初中数学湘教版九年级上册4.3解直角三角形练习题（Word版 含解析）

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题
一、选择题
在中，若，，，则的面积是
A.
B.
C.
D.
如图，中，，，于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是
A.
B.
C.
D.
10
菱形ABCD中，于E，交BD于F点，下列结论：
为的角平分线；
；
；
其中正确的为
A.
B.
C.
D.
如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，，，若则的值是
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD中，，，，则对角线AC的长为
A.
B.
C.
D.
如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点不与A，B重合，连接OP，设，则点P的坐标是
A.
B.
C.
D.
在中，，，，则
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
如图，在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为
A.
B.
C.
2
D.
已知：如图所示，在中，，，，则AB的长为?
?
?
A.
4
B.
C.
5
D.
如图，菱形ABCD中，，，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则的最小值为?
?
A.
1
B.
C.
2
D.
二、填空题
已知矩形ABCD，相邻两边差为1，连接AC，，作于点E，则的值为______．
如图，，，，，则点F的坐标是______．
如图，在正方形ABCD中，，点E在AB边上，CE与对角线BD交于点F，连接AF，若，则的值是______．
如图，矩形ABCD中，将绕点B逆时针旋转得，其中点C的对应点E恰好落在BD上．BF，EF分别交边AD于点G，若，则的值为______．
三、解答题
如图，在锐角中，小明进行了如下的尺规作图：
分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．
小明所求作的直线DE是线段AB的______；
联结AD，，，，求AC的长．
如图，在中，，．D是BC的中点，于点E
求的度数．
求证：．
如图，矩形ABCD中，，，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．
Ⅰ当G为EF的中点时，求AE的长；
Ⅱ当是以DE为腰的等腰三角形时，求．
如图，在四边形ABCD中，，，对角线，点B在y轴上，BD与x轴平行，点C在x轴上．
求的度数．
点P在对角线BD上，点Q在四边形ABCD内且在点P的右边，连接AP、PQ、QC，已知，，设．
求CQ的长用含m的代数式表示；
若某一反比例函数图象同时经过点A、Q，求m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，
，
，
的面积为：，
故选：D．
根据锐角三角形的定义可求出AC的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：如图，作于H，于M．
，
，
，设，，
则有：，
，
或舍弃，
，
，，，
等腰三角形两腰上的高相等
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：B．
如图，作于H，于由，设，，利用勾股定理构建方程求出a，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
为的角平分线，
故正确；
连接AC交BD于点O，
四边形ABCD是菱形，
，
当时，是等边三角形，
即，
则，
的度数不定，
不一定等于2BF；
故错误；
，，
，
，
四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
∽，
：：AD，
，
，
即；
故正确；
连接CF，
在和中，，
≌，
，，
在中，，
．
故正确．
故选：D．
由四边形ABCD是菱形，即可得BF为的角平分线；可得正确；由当时，，可得错误；连接AC，易证得∽，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：：AD，继而可得，即正确；连接FC，易证得≌，可得，，然后由正弦函数的定义，可求得正确．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
为等边三角形，
过点D作，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，
则有：，，
设，则，
，，
，
，
，
，
解得：，
．
故选：D．
根据，得出的度数，则在中，设，则；证明为等边三角形，过点D作，交CA于点E，设CA与BD交于点F，则，从而，设，则，根据列出关于x的方程，解得x值，则可求得的值．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，明确锐角三角函数的定义及特殊角的函数值是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】分析
延长DC与AB交于一点解直角三角形求出DK，再求出AD，利用勾股定理求出AC．
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键在于构造直角三角形ADK．
详解
解：如图，延长DC交AB的延长线于点K，
在中，，，，
，
，
，
在中，
，
故选C．
6.【答案】D
【解析】解：作于C，
在中，，
，
点P的坐标为，
故选：D．
作于C，根据正弦、余弦的定义分别求出OC、PC，得到点P的坐标．
本题考查的是解直角三角形、坐标与图形性质，掌握正弦、余弦的定义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．
【解答】
解：在中，，，，
．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：，，，
，
是直角三角形，且，
则，
故选：D．
先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，再利用余弦函数的定义求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可．
【解答】
解：过A作，
在中，，，
，
在中，，，
，
故选A．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．先根据四边形ABCD是菱形可知，，作点P关于直线BD的对称点，则在线段AB上，连接，PC，则的长即为的最小值，由图可知，当时，的值最小，不妨取点Q与点C重合时，再在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，
．
，
，
，
作点P关于直线BD的对称点，则在线段AB上，
连接，，则的长即为的最小值，
由图可知，当时，的值最小，不妨取点Q与点C重合时，
在中，
，，
，，
．
故选B．
11.【答案】或
【解析】解：当时，如图1所示：
设，则，
由，即，
解得：或不合题意舍去，
，，
设，，则，
由勾股定理得：，
解得：，
；
当时，如图2所示：
同理可得：，，
设，，则，
由勾股定理得：，
解得：，
，
综上所述，的值为：或，
故答案为：或．
当时，设，则，由，即，解得，，设，，则，由勾股定理列出方程组，解得，则；当时，同理解得，，设，，则，由勾股定理列出方程组，解得，则．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数、分类讨论等知识；熟练掌握勾股定理得出方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点F作直线，交y轴于点A，过点G作于点H，则，
，
．
，
，，
，
，
，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，，
四边形OGHA为矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
．
故答案为：．
过点F作直线，交y轴于点A，过点G作于点H，先由平行线的性质及互余关系证明；再解，求得AE及AF，然后判定四边形OGHA为矩形，则可求得FH；解，求得FG及HG，则点F的坐标可得．
本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质及勾股定理的应用，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过F作于G，
在正方形ABCD中，，
，，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
过E作于H，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
过F作于G，根据正方形的性质得到，，求得，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，过E作于H，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：将绕点B逆时针旋转得，其中点C的对应点E恰好落在BD上．
，，，，
矩形ABCD中，，
，
，
，
，
设，，设，
则，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，即．
故答案为：．
由旋转的性质可得，，，，再由矩形的性质得出，设，，设，分别用x和y表示出BC、BD、DE、DH，根据，列出比例式，化简得，即．
本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定及余弦函数的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15.【答案】线段AB的垂直平分线或中垂线；
过点D作，垂足为点F，如图，
是线段AB的垂直平分线，
，
在中，，
，
在中，，
在中，，
．
【解析】
【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了解直角三角形．
【解答】】利用基本作法进行判断；
过点D作，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则，在中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在中利用勾股定理可计算出CF，然后计算．
解：小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线或中垂线；
故答案为线段AB的垂直平分线或中垂线；
见答案．
16.【答案】解：，点D为BC的中点，，
，．
，
，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
【解析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等内容，掌握相关知识是解题关键．
根据题意，易得，即可求得；
在中，，在中，，即可得．
17.【答案】解：Ⅰ
又
又
∽
又，点G为EF的中点
点C为BF的中点
Ⅱ当时，则
又，
又
≌
设，则，
在中，
解得，即
当时，则
又
，
又
∽
由得：
设，则，，，
解得：，舍去
综上所述：或．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．
Ⅰ根据，证明∽，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；
Ⅱ当时，先证明≌得，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；当时，证明∽得，求得AE的长，即可求得结果．
18.【答案】解：连接AC交BD于点H，
，，，
≌，
，
是等腰三角形ABC的高，即，
即BD是AC的中垂线，
设，则，
，
即，
解得：，
，故
BD是AC的中垂线，则，
故；
连接AQ、QD、PC，
，，
为等边三角形，故，
同理是边长为8的等边三角形，，
，
而，，
≌，
是AC的中垂线，故，则为等腰三角形，
也为等腰三角形，
即，而为等边三角形，，
≌，
故，在中，延长CQ交AD于点K，
，则，
，，，
≌，
，
过点D作轴交于点R，
轴，故，
，而，故，
故点，
，
在等边三角形ACD中，AD边上的高，
则；
过点Q分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N，
是等边三角形CDA的高，则，而，
故，
，，
故点，
点，，故点，
反比例函数图象同时经过点A、Q，
则，而，
即，
解得：不合题意值已舍去．
【解析】证明≌，得到BD是AC的中垂线，，即，即可求解；
证明≌、≌、≌得到，即可求解；
证明，则，，故点，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、解直角三角形等，综合性很强，难度大．
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