人教版八年级上数学轴对称——最短路径问题（Word版，无答案）

第11讲：轴对称
【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，
旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
一．【十二个基本问题】
【问题
1】
作法
作图
原理
在直线
l
上求一点
P，使PA+PB
值最小。
连
AB，与
l
交点即为
P．
两点之间线段最短．PA+PB
最小值为
AB．
【问题
2】
作法
作图
原理
在直线
l
上求一点
P，使PA+PB
值最小．
作
B
关于
l
的对称点
B＇连
A
B＇，与
l
交点即为
P．
两点之间线段最短．PA+PB
最小值为A
B＇．
【问题
3】“将军饮马”
作法
作图
原理
在直线
l1
、
l2
上分别求点M、N，使△PMN
的周长最小．
分别作点
P
关于两直线的对称点
P＇和
P＇，连
P＇P＇，与两直线交点即为
M，N．
两点之间线段最短．PM+MN+PN
的最小值为线段
P＇P＇＇的长。
【问题
4】
作法
作图
原理
在直线
l1
、
l2
上分别求点M
、N
，使四边形
PQMN的周长最小。
分别作点
Q
、P
关于直线l1
、
l2
的对称点
Q＇和
P＇连
Q＇P＇，与两直线交点即为
M，N．
两点之间线段最短四边形
PQMN
周长的最小值为线段
Q＇P＇的长。
【问题
5】“造桥选址”
作法
作图
原理
直线
m
∥
n
，在
m
、
n，上分别求点
M、N，使
MN⊥m
，且
AM+MN+BN的值最小。
将点
A
向下平移
MN
的长度单位得
A＇，连
A＇B，交
n于点
N，过
N
作
NM⊥
m
于M
.
两点之间线段最短．AM+MN+BN
的最小值为A＇B+MN．
【问题
6】
作法
作图
原理
在直线
l
上求两点
M、N（M在左），使
MN
?
a
，并使AM+MN+NB
的值最小
.
将点
A
向右平移
a
个长度单位得
A＇，作
A＇关于
l的对称点
A＇＇，连
A＇＇B，交直线
l
于点
N，将
N
点向左平移
a
个单位得
M．
两点之间线段最短．AM+MN+BN
的最小值为A＇＇B+MN．
【问题
7】
作法
作图
原理
在
l1
上求点
A，在
l2
上求点
B，使
PA+AB
值最小．
作点
P
关于
l1
的对称点P＇，作
P＇B⊥
l2于B，交l1
于
A．
点到直线，垂线段最短PA+AB
的值最小为P＇B
【问题
8】
作法
作图
原理
A
为
l1
上一定点，B
为
l2
上；A
为
l1
上一定点，B
为
l2上一定点，在
l2
上求点M在l1上求点N
，
使AM+MN+NB
的值最小．
作点
A
关于
l2
的对称点A＇，作点
B
关于
l1
的对称点
B＇，连
A＇B＇交l2
于M，交
l1
于
N
.
两点之间线段最短AM+MN+NB
的最小值为线段
A＇B＇的长．
【问题
9】
作法
作图
原理
在直线
l
上求一点
P，使的值最小
.
连
AB，作
AB
的中垂线与直线
l
的交点即为
P．
垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0
.
【问题
10】
作法
作图
原理
在直线
l
上求一点
P，使的值最大
.
作直线
AB，与直线
l
的交点即为
P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB
.
【问题
11】
作法
作图
原理
在直线
l
上求一点
P，使的值最大
.
作
B
关于
l
的对称点
B＇作直线
A
B＇，与
l
交点即为
P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇
.
【问题
12】“费马点”
作法
作图
原理
△ABC
中每一内角都小于120°，在△ABC
内求一点P，使
PA+PB+PC
值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以
AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连
CD、BE
相交于
P，点
P
即为所求．
两点之间线段最短．PA+PB+PC
最小值＝CD．
二．“一次对称”常见模型:
【精品练习】
如图所示，正方形
ABCD
的面积为
12，△ABE
是等边三角形，点
E
在正方形
ABCD
内，在对角线
AC
上有一点
P，使
PD+PE
的和最小，则这个最小值为（
）
A.2
B.
2
C.3
D.
如图，在边长为
2
的菱形
ABCD
中，∠ABC＝60°，若将△ACD
绕点
A
旋转，当
AC′、AD′分别与
BC、CD交于点
E、F，则△CEF
的周长的最小值为（
）
A.2
B.2
C.2＋
D.
4
3．四边形
ABCD
中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在
BC、CD
上分别找一点
M、N，使△AMN
的周长最小时，
∠AMN+∠ANM
的度数为（
）
A．120°
B．130°
C．110°
D．140°
4．如图，在锐角△ABC
中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC＝45°，∠BAC
的平分线交
BC
于点
D，M、N
分别是
AD
和AB上的动点，则
BM+MN
的最小值是__________。
5．如图，Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点
E
在
AB
边上，点
D
在
BC
边上（不与点
B、C
重合），且
ED＝AE，则线段
AE
的取值范围是__________。
6．如图，∠AOB＝30°，点
M、N
分别在边
OA、OB
上，且
OM＝1，ON＝3，点
P、Q
分别在边
OB、OA
上，则
MP＋PQ＋QN
的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即
Rt△ABC
中，∠C＝90°，则有
AC
2
?
BC
2
?
AB
2
）
7．如图，三角形△ABC
中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点
B
在
x
轴的正半轴，坐标为
B(
6，0)．OC
平分∠AOB,点
M
在
OC
的延长线上，点
N
为边
OA
上的点，则
MA＋MN
的最小值__________。
8．已知
A（2，4）、B（4，2）．C
在
y
轴上，D
在
x
轴上，则四边形
ABCD
的周长最小值为__________。
此时
C、D
两点的坐标分别为__________。
9．已知
A（1，1）、B（4，2）．（1）P
为
x
轴上一动点，求
PA+PB
的最小值和此时
P
点的坐标；（2）P
为
x
轴上一动点，求
PA
?
PB
的值最大时
P
点的坐标；
（3）CD
为
x
轴上一条动线段，D
在
C
点右边且
CD＝1，求当
AC+CD+DB
的最小值和此时
C
点的坐标；
点
C
为∠AOB
内一点．（1）在
OA
求作点
D，OB
上求作点
E，使△CDE
的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE
周长的最小值和此时∠DCE
的度数．
11．（1）如图①，△ABD
和△ACE
均为等边三角形，BE、CE
交于
F，连
AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC
中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C
均小于
120°，求作一点
P，使
PA+PB+PC
的值最小，试求出最小值并说明理由．
12．荆州护城河在
CC＇处直角转弯，河宽相等，从
A
处到达
B
处，需经过两座桥
DD＇、EE＇，护城河及两
桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使
A
到
B
点路径最短？
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