8 数学广角-数与形 教案
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文档简介
《数与形》教学设计
【教学内容】
《义务教育教科书·数学》（人教版）六年制六年级上册第八单元《数学广角----数与形》，107页例1，108页做一做。
【教学目标】
在解决数学问题的过程中，总结并应用规律，体会归纳推理等数学思想。
体会数与形的联系，积累数形结合解决问题的经验，培养数形结合的应用意识。
体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学的魅力。
【教学重点】
体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学魅力。
【教学难点】
数形结合，解释应用。
【教学过程】
一、实物引入，体验数形先天联系。
1.首先请大家欣赏一幅图片（花坛）。你看到了什么？
2.从数学的角度观察描述实物，体验数---形---物之间的天然联系。
师：一个圆形花坛，这简单的几个字既有数又有形。有数吗？几个？
有形吗？什么形？这些数与形打哪来的呀？花坛，花坛是我们生活中实实在在的物体，我想，任何一个物体必须具备一定的形状，对吗？必定具有一定的数量，是不是？所以，有数就有形，数和形是一一对应的，他们的这种关系是天然的，这种天然的关系在我们解决问题的过程中，会给我们带来哪些启示呢？下面让我们在问题解决的过程中慢慢体验，行吗？
【设计意图：数学来源于生活，数与形是同一客观事物在数学上的两种不同表象，通过简单事物以小见大，使学生感受数与形的联系是先天的，不可分割的。】
二、操作探究，体验数形结合思想价值。
（一）经历问题解决过程，寻找规律，以形助数。
1.提出问题，分析问题。
下面先看一个数的问题，很有挑战性。（播放课件）用思考的声音读题。
（从1开始的n个连续奇数相加的和是 ？）。
通过读题，你知道哪些数学信息？
师：N的个数是不固定的，它们的和也是不固定的，但是，它们的和n一定有关系，有什么关系？怎么知道它们有什么关系？
2.假设举例，探究规律。
复杂的问题从简单的开始是一个很好的解决问题的策略，我们先把n假定在10个以内。
师：很好的策略，复杂的问题简单化是研究数学的一个好方法，这种方法叫做：化繁为简（贴板书）。下面我们就举10以内个数的例子研究，当n等于1时，算式是1，和是1；当n等于2时，算式是1+3，和是4。回头看第一个算式，可以这样说：从1开始的1个连续奇数相加的和是1；你能像老师这样说说第二个算式吗？
生：从1开始的2个连续奇数相加的和是4。
师：你理解的很准确，请坐。当n等于3时，算式是1+3+5，和是9。谁再像刚才那样用一句话说说这个算式。
生：从1开始的3个连续奇数相加的和是9。
师：你表达的真清晰，请坐。当n等于4时，算式是1+3+5+7，和是16。老师想听听你用一句话来描述这个算式。
生：从1开始的4个连续奇数相加的和是16。
师：声音中透着自信，真好，请坐。观察这四个算式，你能发现什么规律？并从下面6个算式中选择一个算式验证你的规律，开始吧！
3.观察对比，归纳总结。
师：你发现了什么规律？你能举例说明一下吗？
你们计算的其他算式是不是也有这规律？为了便于观察，我们把算式先藏起来，仔细观察，有这个规律吗？按照刚才这位同学的说法，从1开始的1个连续奇数相加的和是1， 12可以这样写吗？从1开始的2个连续奇数相加的和是22，从1开始的3个连续奇数相加的和是32，16呢？25呢？后面都是这样的规律，依次类推，从1开始的20个连续奇数相加的和是——20的平方,100个连续奇数呢？——100的平方，1000个呢？--1000的平方。N个呢？——n的平方。
所以，从1开始的n个连续奇数相加的和是 n?
4.以形助数，解释规律。
化数为形，合作探究。
这个问题从数的角度不好解释了，怎么办呢？
师：从1开始的几个连续奇数相加的和竟然可以用它的平方来表示，这个规律好玩吗？好用吗？奇怪吗？你能解释其中的道理吗？说实话同学们，这个规律从数的角度还真不好解释，那该怎么办？华罗庚说过，不懂就画图，为了让同学们看的更清楚，咱们不画图，咱们拼图试一试。哪个最简单？——1,1行1列，1×1还是1,1+3你能用这样的图形表示出来吗？
小组合作，动手拼一拼吧！
小组汇报交流。
师：1在哪？3在哪？老师把你们的想法拼到黑板上，一遍拼你们一遍想，2×2在哪儿呢？
生：1行有2个，有这样的2行，所以用算式2×2表示。
师：和你们的想法一样吗？聪明的孩子，1+3+5你们会拼吗？赶快动手试一试。（找2名同学到黑板拼）他们和你们拼的一样吗？谁能像刚才那样完整的说道理。
生：我们组拼的是正方形，1是1个红色的正方形，3是3个黄色的正方形，5是5个绿色的正方形，所以这个大正方形的个数可以用算式1+3+5表示，这个大正方形一行有3个，有这样的3行，所以还可以用算式3×3表示。同学们，我说的清楚吗？
师：既完整又清晰，真不简单，请坐。
1+3+5+7这个算式你能拼出来吗？（能）能，但是小正方形不够了，物品有限、思维无限，你能想象出再增加的7个小正方形怎么摆吗？是这样吗？咱们来看看，（播放课件）一边点一边问：几？
师：和你想的一样吗？谁来解释，为什么1+3+5+7的和又可以用42来算？
生：因为拼出的这个大正方形一行有4个，有这样的4行。
以此类推，再现通式。
师：如果继续这样拼下去，再加一个奇数，下一个奇数是几？（9）
现在有几个奇数了？这个大正方形中每一行的小正方形有几个？有这样的几行？所以他们的和还可以用（52）来算。继续这样拼下去
提炼总结：以形助数。
师：这个规律明白了吗？我们是怎么弄明白的？
生：拿图形摆的。
师：形好不好？好在哪里？
师：数是很抽象的，一些复杂的数量关系往往需要借助图形来帮助理解，化数为形后，可以使这些复杂的数量关系变得更加清楚明白，直观易懂。我们把这样的过程叫做化数为形，以形助数。（贴板书）助是什么？（帮助理解数量关系）
【设计意图：着眼于学生利用数形结合解决问题经验的积累，使学生切实经历分析问题，提出假设，举例验证，形成结论，解释证明的问题解决全过程。以小见大，发现规律，化数为形，解释规律，全面体现数与形的应用价值】
（二）化形为数，以数解形。（做一做2题变式。）
1.出示问题，观察规律。
师：数的规律可以借助形的变化来思考，形的变化是不是也隐藏着数的规律呢？
师：找一道题来看看，请听题：一张桌子四面坐人，可以坐8个人，两张桌子拼在一起，可以坐12个人，三张桌子拼在一起，可以坐16个人，问100张桌子拼在一起可以坐多少人？
听明白了吗？不明白怎么办？画图，一画出图来就简单了，请看，一张桌子四面坐人，可以坐8个人，两张桌子拼在一起，中间还能坐人吗？这样一共可以坐12个人，三张桌子拼在一起，可以坐16个人，问100张桌子拼在一起可以坐多少人？动手试一试吧，拿出作业纸，把答案写在作业纸上。
2.解决问题，汇报交流。
师：10张桌子拼在一起能坐多少人？你是怎么做的？为什么这样做？
生汇报算法。
3.数形对比，提炼总结（以数解形）。
师：这是一个图形的问题，你们为什么不去画图解决问题？
生：画图太麻烦了。
师：是的，画图太麻烦了，这时候需要借助谁的力量？
——数的力量（贴板书：数）
师：形虽然形象直观，但在计算数量的时候往往也需要借助数的力量，用数的规律来计算往往能更快速、更简便、更准确。我们把这个过程称之为化形为数，以数解形。
（三）梳理回顾，概括总结。
师：回顾这两个例子，在第一个例子中，数的问题可以借助图形来思考，在第二个例子中，形的问题可以借助数来计算
数与形各有优点，他们一一对应，既可以互相转化，又可以互为补充，所以在解决问题时就需要把数和形怎么着？（生：结合）这个词用的好，要把数和形结合起来，灵活运用，这在数学上是一种重要的思想，叫做数形结合。
【设计意图：以数解形是类似于学生比较熟悉的找规律，是学生比较熟悉的应用形式，所以此素材宜做为一个综合性的应用练习，学生既能以数解形，又能在交流过程中参与解释，以形助数。学生交流时，在画图与计算的不同问题解决方式间进行对比，体现以数解形的优势及必要性，从而促进学生数形结合解决问题的应用意识形成。呈现图例，顺势总结，直观易懂。】
三、课堂练习，搭建思想至方法转换桥梁。
1.名言欣赏，强化思想。
师：提到数形结合，我国著名数学家华罗庚先生，对数形结合思想有着自己独到的见解，我们一起来欣赏。齐读：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。
2.技能训练，促进应用。
那怎样才能做到数与形的结合呢？我觉得还是要落脚在思和想上（板书：思、想），也就是见数思形，见形想数。一起来试试，看看你能不能做到。
第4题
一个有趣的算式出现了，有趣的算式背后还有一个有趣的图形，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么直角边一定是5。这就是我们初中要学习的勾股定理。
3.小结学习意义，承上启下。
师：大家看，数形结合的思想不但在小学阶段悄悄陪伴着我们，它对我们初中乃至以后的学习都是十分重要的，这也正是我们学习这节课的价值所在。
【设计意图：数形结合思想既是一种数学思想，更是一种方法，离开了技能的支撑，空谈思想，对于促进学生由思想到方法的转化应用是没有意义的，本环节意在通过一系列学生以前熟知的题例，沟通学生的日常学习与数形结合思想的联系，并通过勾股定理的事例将数形结合思想的应用引深至学生的终生发展，提升数形结合思想的应用价值。】
四、拓展总结，提升数形认识境界。
1.课外拓展，认识形数。
师：下面给大家介绍一些有意思的数，例1当中的这些数，化成图形以后都能拼成——正方形，我们把这样的数叫做“正方形数”，按照这样的叫法，这些数可以叫做——三角形数，这些呢？——梯形数，这些呢？——三角形数，像这样的数还有很多，我们再来感受这些数，你觉得这些数它还只是数吗？有形状吗？这些形它还只是形吗？它有数吗？数和形，形和数能分得开吗？——不能。
我们就把这样有形状的数叫做形数。
2.首尾呼应，根植思想。
师：你知道形数是谁发现的吗？这个人叫——毕达哥拉斯。他有一个著名的理论，他认为，万事万物的背后都隐藏着数的规律，他还举了一个例子，说1可以用1个点来表示，2用2个点来表示，它就可以连成一条线，3个点可以连成——它就是一个面，不同平面的4个点连在一起，就是一个立体图形。大家想，世界上的万事万物，是不是都是以或点或线或面或体的形式存在着的？所以，毕达哥拉斯学派认为：万物皆数，有没有道理？
3.课堂总结，提升认识。
师：这节课马上就要结束了，同学们，学完这节课后，你有什么体会？你对数与形的认识有没有发生一些改变？
师：如果把你们以前的认识归结为：看形是形，看数是数的话，那只是数学学习的第一境界，那么第二境界应该是什么样子的？+——看形不是形，看数不是数。
师：看形不是形，是什么呀？-——是数，看数不是数是什么？——是形。也就是说，数形要结合。课就上到这，下课。
【设计意图：学生对数学的兴趣和好奇心是促进学生和谐可持续发展的不竭动力，也是课堂上教师不应忽视的情感目标。形数较好地体现了数与形的结合，而毕达哥拉斯万物皆数的思想不但与前面引入的事例相互印证，而且为学生利用数形结合思想解决生活中的实际问题提供了有力的佐证。】
【教学内容】
《义务教育教科书·数学》（人教版）六年制六年级上册第八单元《数学广角----数与形》，107页例1，108页做一做。
【教学目标】
在解决数学问题的过程中，总结并应用规律，体会归纳推理等数学思想。
体会数与形的联系，积累数形结合解决问题的经验，培养数形结合的应用意识。
体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学的魅力。
【教学重点】
体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学魅力。
【教学难点】
数形结合，解释应用。
【教学过程】
一、实物引入，体验数形先天联系。
1.首先请大家欣赏一幅图片（花坛）。你看到了什么？
2.从数学的角度观察描述实物，体验数---形---物之间的天然联系。
师：一个圆形花坛，这简单的几个字既有数又有形。有数吗？几个？
有形吗？什么形？这些数与形打哪来的呀？花坛，花坛是我们生活中实实在在的物体，我想，任何一个物体必须具备一定的形状，对吗？必定具有一定的数量，是不是？所以，有数就有形，数和形是一一对应的，他们的这种关系是天然的，这种天然的关系在我们解决问题的过程中，会给我们带来哪些启示呢？下面让我们在问题解决的过程中慢慢体验，行吗？
【设计意图：数学来源于生活，数与形是同一客观事物在数学上的两种不同表象，通过简单事物以小见大，使学生感受数与形的联系是先天的，不可分割的。】
二、操作探究，体验数形结合思想价值。
（一）经历问题解决过程，寻找规律，以形助数。
1.提出问题，分析问题。
下面先看一个数的问题，很有挑战性。（播放课件）用思考的声音读题。
（从1开始的n个连续奇数相加的和是 ？）。
通过读题，你知道哪些数学信息？
师：N的个数是不固定的，它们的和也是不固定的，但是，它们的和n一定有关系，有什么关系？怎么知道它们有什么关系？
2.假设举例，探究规律。
复杂的问题从简单的开始是一个很好的解决问题的策略，我们先把n假定在10个以内。
师：很好的策略，复杂的问题简单化是研究数学的一个好方法，这种方法叫做：化繁为简（贴板书）。下面我们就举10以内个数的例子研究，当n等于1时，算式是1，和是1；当n等于2时，算式是1+3，和是4。回头看第一个算式，可以这样说：从1开始的1个连续奇数相加的和是1；你能像老师这样说说第二个算式吗？
生：从1开始的2个连续奇数相加的和是4。
师：你理解的很准确，请坐。当n等于3时，算式是1+3+5，和是9。谁再像刚才那样用一句话说说这个算式。
生：从1开始的3个连续奇数相加的和是9。
师：你表达的真清晰，请坐。当n等于4时，算式是1+3+5+7，和是16。老师想听听你用一句话来描述这个算式。
生：从1开始的4个连续奇数相加的和是16。
师：声音中透着自信，真好，请坐。观察这四个算式，你能发现什么规律？并从下面6个算式中选择一个算式验证你的规律，开始吧！
3.观察对比，归纳总结。
师：你发现了什么规律？你能举例说明一下吗？
你们计算的其他算式是不是也有这规律？为了便于观察，我们把算式先藏起来，仔细观察，有这个规律吗？按照刚才这位同学的说法，从1开始的1个连续奇数相加的和是1， 12可以这样写吗？从1开始的2个连续奇数相加的和是22，从1开始的3个连续奇数相加的和是32，16呢？25呢？后面都是这样的规律，依次类推，从1开始的20个连续奇数相加的和是——20的平方,100个连续奇数呢？——100的平方，1000个呢？--1000的平方。N个呢？——n的平方。
所以，从1开始的n个连续奇数相加的和是 n?
4.以形助数，解释规律。
化数为形，合作探究。
这个问题从数的角度不好解释了，怎么办呢？
师：从1开始的几个连续奇数相加的和竟然可以用它的平方来表示，这个规律好玩吗？好用吗？奇怪吗？你能解释其中的道理吗？说实话同学们，这个规律从数的角度还真不好解释，那该怎么办？华罗庚说过，不懂就画图，为了让同学们看的更清楚，咱们不画图，咱们拼图试一试。哪个最简单？——1,1行1列，1×1还是1,1+3你能用这样的图形表示出来吗？
小组合作，动手拼一拼吧！
小组汇报交流。
师：1在哪？3在哪？老师把你们的想法拼到黑板上，一遍拼你们一遍想，2×2在哪儿呢？
生：1行有2个，有这样的2行，所以用算式2×2表示。
师：和你们的想法一样吗？聪明的孩子，1+3+5你们会拼吗？赶快动手试一试。（找2名同学到黑板拼）他们和你们拼的一样吗？谁能像刚才那样完整的说道理。
生：我们组拼的是正方形，1是1个红色的正方形，3是3个黄色的正方形，5是5个绿色的正方形，所以这个大正方形的个数可以用算式1+3+5表示，这个大正方形一行有3个，有这样的3行，所以还可以用算式3×3表示。同学们，我说的清楚吗？
师：既完整又清晰，真不简单，请坐。
1+3+5+7这个算式你能拼出来吗？（能）能，但是小正方形不够了，物品有限、思维无限，你能想象出再增加的7个小正方形怎么摆吗？是这样吗？咱们来看看，（播放课件）一边点一边问：几？
师：和你想的一样吗？谁来解释，为什么1+3+5+7的和又可以用42来算？
生：因为拼出的这个大正方形一行有4个，有这样的4行。
以此类推，再现通式。
师：如果继续这样拼下去，再加一个奇数，下一个奇数是几？（9）
现在有几个奇数了？这个大正方形中每一行的小正方形有几个？有这样的几行？所以他们的和还可以用（52）来算。继续这样拼下去
提炼总结：以形助数。
师：这个规律明白了吗？我们是怎么弄明白的？
生：拿图形摆的。
师：形好不好？好在哪里？
师：数是很抽象的，一些复杂的数量关系往往需要借助图形来帮助理解，化数为形后，可以使这些复杂的数量关系变得更加清楚明白，直观易懂。我们把这样的过程叫做化数为形，以形助数。（贴板书）助是什么？（帮助理解数量关系）
【设计意图：着眼于学生利用数形结合解决问题经验的积累，使学生切实经历分析问题，提出假设，举例验证，形成结论，解释证明的问题解决全过程。以小见大，发现规律，化数为形，解释规律，全面体现数与形的应用价值】
（二）化形为数，以数解形。（做一做2题变式。）
1.出示问题，观察规律。
师：数的规律可以借助形的变化来思考，形的变化是不是也隐藏着数的规律呢？
师：找一道题来看看，请听题：一张桌子四面坐人，可以坐8个人，两张桌子拼在一起，可以坐12个人，三张桌子拼在一起，可以坐16个人，问100张桌子拼在一起可以坐多少人？
听明白了吗？不明白怎么办？画图，一画出图来就简单了，请看，一张桌子四面坐人，可以坐8个人，两张桌子拼在一起，中间还能坐人吗？这样一共可以坐12个人，三张桌子拼在一起，可以坐16个人，问100张桌子拼在一起可以坐多少人？动手试一试吧，拿出作业纸，把答案写在作业纸上。
2.解决问题，汇报交流。
师：10张桌子拼在一起能坐多少人？你是怎么做的？为什么这样做？
生汇报算法。
3.数形对比，提炼总结（以数解形）。
师：这是一个图形的问题，你们为什么不去画图解决问题？
生：画图太麻烦了。
师：是的，画图太麻烦了，这时候需要借助谁的力量？
——数的力量（贴板书：数）
师：形虽然形象直观，但在计算数量的时候往往也需要借助数的力量，用数的规律来计算往往能更快速、更简便、更准确。我们把这个过程称之为化形为数，以数解形。
（三）梳理回顾，概括总结。
师：回顾这两个例子，在第一个例子中，数的问题可以借助图形来思考，在第二个例子中，形的问题可以借助数来计算
数与形各有优点，他们一一对应，既可以互相转化，又可以互为补充，所以在解决问题时就需要把数和形怎么着？（生：结合）这个词用的好，要把数和形结合起来，灵活运用，这在数学上是一种重要的思想，叫做数形结合。
【设计意图：以数解形是类似于学生比较熟悉的找规律，是学生比较熟悉的应用形式，所以此素材宜做为一个综合性的应用练习，学生既能以数解形，又能在交流过程中参与解释，以形助数。学生交流时，在画图与计算的不同问题解决方式间进行对比，体现以数解形的优势及必要性，从而促进学生数形结合解决问题的应用意识形成。呈现图例，顺势总结，直观易懂。】
三、课堂练习，搭建思想至方法转换桥梁。
1.名言欣赏，强化思想。
师：提到数形结合，我国著名数学家华罗庚先生，对数形结合思想有着自己独到的见解，我们一起来欣赏。齐读：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。
2.技能训练，促进应用。
那怎样才能做到数与形的结合呢？我觉得还是要落脚在思和想上（板书：思、想），也就是见数思形，见形想数。一起来试试，看看你能不能做到。
第4题
一个有趣的算式出现了，有趣的算式背后还有一个有趣的图形，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么直角边一定是5。这就是我们初中要学习的勾股定理。
3.小结学习意义，承上启下。
师：大家看，数形结合的思想不但在小学阶段悄悄陪伴着我们，它对我们初中乃至以后的学习都是十分重要的，这也正是我们学习这节课的价值所在。
【设计意图：数形结合思想既是一种数学思想，更是一种方法，离开了技能的支撑，空谈思想，对于促进学生由思想到方法的转化应用是没有意义的，本环节意在通过一系列学生以前熟知的题例，沟通学生的日常学习与数形结合思想的联系，并通过勾股定理的事例将数形结合思想的应用引深至学生的终生发展，提升数形结合思想的应用价值。】
四、拓展总结，提升数形认识境界。
1.课外拓展，认识形数。
师：下面给大家介绍一些有意思的数，例1当中的这些数，化成图形以后都能拼成——正方形，我们把这样的数叫做“正方形数”，按照这样的叫法，这些数可以叫做——三角形数，这些呢？——梯形数，这些呢？——三角形数，像这样的数还有很多，我们再来感受这些数，你觉得这些数它还只是数吗？有形状吗？这些形它还只是形吗？它有数吗？数和形，形和数能分得开吗？——不能。
我们就把这样有形状的数叫做形数。
2.首尾呼应，根植思想。
师：你知道形数是谁发现的吗？这个人叫——毕达哥拉斯。他有一个著名的理论，他认为，万事万物的背后都隐藏着数的规律，他还举了一个例子，说1可以用1个点来表示，2用2个点来表示，它就可以连成一条线，3个点可以连成——它就是一个面，不同平面的4个点连在一起，就是一个立体图形。大家想，世界上的万事万物，是不是都是以或点或线或面或体的形式存在着的？所以，毕达哥拉斯学派认为：万物皆数，有没有道理？
3.课堂总结，提升认识。
师：这节课马上就要结束了，同学们，学完这节课后，你有什么体会？你对数与形的认识有没有发生一些改变？
师：如果把你们以前的认识归结为：看形是形，看数是数的话，那只是数学学习的第一境界，那么第二境界应该是什么样子的？+——看形不是形，看数不是数。
师：看形不是形，是什么呀？-——是数，看数不是数是什么？——是形。也就是说，数形要结合。课就上到这，下课。
【设计意图：学生对数学的兴趣和好奇心是促进学生和谐可持续发展的不竭动力，也是课堂上教师不应忽视的情感目标。形数较好地体现了数与形的结合，而毕达哥拉斯万物皆数的思想不但与前面引入的事例相互印证，而且为学生利用数形结合思想解决生活中的实际问题提供了有力的佐证。】