQM≌△RMN，利用全等三角形的性质，可证得
EQ=RM，即可得到
EQ=
?EM
，再证明
△BEQ∽△BME，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，设BQ=x，用含x的代数式分别表示出BE、BM、QM、BN，
然后根据
BN=
?NM，就可求出“波利亚线”BN的长、
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