三角形与全等三角形典型题分析学案（解析版）

初中数学典型题思路分析之三
角
形
一、重点及易错题型思路方法归纳二、三角形的线段和角典型题
三、全等三角形典型题
四、全章复习巩固练习
一、重点及易错题型思路方法归纳
注：例题均为★★至★★★难度.
（一）解题知识要点
三角形三边的关系：要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
三角形的重要线段：
三角形的高：线段
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
三角形的中线：线段
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
三角形的角平分线
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
三角形的稳定性要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，
四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形
(
1
)
的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
4.多边形的定义要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有
n
条边就叫做
n
边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.
正多边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.
多边形的对角线要点诠释：(1)从
n
边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将
多边形分成(n－2)个三角形；(2)n
边形共有
条对角线．
全等三角形的判定与性质
\
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
注意
判定三角形全等必须有一组对应边相等
全等三角形的证明思路
与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
证明线段相等的方法：
证明两条线段所在的两个三角形全等.
利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
等式性质.
证明角相等的方法：
利用平行线的性质进行证明.
证明两个角所在的两个三角形全等.
利用角平分线的判定进行证明.
同角（等角）的余角（补角）相等.
对顶角相等.
证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
辅助线的添加:
作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
证明三角形全等的思维方法:
直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
（二）典型例题类型
类型一、三角形的三边关系
例题
1:一个三角形的三边长分别是
3，2a-1，6,则整数a的值可能是
(
)．
A．2,3
B．3,4
C．2,3，4
D．3,4，5
【解题思路】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.
【答案解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为
3，2a-1，6,
∴
解得：2＜a＜5，整数a的值可能是
3,4，故选B.
【规律总结】判断有三条已知线段abc能否组成三角形：
A.|a-b|或者
B.
当三条线段中，较短的两条线段之和大于长线段时，能组成三角形，或当三条线段中最短的线段大于其他两边只差时，能够组成三角形。
例题
2:已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣
|a-b+c|．
【答案解析】解：∵a、b、c是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b．
例题
3:如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．
你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
【解题思路】我们需将线段AB,AC,OB.OC通过“等量代换”转化在同一个(或几个)
三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决.那么怎样进行“等量代换”转化呢?因为题中AB、AC与OB、OC各自孤立而无联系,为打破这个僵局,可将BO延长与AC交于E(或将CO延长与AB交于F),
于是它们之间便建立了密切的联系,并有等量可代了.
【答案解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，
在△ABE中，AB+AE＞BE；
在△EOC中，OE+EC＞OC，
两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．
由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．
又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以
7＜OB+OC＜11．
【规律总结】在证明线段和（或差)的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”
在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决.
类型二、三角形中的重要线段
例题
1:在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为
12cm和
15cm两部分，求三角形的各边长．
【解题思路】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．
此题我们重点注意分类讨论思想：BD把△ABC的周长分为
12cm和
15cm两部分，哪部分是
12cm，哪部分是
15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．
【答案解析】
解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝
．
若AB+AD＝12，即
，所
以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，所以三边长为
8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即
，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为
10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为
8，8，11
或
10，10，7．
【规律总结】在证(解)题中,对可能出现的不同情况要采取分类讨论的方法予以解答,这对学好数学是非常重要的，要养成这种严谨的学习习惯。
例题
2:有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.
【答案解析】方案
1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．
方案
2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．
方案
3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．
方案
4：如图(4)，在
AB取点
D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、
F，连接CE、CF．
类型三、与三角形有关的角
例题:已知△ABC中，AE平分∠BAC
如图
1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；
如图
2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，
则∠EPF=是否成立，并说明理由．
【解题思路】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1
的度数，进而得到∠3
的度数，再根据∠EPF=180°﹣
∠2﹣∠3
计算即可．
【答案解析】证明：（1）如图
1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠1==36°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．
（2）成立．
如图
2，∵AE平分∠BAC，
∴∠1===90°﹣，
∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，
又∵PF⊥BC于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．
类型四、三角形的稳定性
例题
1:如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，
而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【解题思路】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.
【答案解析】
解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距
离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
例题
2:如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【答案解析】要使五边形木架不变形，至少要钉
2
根木条；使七边形木架不变形，
至少要钉
4
根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
类型五、巧引辅助线构造全等三角形
倍长中线法
例题
1:已知，如图，△ABC
中，D
是
BC
中点，DE⊥DF,试判断
BE＋CF
与
EF
的大小关系，并证明你的结论.
【解题思路】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.
因为
D
是
BC
的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段
DF，使
DG＝DF,证明△
EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把
BE、CF
与
EF
线段转化到了△BEG
中，利用两边之和大于第三边可证.
【答案解析】BE＋CF＞EF；
证明：延长
FD
到
G，使
DG＝DF,连接
BG、EG
∵D
是
BC
中点
∴BD＝CD
又∵DE⊥DF
在△EDG
和△EDF
中
∴△EDG≌△EDF（SAS）
∴EG＝EF
在△FDC
与△GDB
中
∴△FDC≌△GDB(SAS)
∴CF＝BG
∵BG＋BE＞EG
∴BE＋CF＞EF
例题
2:已知：如图所示，CE、CB
分别是△ABC
与△ADC
的中线，且∠ACB＝∠ABC．
求证：CD＝2CE．
【答案解析】证明：
延长
CE
至
F
使
EF＝CE，连接
BF．
∵
EC
为中线，
∴
AE＝BE．
在△AEC
与△BEF
中，
∴
△AEC≌△BEF（SAS）．
∴
AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）
又∵
∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．
∴
AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．
∴
AB＝BF．
又∵
BC
为△ADC
的中线，
∴
AB＝BD．即
BF＝BD．
在△FCB
与△DCB
中，
∴
△FCB≌△DCB（SAS）．
∴
CF＝CD．即
CD＝2CE．
作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形
例题
3:如图，AD
是
的角平分线，H，G
分别在
AC，AB
上，且
HD＝BD.
(1)求证：∠B
与∠AHD
互补；
若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段
AG
与线段
AH、HD
之间满足的等量关系，并加以证明.
【答案解析】证明：（1）在
AB
上取一点
M,
使得
AM＝AH,
连接
DM.
∵
∠CAD＝∠BAD,
AD＝AD,
∴
△AHD≌△AMD.
∴
HD＝MD,
∠AHD＝∠AMD.
∵
HD＝DB,
∴
DB＝
MD.
∴
∠DMB＝∠B.
∵
∠AMD＋∠DMB
＝180°,
∴
∠AHD＋∠B＝180°.
即
∠B
与∠AHD
互补.
（2）由（1）∠AHD＝∠AMD,
HD＝MD,
∠AHD＋∠B＝180°.
∵
∠B＋2∠DGA
＝180°,
∴
∠AHD＝2∠DGA.
∴
∠AMD＝2∠DGM.
∵
∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.
∴
2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.
∴
∠DGM＝∠GDM.
∴
MD＝MG.
∴
HD＝
MG.
∵
AG＝
AM＋MG,
∴
AG＝
AH＋HD.
（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形
例题
4:如图，△ABC
中，AB=AC，点
P
是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．
如图
1，若∠BAC=60°，点
P
恰巧在∠ABC
的平分线上，PA=2，求
PB
的长；
如图
2，若∠BAC=60°，探究
PA，PB，PC
的数量关系，并证明；
如图
3，若∠BAC=120°，请直接写出
PA，PB，PC
的数量关系．
【解题思路】截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC
是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠
APB=60°，又点
P
恰巧在∠ABC
的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，
利用直角三角形的性质解出结果．
在
BP
上截取
PD，使
PD=PA，连结
AD，得到△ADP
是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．
以
A
为圆心，以
AP
的长为半径画弧交
BP
于
D，连接
AD，过点
A
作
AF
⊥BP
交
BP
于
F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．
【答案解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC
是等边三角形，∠APB=∠ABC，
∴∠APB=60°，
又∵点
P
恰巧在∠ABC
的平分线上，
∴∠ABP=30°，
∴∠PAB=90°，
∴BP=2AP，
∵AP=2，
∴BP=4；
结论：PA+PC=PB．
证明：如图
1，在
BP
上截取
PD，使
PD=PA，连结
AD，
∵∠APB=60°，
∴△ADP
是等边三角形，
∴∠DAP=60°，
∴∠1=∠2，PA=PD，
在△ABD
与△ACP
中，
，
∴△ABD≌△ACP，
∴PC=BD，
∴PA+PC=PB；
结论：PA+PC=PB．
证明：如图
2，以
A
为圆心，以
AP
的长为半径画弧交
BP
于
D，连接
AD，
过点
A
作
AF⊥BP
交
BP
于
F，
∴AP=AD，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠APB=30°，
∴∠DAP=120°，
∴∠1=∠2，
在△ABD
与△ACP
中，
，
∴△ABD≌△ACP，
∴BD=PC，
∵AF⊥PD，
∴PF=AP，
∴PD=
AP，
∴PA+PC=PB．
例题
5:如图，AD
是△ABC
的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC
【答案解析】证明：在
AB
上截取
AE＝AC,连结
DE
∵AD
是△ABC
的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED
与△ACD
中
∴△AED≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC
在△BED
中，BE＞BD－DC
即
AB－AE＞BD－DC
∴AB－AC＞BD－DC
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段
例题
6:如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC
于点
D，∠1=∠2，EF∥BC
交
AC
于点
F．试说明
AE=CF．
【解题思路】已知角平分线，构造全等三角形，综合利用角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．作
EH⊥AB
于
H，作
FG⊥BC
于
G，
根据角平分线的性质可得
EH=ED，再证
ED=FG，则
EH=FG，通过证明△AEH
≌△CFG
即可．
【答案解析】作
EH⊥AB
于
H，作
FG⊥BC
于
G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形
EFGD
是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．
例题
7:如图所示，在△ABC
中，AC=BC，∠ACB=90°，D
是
AC
上一点，且
AE
垂直
BD
的延长线于
E，
，求证：BD
是∠ABC
的平分线．
【解题思路】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加
方法.
【答案解析】证明：延长
AE
和
BC，交于点
F，
∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），
∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．
在
Rt△ACF
和
Rt△BCD
中．
所以
Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．
则
AF=BD（全等三角形对应边相等）．
∵AE=BD，∴AE=AF，
即
AE=EF．
在
Rt△BEA
和
Rt△BEF
中，
则
Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．
所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），
即
BD
是∠ABC
的平分线．
类型六、全等三角形动态型问题
例题:在△ABC
中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线
经过顶点
C，过
A，B
两点分别作
的垂线
AE，BF，垂足分别为
E，F.
如图
1
当直线
不与底边
AB
相交时，求证：EF＝AE＋BF.
将直线
绕点
C
顺时针旋转，使
与底边
AB
相交于点
D，请你探究直线
在如下位置时，EF、AE、BF
之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③
AD＜BD.
【答案解析】证明：（1）∵AE⊥
，BF⊥
，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋
∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3。
∵在△ACE
和△CBF
中，
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。
（2）①EF＝AE－BF，理由如下：
∵AE⊥
，BF⊥
，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。
∵在△ACE
和△CBF
中
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。
②EF＝AE―BF
③EF＝BF―AE
证明同①.
【解题规律】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：
变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；
图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段
之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；
几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，
其结论有时变化，有时不发生变化.
例题
2:【问题情境】
如图，在正方形
ABCD
中，点
E
是线段
BG
上的动点，AE⊥EF，EF
交正方形外角∠DCG
的平分线
CF
于点
F．
【探究展示】
如图
1，若点
E
是
BC
的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．
如图
2，若点
E
是
BC
的上的任意一点（B、C
除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
如图
3，若点
E
是
BC
延长线（C
除外）上的任意一点，求证：AE=EF．
【答案解析】（1）证明：取
AB
的中点
M，连结
EM，如图
1：
∵M
是
AB
的中点，E
是
BC
的中点，
∴在正方形
ABCD
中，AM=EC，
∵CF
是∠DCG
的平分线，
∴∠BCF=135°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠MAE=∠CEF=45°，
在△AME
与△ECF
中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
证明：取
AB
上的任意一点使得
AM=EC，连结
EM，如图
2：
∵AE⊥EF，AB⊥BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
∵AM=EC，
∴在正方形
ABCD
中，BM=BE，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME
与△ECF
中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
证明：取
AB
延长线上的一点
M
使得
AM=CE，如图
3：
∵AM=CE，AB⊥BC，
∴∠AME=45°，
∴∠ECF=AME=45°，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∵MA⊥AD，AE⊥EF，
∴∠MAE=∠CEF，
在△AME
与△ECF
中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴AE=EF．
二、三角形的线段和角
(一)选择题
典型题
1：难度★
已知∠A、∠B、∠C
是△ABC
的三个内角，记
a＝∠A＋∠B，β＝∠B＋∠C，γ
＝∠C＋∠A，则
a、β、γ中锐角至多有（
）.
（A）0
个
（B）1
个
（C）2
个
（D）3
个
【答案解析】
方法
1
根据题意，a、B、Y
分别与∠C、∠A、∠B
互补，a、β、γ中锐角的个数就是∠A、∠B、∠C
中钝角的个数.显然，三角形内角至多有
1
个钝角（否则与三角形内角和定理矛盾），所以
a、B、γ中锐角至多有
1
个，应选
B.
方法
2
根据题意，a、B、γ是△ABC
三个顶点处的外角，则
a＋β＋r＝360°.显然a、B、γ中至多有
1
个锐角.
典型题
2：难度★
在钝角△ABC
中，已知∠A＝27°，则∠B
不可能是（
）.
（A）37°
（B）57°
（C）77°
（D）97°
【解题思路】这类选择题可以将各选项直接代入验证比较简便（方法
2）.
【答案解析】
方法
1
△ABC
中，由∠A＝27°可得到∠B＋∠C＝180°－27°＝153°.因为△ABC
为钝角三角形，有两种可能：①若∠B
是钝角，则∠B＞90°；②若∠C
是钝角，
则∠B＜153°－90°＝63°.∠B
的范围是小于
63°或大于
90°，故应选
C.
方法
2
直接代入验证：当∠B
为
37°或
57°时，均能求得∠C
是钝角；选项（D）
已是钝角.所以应选
C.
(二)填空题
典型题
3：难度★
如图，AD⊥BC
于
D，那么图中以
AD
为高的三角形有
个．
【答案】6.
典型题
4：难度★★★
对面积为
1
的△ABC
进行以下操作：分别延长
AB、BC、CA
至点
A1、B1、C1，
使得
A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接
A1、B1、C1，得到△A1B1C1
（如图所示），记其面积为
S1．现再分别延长
A1B1、B1C1、C1A1
至点
A2、B2、C2，使得
A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接
A2、B2、
C2，得到△A2B2C2，记其面积为
S2，则
S2=
．
【答案解析】连接
A1C，根据
A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，
因而若过点
B，A1
作△ABC
与△AA1C
的
AC
边上的高，则高线的比是
1：3,因而面积的比是
1：3，则△A1BC
的面积是△ABC
的面积的
2
倍，设△ABC
的面积是
a，
则△A1BC
的面积是
2a，同理可以得到△A1B1C
的面积是△A1BC
面积的
2
倍，是
4a，
则△A1B1B
的面积是
6a，同理△B1C1C
和△A1C1A
的面积都是
6a，△A1B1C1
的面积是19a，即△A1B1C1
的面积是△ABC
的面积的
19
倍，同理△A2B2C2
的面积是△A1B1C1
的面积的
19
倍，∴S2=19×19×1=361．故答案为：361．
典型题5：难度★
已知三角形中两条边的长分别为
2
和
7，第三条边的长也是整数。
若第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为
；
若这个三角形的周长是奇数，则第三边的长为
.
【解题思路】当已知三角形的两边时，可确定第三边的取值范围.|a-b|【答案解析】根据三角形的三边关系，第三边长
x
的取值范围是
7－2＜x＜7＋2，
即
5＜x＜9.
（1）因为第三条边长是奇数，故只能是
7，所以三角形的周长为
2＋7＋7＝
16.
（2）因为周长
x＋9
是奇数，所以
x
是偶数，第三边的长为
6
或
8.
典型题6：难度★★
已知等腰三角形中腰上的高与另一条腰成
20°的角，则这个三角形的三个内角的度数分别为
.
【解题思路】等腰三角形底角与顶角的关系式:
∠B=∠C=90?-1/2
∠A
注意分类讨论：三角形的高分别在三角形的内部和外部.
所以应填
70°，55°，55°或
110°，35°，35°.
(三)解答题
典型题
7：难度★★
根据下列条件，判定△ABC
的形状：
（1）∠A＝∠B－∠C；
（2）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
（3）∠A＝2∠B＝3∠C.
【答案解析】
（1）由条件得∠A＋∠C＝∠B，又因为∠A＋∠C＋∠B＝180°，所以∠B＝90°，
△ABC
是直角三角形。
（2）设∠A＝3t，∠B＝4t，∠C＝5t，由
3t＋4t＋5t＝180°，解得
t＝15°，最大内角∠C＝75°，所以△ABC
是锐角三角形.
典型题8：难度★★
在△ABC
中，延长
BC
到
D，∠ABC
与∠ACD
的平分线相交于点
A1，∠A1BC
与
∠A1CD
的平分线交于点
A2.
（1）求∠A1
与∠A
的关系。
（2）若∠A＝96°，求∠A2
的度数.
【解题思路】如图,根据三角形内角和定理的推论：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求解.注意：该推论解题应用非常频繁，做和三角形角有关的习题时一定要有应用该推论的意识.
典型题
9：难度★★
如图，D
和
E
分别是△ABC
边
CA、BA
延长线上一点，EF、CF
分别平分∠AED、
∠ACB，若∠B＝70°，∠D＝40°，求∠F
的度数.
【解题思路】本题的数量关系复杂,但等量关系较多,重点学习采用代数式变换的方法.（方法
2）
【答案解析】方法
因为∠B＋∠ACB＋∠CAB＝180°，∠D＋∠AED＋∠DAE
＝180°，又因为∠CAB＝∠DAE，所以∠B＋∠ACB＝∠D＋∠AED.又因为
EF、CF
分别平分∠AED、∠ACB，所以∠AED＝2∠1，∠ACB＝2∠2.所以∠B＋2∠2
＝∠D＋2∠1，即
70°＋2∠2＝40°＋2∠1，得∠1
一∠2＝15.又由于∠CAE＝∠D
＋2∠1＝∠1＋∠3＝∠1＋∠2＋∠F，所以∠D＋∠1＝∠2＋∠F.所以
∠F＝∠D＋∠1－∠2＝40°＋15°＝55°.
典型题
10：难度★★★
图（a）~（d）是五角星和它的变形，试讨论以下问题的解答：
图（a）是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E；
将图（a）中的点
A
向下移到
BE
上，如图（b），五个角的和（即∠CAD
＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；
将图（b）中的点
C
向上移动到
BD
上，如图（c），五个角的和（即
∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？说明理由；
将图（c）中的点
C
向上移动，点
A
向下移动，如图（d），五个角的和有无变化？说明理由.
【答案解析】
方法
1（1）由于∠DMN＝∠A＋∠C，∠DNM＝∠B＋∠E.而在△DMN
中，∠DMN
＋∠DNM＋∠D＝180°，所以
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
五个角的和不变.因为∠BAC＝∠C＋
∠E，∠DAE＝∠B＋∠D.注意到∠BAC＋∠CAD＋∠DAE＝180°，故∠CAD＋
∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E
五个角的和也不变.仿照（2）同理可
得.
∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E
五个角的和也不变.因为∠CMD＝
∠A＋∠C，又有∠EMD＝∠B＋∠D＋∠E.所以∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋
∠E＝∠CMD＋∠EMD＝180.
方法
2
这一方法可以适用于任一图形：连结
DE.如图（d）.在△ACM
中，∠A
＋∠C＋∠AMC＝180.在△DEM
中，∠MDE＋∠MED＋∠DME＝180°，因为
∠AMC＝∠DME
，所以∠A＋∠C＝∠MDE
＋∠MED.所以∠A＋∠B
＋∠C＋
∠BDM＋∠BEM＝∠B＋∠MDE＋∠MED＋∠BDM＋∠BEM＝180°.
典型题
12：难度★★★
在△ABC
中，∠ABC
与∠ACB
的平分线相交于点
O2，如图（a）.试用含∠A
的代数式表示∠BO2C
完成后试探索下列问题的解答：
分别记△ABC
中∠ABC
和∠ACB
的三等分线和四等分线中最靠近点
A
的交点为
O3、O4，如图（b）和图（c）所示，分别用含∠A
的代数式表示∠O3、∠O4；
试归纳、得出一般的规律。
典型题
12：难度★★★
△ABC
中
AD、AE
分别是角平分线和高，如图.
已知△ABC
是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，求∠DAE
的度数。
若已知∠B＝25°，∠C＝75°，还能求出∠DAE
的度数吗？
【答案解析】
（1）因为
AD
平分直角∠BAC，所以∠CAD＝45°.因为
AE
是高，
所以∠AEC＝90°，因为∠C＝70°，所以∠CAE＝90°－70°＝20°，所以∠DAE＝
∠CAD－∠CAE＝45°－20°＝25°.
仍能求出∠DAE
的度数.在△ABC
中∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.因为
AD
平分∠BAC，所以∠CAD＝40°.因为
AE
是高，所以∠AEC＝90°，因为∠C
＝75°，所以∠CAE＝90°－75°＝15°，所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝40°－15°
＝25°.
三、全等三角形
（一）选择题
典型题
1：难度★★
如图所示
4×5
的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
的度数为（
）.
（A）330°
（B）315°
（C）310°
（D）320°
【解题思路】这类问题一般不宜企望求出每个角的度数,而应致力于发现相关角之间的关系.选B
典型题
2：难度★
下列语句中正确的是（
）.
三个内角对应相等的两个三角形全等
两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
有两边分别相等的两个等腰三角形全等
有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案解析】
显见（A）、（B）是错误的；（C）中若两个等腰三角形的腰相等，而底边不等，则这两个等腰三角形不全等；（D）中条件相当于两个三角形的三边对应相等.故选
D.
（二）填空题
典型题
3：难度★
如图，AD//BC，AB//DC，AC
与
BD
相交于点
O，直线
EF
过点
O，分别交
AD、BC
于点
E、F，则图中的全等三角形共有
对.
【解题思路】两条直线平行，内错角相等，可很快得出一对三角形全等，全等后得出相等直线，又能得出新的三角形全等,同时观察图形规律，可得出对应位置的三角形全等.本题如果运用平行四边形知识则能很快得出全等的三角形.
【答案解析】由
AD//BC，AB//DC
可得∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，又
BD
＝DB，所以△ABD≌△CDB.同理得△ABC≌△CDA.故得
AD＝BC，AB＝DC.又可得
△OAB≌△OCD，△OAD≌△OCB.所以由全等三角形的性质得
OA＝OC，
OB＝OD.因此又有△OAE≌△OCF，△OED≌△OFB.所以图中全等三角形共有
6
对.
典型题
4：难度★
如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论“①EM＝FN；②CD＝DN；
③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM”中正确的有
个.
【解题思路】首先根据条件判断出可以全等的三角形（如△ABE≌ACF），从而得出相应相等的边和角，同时一一分析和排除题目中的选项，得出答案.
【答案解析】
由条件，根据判断三角形全等的“角角边”定理，得△ABE≌△ACF.
所以
AB＝AC，BE＝CF，∠BAE＝∠CAF，从而∠MAE＝∠NAF，即结论③正确.
由此可进一步得到△ACN≌△ABM，△AEM≌△AFN，△CDM≌△BDN，从而结论④、①都是成立的.CD、DN
不是全等三角形的对应边，由条件不能推出它们相等，故正确结论有
3
个.
（三）解答题
典型题
5：难度★★
将两块大小相同的含
30°角的直角三角板按图（a）的方式放置（虚线图形表示左侧三角板
ABC
起始位置）.固定三角板
A1B1C，然后将三角板
ABC
绕直角顶点
C
沿顺时针方向旋转（旋转角小于
90）至实线图形所示位置.AB
与
A1C
相交于点
E，
AC
与
A1B1
相交于点
F，AB
与
A1B1
交于点
O.
求证：△BCE
≌
△B1CF；
当旋转角等于
30°时，AB
与
A1B1
垂直吗？请说明理由.
【解题思路】问题中给出的是模拟实物图形,可以另行作出较清晰的几何图形,
并根据题意适当调整位置,便于观察分析.
【答案解析】
如图（b），根据题意，两块三角板形状、大小相同，所以
BC＝B1C，∠B
＝∠B1.又因为∠BCE＝90°－∠ACA1＝∠B1CF，所以△BCE
≌
△B1CF.
（2）当旋转角∠A1CA＝30°时，∠ECB＝60°.因为∠B＝60°，所以∠CEB＝60°.
因为∠A1EO＝∠CEB＝60°，且∠A1＝30°，所以∠A1OE＝90°，即
AB⊥A1B1.
典型题
6：难度★★
如图，在∠O
的两边上分别取点
A、D
和
B、C，连结
AC、BD
相交于点
P.
若∠A＝∠B，PA＝PB，求证：OA＝OB；
若
OA＝OB，PA＝PB，求证：PC＝PD.
【解题思路】基本思路：三角形中证明两条线段相等往往证明两条边所在的两个三角形全等.题目已经告诉了三角形全等的两个条件，再寻找第三个角或者边即可.注意寻找对顶角、公共角这些题目中告诉的隐含条件（方法
1）；或者根据题目条件构造等腰三角形证明（方法
2）.
【答案解析】
方法
1
（
1
）
因为∠A
＝
∠B
，
PA
＝
PB
，
由对顶角∠APD
＝
∠BPC
，
可得
△PAD≌△PBC，所以
PD＝PC，则
AC＝BD.又由公共角∠O，所以△AOC
≌
△BOD，因而
OA＝OB.
（2）连结
OP，如图.由
OA＝OB，PA＝PB，且公共边
OP，可得△AOP≌△BOP，所以∠A＝∠B.易证得△PAD≌△PBC，所以
PC＝PD.
方法
2
连结
AB，如图.
因为
PA＝PB，根据等腰三角形中两底角相等，得∠PAB＝∠PBA.因为
∠OAP＝∠OBD，所以∠OAB＝∠OBA.而由△OAB
中等角对等边，所以
OA＝
OB.
同理，在△OAB
中由
OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA；在△PAB
中由
PA
＝
PB，得∠PAB＝∠PBA，所以∠PAD＝∠PBC.因为
PA＝PB
且∠APD＝∠BPC，所以△PAD≌△PBC，所以
PD＝PC.
典型题
7：难度★★
如图，已知
Rt△ABC
中∠ACB＝90°，AC＝BC，D
是
BC
的中点，CE⊥
AD，垂足为点
E.BF∥AC，交
CE
的延长线于点
F.求证：AC＝2BF.
【解题思路】逆向分析:首先是等量代换，因为AC=BC，将证明AC=2BF转化为BC=2BF；又因为D是BC的中点，因此需要证明CD=BF，证明两条线段相等往往证明两条线段所在的两个三角形全等.
【答案解析】因为∠ACB＝90°，BF//AC，所以∠ACD＝∠CBF＝90°，∠ADC＋
∠CAD＝90°.因为
CE⊥AD，所以∠FCB＋∠ADC＝90°，所以∠CAD＝∠FCB.
又由于
AC＝CB，所以△ADC
≌
△CFB.所以
DC＝FB.因为
D
是
BC
的中点，所以
BC＝2BF，即
AC＝2BF.
典型题
8：难度★★
如图，在△ABC
中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D
是
AC
边上的一点，E
在
BC
的延长线上，且
AE＝BD.BD
的延长线交
AE
于点
F.求证：BF⊥AE.
【解题思路】证明两条线段垂直，往往证明它们的夹角等于
90?，直角三角形中注意（HL）判断全等的运用(方法
1）。根据题目条件，有
90?角，使用旋转的思维也可证明两条线段垂直(方法
2）。
【答案解析】
方法
1
因为∠ACB＝90°，所以∠DCB＝∠ECA＝90°.又由于
CB＝
CA，BD＝AE，所以由判断直角三角形全等的斜边直角边定理，RtACBD
≌
Rt△CAE.所以∠CBD＝∠CAE.因为∠ECA＝90°，所以∠CAE＋∠E＝90°，所以
∠CBD＋∠E＝90°.所以∠BFE＝90°，即
BF⊥AE.
方法
2
同理证得△CBD
≌
△CAE.则根据题意，将△CBD
绕点
C
逆时针旋转90°与△CAE
重合.由于BD
也绕点
C
逆时针旋转
90°，与AE
重合，所以BF⊥AE.
典型题
9：难度★★★
如图，已知点
D
为等腰直角△ABC
内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E
为
AD
延长线上的一点，且
CE＝CA.
求证：DE
平分∠BDC；
设点
M
在
DE
上，且
DC＝DM，求证：ME＝BD.
【解题思路】(1)题目告诉了
90?角，45?角（等腰直角三角形）和
15?角，因此通过计算角度证明被平分的两角相等；（2）三角形中证明两条线段相等往往证明这两条线段所在的两个三角形全等.注意运用（1）已结得出
60?角，得出MDC是等边三角形。
【答案解析】（1）因为在等腰直角△ABC
中∠CAD＝∠CBD＝15°，所以∠BAD
＝∠ABD
＝
45°－
15°
＝
30°，
所以
BD
＝
AD.
因为
BC
＝
AC
，
CD
＝
CD
，
所以
△BDCQ△ADC，所以∠DCA＝∠DCB＝45°.因为∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝
60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝60°，所以∠BDM＝∠EDC，即
DE
平分∠BDC.
（2）连结
MC.因为
DC＝DM，且已证∠MDC＝60°，所以△MDC
是等边三角形，则CM＝CD.又因为∠EMC＝180°－∠DMC＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC
＝120°，所以∠EMC＝∠ADC.又因为
CE＝CA，所以∠DAC＝∠MEC，由此可得△ADC≌△EMC，所以
ME＝AD＝BD.
典型题
10：难度★★★
如图，已知等腰直角△ABC
中，∠BAC＝90°，BD
是角平分线，CE⊥
BD，交BD
延长线于点
E.求证：BD＝2CE.
【解题思路】要直接证明BD=2CE显然不具备条件，因此需要转化为证明其他线段等于
2CE，这就需要做辅助线构造一线段想办法证明其等于BD.除过解析中的辅助线方法
2，同学们可以试着延长CE至F，使得CE=EF，然后证明BD=CF，这样做辅助线在此题中比较复杂，因为需要证明B、A、F三点共线.但是“延长CE至F，
使得CE=EF”这种辅助线方法却很常用，同学们应该学习.
【答案解析】延长
CE、BA
交于点
F.因为∠BAC＝90°，CE⊥BE，所以∠F＋∠ACF
＝90°，∠F＋∠ABD＝90°，所以∠ABD＝∠ACF.因为等腰直角△ABC
中，AB＝
AC，且∠BAD＝∠CAF＝90°，所以△ABD
≌
△ACF，所以
BD＝CF.因为
BD
是角平分线，且∠BEC＝∠BEF＝90°，BE
是公共边，所以△BCE≌△BFE.所以
CE
＝FE，即
BD＝2CE.