人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 优化训练（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 优化训练（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 641.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-03 20:58:18 | ||
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文档简介
人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 优化训练
一、选择题
1. (2019?贵港)如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是
A． B．C． D．
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是( )
A．OE＝BE B.＝
C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
3. (2019?吉林)如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为
A．30° B．45°C．55° D．60°
4. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝3∠COD(∠COD<60°)，则劣弧AB，劣弧CD的大小关系是( )
A.＝3 B.>3
C.<3 D．3<
5. (2019?广元)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为
A． B．4C． D．4.8
6. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
A．45° B．60° C．75° D．85°
7. 如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与垂直于AB的半径OC交于点D，且CD＝2OD，则折痕AB的长为( )
A．4 B．8 C．6 D．6
8. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是( )
A．48° B．64° C．96° D．132°
9. (2019?镇江)如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于
A． B．C． D．
10. 如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( )
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
二、填空题
11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.
12. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________．
13. 2018·孝感 已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.
14. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.
15. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．
16. (2019?娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
17. 如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
三、解答题
18. 如图，在⊙O中，AB＝DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.
19. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．
20. (2019?包头)如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接．
(1)求⊙半径的长；
(2)求证：．
人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 优化训练-答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
∴，故选B．
2. 【答案】B [解析] AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，由垂径定理可以得到CE＝DE，＝，＝.但并不一定能得到OE＝BE，OC＝BC，从而A，C，D选项都是错误的．
故选B.
3. 【答案】B
【解析】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选B．
4. 【答案】A [解析] 把∠AOB三等分，得到的每一份角所对的弧都等于，因此有＝3.
5. 【答案】C
【解析】∵AB为直径，∴，∴，
∵，∴，
在中，．故选C．
6. 【答案】D [解析] 连接AD，OA，OB.∵B是的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝40°，∴∠AOB＝2∠ADB＝80°.又∵M是OD上一点，∴∠ADB≤∠AMB≤∠AOB，即40°≤∠AMB≤80°，则不符合条件的只有85°.
7. 【答案】B [解析] 如图，延长CO交AB于点E，连接OB.∵CE⊥AB，∴AB＝2BE.∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6.由折叠的性质可得DE＝×(6×2－4)＝4，
∴OE＝DE－OD＝4－2＝2.在Rt△OEB中，BE＝＝＝4 ，
∴AB＝8 .故选B.
8. 【答案】C [解析] ∵∠ACB＝90°，∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE＝48°，∴∠EOA＝2∠ACE＝96°.
9. 【答案】A
【解析】如图，连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°，
∵，∴∠CAB=∠DAB=35°，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A．
10. 【答案】C
二、填空题
11. 【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD＝28°，可得∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD＝∠ACD＝62°.
12. 【答案】 【解析】本题考查垂径定理、弦、弦心距的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等内容. 解题思路：过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.
解图
?
?OG＝GE＝1?OD＝＝＝.
13. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点F，交AB于点E，如图①，
∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，
∴AE＝8 cm，CF＝6 cm.
∵OA＝OC＝10 cm，
∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，
∴EF＝OF－OE＝2 cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点E并反向延长交AB于点F，如图②，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，
∴AF＝8 cm，CE＝6 cm.
∵OA＝OC＝10 cm，
∴OF＝6 cm，OE＝8 cm，
∴EF＝OF＋OE＝14 cm.
∴AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.
14. 【答案】50 [解析] 由三角形的内角和定理，得∠B＋∠C＝180°－∠A.再由OB＝OD＝OC＝OE，得到∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C.在等腰三角形BOD和等腰三角形COE中，∠DOB＋∠EOC＝180°－2∠B＋180°－2∠C＝360°－2(∠B＋∠C)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，所以∠DOE＝180°－2∠A＝50°.
15. 【答案】 [解析] ∵BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°.
∵AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.
又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，
从而CD＝CB，∴CD＝ .
16. 【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．
故答案为：1．
17. 【答案】7 [解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 ，则PA＋PC的最小值为7 .
三、解答题
18. 【答案】
证明：∵AB＝DE，BC＝EF，
∴＝，＝，
∴＋＝＋，
∴＝，∴AC＝DF.
19. 【答案】
解：在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个．
(1)如图①.
在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.
又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，且∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，
∴3∠OCQ＝120°，
∴∠OCQ＝40°.
即∠OCP＝40°.
(2)如图②.
∵QO＝QP，
∴∠QPO＝∠QOP.
设∠QPO＝x，则∠OQC＝∠QPO＋∠QOP＝2x.又∵OC＝OQ，
∴∠OCQ＝∠OQC＝2x，
∴∠AOC＝∠OPC＋∠OCP＝x＋2x＝3x.
∵∠AOC＝30°，∴3x＝30°，解得x＝10°，
∴∠OCP＝2x＝20°.
(3)如图③.
∵QO＝QP，∴∠QOP＝∠QPO.
∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
设∠QPO＝y，则∠OQC＝∠OCQ＝∠QPO＋∠AOC＝y＋30°，
∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，
∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.
综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.
20. 【答案】
(1)连接，过作于点，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故⊙的半径为．
(2)在上截取，连接，如图2，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
一、选择题
1. (2019?贵港)如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是
A． B．C． D．
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是( )
A．OE＝BE B.＝
C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
3. (2019?吉林)如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为
A．30° B．45°C．55° D．60°
4. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝3∠COD(∠COD<60°)，则劣弧AB，劣弧CD的大小关系是( )
A.＝3 B.>3
C.<3 D．3<
5. (2019?广元)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为
A． B．4C． D．4.8
6. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
A．45° B．60° C．75° D．85°
7. 如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与垂直于AB的半径OC交于点D，且CD＝2OD，则折痕AB的长为( )
A．4 B．8 C．6 D．6
8. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是( )
A．48° B．64° C．96° D．132°
9. (2019?镇江)如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于
A． B．C． D．
10. 如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( )
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
二、填空题
11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.
12. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________．
13. 2018·孝感 已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.
14. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.
15. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．
16. (2019?娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
17. 如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
三、解答题
18. 如图，在⊙O中，AB＝DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.
19. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．
20. (2019?包头)如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接．
(1)求⊙半径的长；
(2)求证：．
人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 优化训练-答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
∴，故选B．
2. 【答案】B [解析] AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，由垂径定理可以得到CE＝DE，＝，＝.但并不一定能得到OE＝BE，OC＝BC，从而A，C，D选项都是错误的．
故选B.
3. 【答案】B
【解析】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选B．
4. 【答案】A [解析] 把∠AOB三等分，得到的每一份角所对的弧都等于，因此有＝3.
5. 【答案】C
【解析】∵AB为直径，∴，∴，
∵，∴，
在中，．故选C．
6. 【答案】D [解析] 连接AD，OA，OB.∵B是的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝40°，∴∠AOB＝2∠ADB＝80°.又∵M是OD上一点，∴∠ADB≤∠AMB≤∠AOB，即40°≤∠AMB≤80°，则不符合条件的只有85°.
7. 【答案】B [解析] 如图，延长CO交AB于点E，连接OB.∵CE⊥AB，∴AB＝2BE.∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6.由折叠的性质可得DE＝×(6×2－4)＝4，
∴OE＝DE－OD＝4－2＝2.在Rt△OEB中，BE＝＝＝4 ，
∴AB＝8 .故选B.
8. 【答案】C [解析] ∵∠ACB＝90°，∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE＝48°，∴∠EOA＝2∠ACE＝96°.
9. 【答案】A
【解析】如图，连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°，
∵，∴∠CAB=∠DAB=35°，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A．
10. 【答案】C
二、填空题
11. 【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD＝28°，可得∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD＝∠ACD＝62°.
12. 【答案】 【解析】本题考查垂径定理、弦、弦心距的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等内容. 解题思路：过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.
解图
?
?OG＝GE＝1?OD＝＝＝.
13. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点F，交AB于点E，如图①，
∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，
∴AE＝8 cm，CF＝6 cm.
∵OA＝OC＝10 cm，
∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，
∴EF＝OF－OE＝2 cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点E并反向延长交AB于点F，如图②，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，
∴AF＝8 cm，CE＝6 cm.
∵OA＝OC＝10 cm，
∴OF＝6 cm，OE＝8 cm，
∴EF＝OF＋OE＝14 cm.
∴AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.
14. 【答案】50 [解析] 由三角形的内角和定理，得∠B＋∠C＝180°－∠A.再由OB＝OD＝OC＝OE，得到∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C.在等腰三角形BOD和等腰三角形COE中，∠DOB＋∠EOC＝180°－2∠B＋180°－2∠C＝360°－2(∠B＋∠C)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，所以∠DOE＝180°－2∠A＝50°.
15. 【答案】 [解析] ∵BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°.
∵AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.
又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，
从而CD＝CB，∴CD＝ .
16. 【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．
故答案为：1．
17. 【答案】7 [解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 ，则PA＋PC的最小值为7 .
三、解答题
18. 【答案】
证明：∵AB＝DE，BC＝EF，
∴＝，＝，
∴＋＝＋，
∴＝，∴AC＝DF.
19. 【答案】
解：在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个．
(1)如图①.
在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.
又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，且∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，
∴3∠OCQ＝120°，
∴∠OCQ＝40°.
即∠OCP＝40°.
(2)如图②.
∵QO＝QP，
∴∠QPO＝∠QOP.
设∠QPO＝x，则∠OQC＝∠QPO＋∠QOP＝2x.又∵OC＝OQ，
∴∠OCQ＝∠OQC＝2x，
∴∠AOC＝∠OPC＋∠OCP＝x＋2x＝3x.
∵∠AOC＝30°，∴3x＝30°，解得x＝10°，
∴∠OCP＝2x＝20°.
(3)如图③.
∵QO＝QP，∴∠QOP＝∠QPO.
∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
设∠QPO＝y，则∠OQC＝∠OCQ＝∠QPO＋∠AOC＝y＋30°，
∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，
∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.
综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.
20. 【答案】
(1)连接，过作于点，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故⊙的半径为．
(2)在上截取，连接，如图2，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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