人教版数学九年级上册 24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理教案（第1课时）

§24.1.4圆周角
第1课时《圆周角及圆周角定理》教学设计
教材分析
《圆周角》是九年级数学上册第二十四章《圆》这一章中的重要一节，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，圆周角及圆周角定理是这一章的基本概念和定理，学生掌握的熟练程度直接影响着学生后续知识的学习。因此让学生多角度、多层次地理解并掌握圆周角的定义和定理，有着十分重要的作用。
学情分析
在此之前，学生已经掌握了圆心角的定义，对圆心角及所对弧的度数的关系有了认识，因此在学习圆周角的定义时，学生会对圆内的又一类角很有兴致，同时圆周角的定义是类比圆心角得到的，让学生体会类比思想的重要性，而圆周角定理的证明用到了完全归纳法，分为三种情况证明，对于学生有些难度。
教学目标
1、圆周角的概念，探索并证明圆周角定理并能应用圆周角定理，解决简单问题。
2、探索圆周角的过程中，培养动手操作、自主探索与合作交流的能力，体会分情况逐一证明的必要性。
3、在互相交流的过程中，培养解决数学问题的能力，激发学习数学的兴趣。
重点难点分析
重点：探索同弧所对的圆周角与圆心角度数的关系.
难点：探究圆周角与圆心的位置关系，证明圆周角定理.
教学课型
新授课
教学方法
启发引导
小组探究
为了体现学生为主体，教师为主导，知识为主线，育人为主旨的教学原则，本节课主要采用探究式教学法为主线，多媒体直观演示、启发引导为辅的教学方法.
学法指导
知识是通过学生自己动口、动手、动脑，积极思考、主动探索获得．我将课堂交给学生，让学生自己去探索，发现验证知识.自主探索，研讨发现，得出结论是本节课主要的学习方法.
教具准备
教师：多媒体课件、圆规、三角板等
学生：直尺、圆规、量角器等
教学过程设计
创设情境
合作探究
归纳总结
应用练习
课堂小结
课堂检测
教学活动
1、
课前复习
上一堂课我们一起学习了与圆有关的一类特殊角——圆心角及其性质，请同学们思考并回答，什么叫圆心角?
圆心角有那些性质？
二、创设情境，引入新知
情境
出示多媒体课件：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练，甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们都说在自己所在位置对球门AB的张角大，（甲对球门AB的张角为∠C，乙对球门AB的张角为∠D）你认为他们谁说的对？
设计意图：联系生活中的实际创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探激情和求知欲望，把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中.
问题
①
∠C、∠D两个角还是我们学过的圆心角吗？
②他们有什么共同特点？（①角的顶点在圆上；②)角的两边都与圆相交)
(像∠C、∠D这样的角我们叫它圆周角。)
③你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
设计意图：让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力.
预设：对于条件②角的两边都与圆相交若未提出，可以进一步提问，下图中的角是否为圆周角
圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角
特征:
①角的顶点在圆上
②角的两边都与圆相交
练习1：如图，判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角并说明理由。
小结：判断要点：
①角的顶点在圆上②
角的两边都与圆相交
设计意图：剖析概念，通过一组辨析题，让学生真正理解圆周角的概念
圆心角与圆周角的相同点和不同点
圆心角
圆周角
不同点
①顶点在圆心②角的两边在圆的内部是半径
①顶点在圆上②角的两边在圆的内部是弦
相同点
两边都与圆相交
1
设计意图:比较圆心角与圆周角的相同点与不同点，让学生清楚，圆心角的两条边在圆内的部分是半径，圆周角两边在圆内的部分是弦
3、
合作探究，学习新知
一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间有怎样的数量关系？
问题
1画圆O，在圆O上任取一段，那么它所对的圆心角有几个？
所对的圆周角有多少个呢？（任取优弧上一点，连接的两个端点即为所对的一个圆周角）
问题2:你能否把这无数个圆周角进行分类？若能，可以分成几类？分类的依据是什么？
分析图形：以圆心和圆周角的位置关系分类的：圆周角与圆心的位置关系有如图的三种情况
①圆心在圆周角一条边上
②圆心在圆周角内
③圆心在圆周角外
问题3：探究所对的圆周角与它所对的圆心角之间有怎样的数量关系？
（1）测量上面图中三种情况下的所对的圆心角∠AOB和一个圆周角∠ACB的度数。
所对的圆周角∠
=______
所对的圆心角∠
=______
所对的圆周角∠
=______
所对的圆心角∠
=______
所对的圆周角∠
=______
所对的圆心角∠
=______
设计意图：学生亲手度量，进行实验、探究、得出结论。激发学生求知欲望。
（2）观察测量结果你有什么发现？
（∠ACB=∠AOB.）
（3）你得出了什么猜想？
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（4）怎样验证你的猜想?
（利用几何推理进行证明）
设计意图：引导学生探究、初步感知发现圆周角定理。
分析图形：圆周角与圆心的位置关系有如图的三种情况：
①心在圆周角一条边上
②圆心在圆周角内
③圆心在圆周角外
由于有图形分为三类，所以我们必须分为三种情况来证明定理。
在证明之前，先要将我们所要证明的命题转化为数学语言,分析出命题的已知和求证
设计意图：这一过程体现了数学
(?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?"
\t
"_blank?)中的分类讨论的思想
已知：⊙O中所对的圆周角为∠ACB，
所对的圆心角为∠AOB求证：∠ACB=∠AOB.
验证猜想，定理的证明思路：
我们根据圆周角与圆心的位置关系，分三种情况来说明.先解决特殊问题，首先解决第一种圆心在圆周角边上的特殊情况的证明过程，再把其他两种情况转化为特殊问题来解决.
(1)证明圆心在圆周角边上的情况：
证明：∵OC=OB,
∴∠C=∠B.
又
∵∠AOB=∠C+∠B,
∴∠C=∠AOB.
分析证明过程中所用的到条件：①直径（过圆周角顶点的直径）②等腰三角形③三角形外角定理
图形的特点：可看成是由三条线段围成的，一是过圆周角顶点的直径；二是圆周角在圆内的部分—弦
三是：圆心角在圆内的部分——半径
引导学生用以上三点知识证明下面的两种情况。给学生时间讨论以下两种情况的证明，教师巡视，提醒学生构造条件
设计意图：在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学
(?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?"
\t
"_blank?)中从特殊到一般的化归思想.从而让学生学会了一种分析问题解决问题的方式方法。
(2)证明圆心在圆周角内部的情况：
学生一时难以找到证明的途径，引导学生将图形②通过添加过圆周角顶点C的直径转化为图形①解决.
证明：
过圆周角的顶点C作圆O的直径CD，利用（1）的结论得:
∠1=∠2.
∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4=
(∠2+∠4)
即：∠ACB=∠AOB.
（3）证明圆心在圆周角外部的情况：
证明：过圆周角顶点C作圆O的直径CD.
利用（1）的结论得:
∠1=∠2.∠BCD=∠BOD.
∴∠BCD-∠1=∠BOD-∠2=
(∠BOD
-∠2)
即：∠ABC=∠AOB.
小结：指出这种将一般的、复杂的问题转换为特殊的、简单的问题的思想就是转化思想，是解决数学问题的一种行之有效的方法。
四、
归纳总结，得出结论
设计意图：文字语言与数学语言之间的转化能力
结论：
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
符号：所对的圆周角为∠ACB，
所对的圆心角为∠AOB
∠ACB=∠AOB.
定理剖析：①同一条
②周角等于圆心角的一半
五、应用练习
设计意图：利用本节课所学的内容解决问题，同时巩固本节课所学的内容。
练习2.填空
(1)已知：如图，若圆心角∠BOC的度数为100°，则圆周角∠BAC的度数为____________.
(2)已知：如图，点A、P、B是⊙O上的三点，若∠APB=25°，则∠AOB的度数为___________.
(3)已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为__________.
练习3：回到课前的问题。
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈射门训练，甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们都说在自己所在位置对球门AB的张角大，你认为他们谁说的对？
解：连接OA、OB，由圆周角定理可知：
小结：一般情况下，圆周角的问题可以转化为它同弧所对的圆心角的问题来解决。
六、课堂小结
说一说
这堂课你有什么收获
学生反思、体会课堂中所学内容并归纳总结，教师补充
知识：
①圆周角的定义②圆周角定理
数学思想：①类比思想②分类思想③转化思想
设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识
七、课堂作业
1.已知：如图，若圆周角∠BAC的度数为30°，则圆心角∠BOC的度数为____________.
2.已知：如图，点A、P、B是⊙O上的三点，若∠AOB=50°，则∠APB的度数为___________.
3.已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，则∠OBC的度数为__________.
板书设计
§22.4圆周角及圆周角定理
1、圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特
征：
①
角的顶点在圆上.②
角的两边都与圆相交.
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
符号语言：
三种情况分类
①
②
③
1
5