解直角三角形

解直角三角形
　　一、知识点精讲：
　　1.同角三角函数的关系
　　sin2α+cos2α =1, tanα·cotα =1, tanα=, cotα=。
　　2.解直角三角形
　　(1).直角三角形角的关系∠A+∠B=90°
　　(2).直角三角形边的关系a2+b2=c2
　　(3).直角三角形的边角关系
　　sinA=cosB=, sinB=cosA=, tanA=cotB=, tanB=cotA=。
　　3.应用问题
　　(1).仰角、俯角的概念
　　如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。
　　　
　　(2).坡度（坡比）、坡角的概念
　　如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i=tanα
=。这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角。
　　二、例题分析：
　　例1.已知sinα·cosα=, 且0°<α<45°，则cosα-sinα的值为（　　 ）
　　A、　　B、-　　C、　　D、-
　　解：∵0°<α<45°，∴cos α>sinα, ∴ cosα-sinα>0,
　　∴cosα-sinα=。 故选A
　　说明：三角函数的计算除了要熟记特殊三角函数值外，还应熟练运用sin2α+cos2α=1, tanα·cotα=1，互余角的三角函数关系，锐角范围内三角函数值随角度的增减规律等。
　　例2.若锐角A满足tan A-cot A=2, 则tan2A+cot2A=________。
　　解：∵ tanA-cotA=2,
　　∴ tanA-=2, ∴tan2A-2tanA-1=0,
　　∴ tanA=1±。 ∵A是锐角，
　　∴ tanA=1+,　 ∴cotA==-1,
　　∴ tan2A+cot2A=(1+)2+(－1)2=6。
　　说明：利用同角关系tanα·cotα=1转化已知条件，可以求出tanα或cotα，问题容易解决。
　　方法二：将等式tanA－cotA=2两边平方，得到：tan2A+cot2A－2＝4，所以：tan2A+cot2A＝6。若能通过变形得到所求内容,方法相对简单。
　　例3.已知ΔABC的两边长a=3, c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个正整数根之一，求sinA的值。
　　分析:这个题目是三角和方程的综合题目。利用方程的根为正整数,可以求出b。
　　解：设x1, x2是关于x的方程x2－4x+m=0的两个正整数根，
　　∴x1+x2=4,
　　∴ x1=1, x2=3或x1=x2=2或x1=3, x2=1, ∴b只能取1，2，3，
　　∵2　　如图所示，过C作CD⊥AB于D，
　　∵ AC=BC=3， ∴AD=AB=，
　　在RtΔACD中，CD=，
　　∴ sinA=。
　　说明：在非直角三角形中，作边上的高，构造直角三角形来求内角的三角函数值，是常用的办法。
　　例4.如图，某县为加固长90m, 高5m，坝顶宽为4m，迎水坡和背水坡的坡度都是1∶1的横断面是梯形的防洪大坝。要将大坝加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5。已知坝顶宽不变。（1）求大坝横截面面积增加多少m2？（2）要在规定时间内完成此项工程，如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成，现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成，求原来规定多少天完成和每天完成的土方数。
　　
解：（1）过C作CH⊥BG于H，过F作FK⊥BG于K，过E作EJ⊥BG于J，则BG=2BH+CD=2CH+CD=2×5+4=14，
　　∴ S梯形BGDC=(CD+BG)·CH=(4+14)×5=45(m2)
　　AG=AK+EF+JG
　　　=1.5FK+EF+EJ
　　　=1.5×6+4+6=19
　　∴ S梯形AGEF=(EF+AG)FK
　　　　　　　　=(4+19)×6
　　　　　　　　=69(m2)
　　∴大坝横截面面积增加69-45=24(m2)
（2）设原来规定x天完成，那么甲单独做需(x+10)天完成，乙单独做需(x+6)天完成，根据题意，得：
　　=1。 解得：x1=18, x2=-8。
　　经检验x1=18, x2=-8都是原方程的根，但天数不能为负，所以只取x=18。
　　(24×90)÷18=120(m3)
　　答：原来规定18天完成，原计划每天完成120m3土方。
　　说明：仰角、俯角、坡度是是实际生活中常用到的概念，并且在中考中常会考到，应该引起足够重视，对这些概念要弄清弄懂，第二问是工程问题。
　　例5、如图，抛物线y=x2-px-q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知∠ACB=90°，∠CAO=α，∠CBO=β，tanα-tanβ=4。
　　（1）求抛物线的解析式，并用配方法求顶点坐标、对称轴方程；
　　（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆正好与x轴相切，求此圆的半径。
　　解析：本题是集方程、函数、三角、圆于一体的综合题考题。主要考查学生综合分析问题、解决问题的能力。
　　首先设出A，B两点的坐标（x1, 0）（x2, 0），这样便于表示OA，OB的长，且便于和p、q找到联系。
　　（1）设A点坐标（x1, 0），B点坐标（x2, 0）。
　　由抛物线解析式y=x2-px-q，知
　　C点坐标交为（0，-q），x1+x2=p，x1x2=-q
　　tanα-tanβ=
　　∵tanα-tanβ=4，∴p=4
　　又∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB
　　∴q2=-x1·x2，即q2=q
　　解得q=1（q=0舍去）
　　∴抛物线的解析式为y=x2-4x-1
　　∵y=x2-4x-1=(x-2)2-5，
　　∴其顶点坐标（2，-5），对称轴方程x=2
　　（2）∵直线MN//x轴，
　　∴可设M（x3, y0）、N（x4, y0）
　　又∵点M、N在抛物线上，
　　∴x3、x4是方程x2-4x-1=y0的两根,即x3、x4是方程x2-4x-1-y0=0的两根。
　　∴x3+x4=4，x3x4=-1-y0
∴MN=|x3-x4|=
由题设，MN=|y0|，∴=|y0|
　　解得y0=，经检验，都是原方程的根。
　　则当MN在X轴上方，圆的半径为；
　　则当MN在X轴下方，圆的半径为；
　　说明：利用根与系数的关系，找到已知条件和待定的系数，是常见的办法，坐标（x1, 0）（x2, 0）与线段OA、OB的转化要注意符号问题，OA＝|x1|,OB=|x2|,再根据条件化简。
三、巩固训练
窗体顶端
选择题
　　1．如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆。若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是（　　 ）
　A、(cosα，1)　　　 B、(1，sinα)
　C、(sinα，cosα)　　 D、(cosα，sinα)
窗体底端
窗体顶端
　　2．在直角三角形ABC中，如果各边长度都缩小2倍，则锐角A的正切值和余切值（　 ）
A、都缩小2倍；　 B、都扩大2倍；　 C、都没有变化；　 D、不能确定
窗体底端
窗体顶端
　　3．按CZ1206型科学计算器中的白键使显示器左边出现后，求cos9°，的值，以下按键顺序正确的是（　 ）
A、　 B、 C、　 　D、　 　　　　　　　
窗体底端
窗体顶端
　　4．如图，菱形ABCD对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（　 ）
　A、sinα=　　B、cosα=　C、tanα=　D、tanα=
窗体底端
窗体顶端
　　5．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6米，梯上点D距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为（　 ）
　A、3.85米；　B、4.00米； C、4.40米； D、4.50米
窗体底端
窗体顶端
　　6．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=，则AC的长是（　 ）
A、3　B、4　C、5　D、6
窗体底端
窗体顶端
　　7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（　 ）
A、　B、　　C、　D、1
窗体底端
窗体顶端
　　8．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tanα的值为（　 ）
A、　B、　C、　　D、
窗体底端
窗体顶端
　　9．如图，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到边BC的距离是（　 ）
A、10-5　B、5+5　C、15-5　D、15-10
窗体底端
窗体顶端
　　10．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度是（　 ）
　A、米　B、100sinβ米　C、米　D、100cosβ米