人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径课件（25张）

(共25张PPT)
24.1.2
垂直于弦的直径
学习目标（1分钟）
1.经历探索圆的对称性及相关性质
的过程,理解圆的相关性质；
2.能够掌握并理解垂径定理及其推论的性质；
3.会根据垂径定理及推论解决实际问题。
问题
：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（转化成数学问题，并画出几何图形）
赵州桥主桥拱的半径是多少？
情境引入
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
自学指导1（2分钟）
看课本81页内容，回答问题
自学检测1（1分钟）
1.圆有（
）条对称轴
2.判断：圆是轴对称图形，它的每一条直径都是它的对称轴。（
）
无数
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
自学指导
二（8分钟）（探究圆的对称性）
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2）
线段：
AE=BE
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，　
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ　和　ＢＣ　
重合，ＡＤ和　ＢＤ重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分ＡＢ　及　ＡＣＢ
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
即ＡＥ＝ＢＥ　
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
⌒
⌒
总结：
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
讨论问题
如果一条直径平分一条非直径的弦，
那么它垂直这条弦吗？并且平分弦
所对的两条弧吗？．
③AM=BM,
由
①
CD是直径
②
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
②CD⊥AB,
由
①
CD是直径
③
AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
可推得
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
M
Ｏ
垂径定理：
推论：
1、过圆心
2、垂直于弦
3、平分弦
4、平分优弧
5、平分劣弧
总结：五取二有三
讨论：
一条直线的性质具备几个条件？
AM=（
）
AC=（
）
AD=（
）
⌒
1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M，
自学检测2(5分钟）
⌒
⌒
⌒
∴
ADC=
(
)
⌒
⌒
2.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧
3.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
解得：R≈27．9（m）
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即
R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
如图，用
ＡＢ
表示主桥拱，设
ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O
作弦AB
的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相交于点D，根据前面的结论，D
是AB
的中点，C是ＡＢ
的中点，CD
就是拱高．
⌒
⌒
⌒
自学指导3（5分钟）
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
自学检测3(4分钟）
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt
△
AOE
中
2.
如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD
=
20，CM
=
4，求AB。
解：连接OA
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
∴
AB
=2AM
∵
CD
=
20
∴
AO
=
CO
=
10
∴
OM
=
OC
–
CM
=
10
–
4
=
6
在Rt
△OMA中，AO
=
10，OM
=
6
根据勾股定理，
∴
AB
=
2AM
=
2
x
8
=
16
3
如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB
的长（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．2cm
4如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为5
cm，则弦的长为____cm
C
24
1.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
G
自学指导4（4分钟）实际应用
问题1：怎样解决圆中有关弦的问题？
问题2.AD与BC有什么关系？
1.如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.
求证：AC
=
BD。
⌒
⌒
F
E
解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E
在⊙O中，OF⊥弦AB
G
交⊙O于点G
交AB于点F，
∴
AG
=
BG
⌒
⌒
∵
OE⊥弦CD
∴
CG
=
DG
⌒
⌒
∴
AG
-
CG
=
BG
-
DG
⌒
⌒
⌒
⌒
即
AC
=
BD
⌒
⌒
自学检测4（5分钟）
2.如图，在圆O中，弦AB∥CD，圆O的半径为5cm，AB=6，BC=8，求AB与CD间的距离。
A
C
B
D
O
变式：若AB.CD在圆心O的两侧，
则AB,CD之间的距离为多少？
1.如图,
⊙O的半径是5cm,P是⊙O外点,PO=8cm,
∠P=30?,则AB=
cm,
2.如图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=
cm.
当堂训练（10分钟）
6
48
3.
（2011四川南充市）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油
后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（
）
（A）6分米
（B）8分米
（C）10分米
（D）12分米
C
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
6.如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
E
5（2011上海，4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．
6
7.某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2
m
，过O
作OC
⊥
AB
于D，
交圆弧于C，CD=2、4m，
现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O