人教版数学九年级上册：24.1.3弧、弦、圆心角 课件（25张ppt）

(共25张PPT)
义务教育课程标准实验教科书
九年级
上册
人民教育出版社
24.1.3
弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
·
一、思考
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
二、概念
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
探究
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
三、
因此，
重合，AB与A′B′重合．
圆心角,
弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等.
●O
A
B
A′
B′
●O
A
B
●O′
A′
B′
由条件:
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
可推出
A′
B′
圆心角
圆心角
顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距
过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′,
将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
●O
●O
A
B
┓
D
●O
A
B
┓
D
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
┓
D
┓
D
┓
D
┓
D
┓
D
┓
D′
A′
B′
┓
D′
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果
，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
练习
AB=CD
⌒
⌒
⌒
⌒
AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
圆心角,
弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
由条件:
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④
OD=O′D′
可推出
在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件:
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，
所对的弦________，所对的弦的弦心距________
。
；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________，所对的弦的弦心距________
．
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中，
两个圆心角、
两条弧、两条
弦中有一组量
相等，它们所
对应的其余各
组量也相等．
四、定理
相等
相等
推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④
OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
?O
A
B
C
D
E
F
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？
想一想？
1°圆心角
1°弧
C
D
n°圆心角
n°弧
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
一般地，n°的圆心角对着n°的弧。
弧的度数
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，
OE、OF为AB、CD的弦心距，
如果AB＝CD，那么
，
，
；
如果OE＝OF，那么
，
，
；
如果弧AB＝弧CD，那么
，
，
；
如果∵∠AOB＝∠COD，那么
，
，
。
下列说法正确吗？为什么？
在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’
在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
注意前提：
在同圆或等圆中
O
A
B
E
C
D
F
复习回顾
证明：∵
∴
AB=AC,
△ABC等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
五、例题
例如图在⊙O中，
，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
1如图，AB是⊙O
的直径，
∠COD=35°，求∠AOE
的度数．
·
A
O
B
C
D
E
解：
练习
2已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分线上，∠
EPF的两边交⊙O于点A和B。
求证：PA=PB.
E
F
A
B
P
O
基础练习
3已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠
EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
求证：AB＝CD
E
F
O
P
A
C
B
D
变式1
4已知：如图，
⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠DPO=∠
BPO
。
求证：AB＝CD
O
C
D
A
B
P
变式2
5、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。
6、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC的度数为40°，求∠BOD的度数。
O
B
A
D
C
E
练习
思考
如图，已知AB、CD为
的两条弦，
，求证AB＝CD.
7如图，已知AD=BC、求证AB=CD
.
O
A
B
C
D
变式：如图，如果弧AD=弧BC，求证：AB=CD
?
A
B
C
D
M
N
O
8如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.
求证：∠AMN＝∠CNM
9、如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两
条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
P
.
O
A
B
C
D
┌
┐
G
E
F
O
B
A
C
D
F
E
10已知：如图，
⊙O的两条半径OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。
求证：CD＝AE＝BF。
继续提高
11、已知：如图，
⊙O的两条直径AB⊥CD，四条弦AE//FD//CG//HB。
求证：E、F、H、G四等分圆周。
O
B
A
D
C
F
E
G
H