(共26张PPT)
二次根式
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
16.1
二次根式
课时2
（1）什么叫二次根式？如何表示？
（2）二次根式有意义的条件是什么？
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式.
其中“”称为二次根号.
被开方数（式子）为非负数，（a≥0）.
知识回顾
1.下列各式中，一定是二次根式的是（
）.
A.
B.
C.
D.
D
解析：A.
代表对
7
开三次方，不满足二次根式的定义.
知识回顾
B.
中被开方的数小于
0，不满足二次根式中被开方的数或式子大于等于
0.
C.
中被开方的式子在实数范围内不能总是满足大于等于
0.
2.当
x
为何值时，
在实数范围内有意义？
知识回顾
判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式分母不为0这个条件.
解：由题意可知：
x+3≥0
，解得
x≥-3且x≠2
x-2≠0
当x≥-3且x≠2时，
在实数范围内有意义.
?
1.了解并掌握二次根式的性质.
2.利用二次根式的性质解决具体问题.
学习目标
思考：二次根式
中被开方数
a
的取值范围是
a≥0，那么
的取值范围是什么？
课堂导入
当
a>0
的时候
表示
a
的算术平方根，则
>0；
当
a=0
的时候，
表示
0
的算术平方根，则
=0.
当a≥0时，
是非负数，即
≥0.
知识点1：二次根式的性质
性质1：二次根式的双重非负性.
表示：
（a≥0），二次根式的被开方数非负
≥0，二次根式的值非负
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
a2
、∣a∣、
.
新知探究
根据算术平方根的意义填空：
=
=
=
=
4
2
0
新知探究
是
4
的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于
4
的非负数，所以
=4.
同理
、
、
分别是2、
、0的算术平方根，所以
=2，
=
，
=0.
性质2：
（a≥0）.
文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数
本身.
新知探究
公式逆用：若a≥0，则
a=
()
?
.
性质3：
-a（a<0）
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
=
=
例2
计算：
（1）
=
（2）
=
1.5
新知探究
22×
=4×5=20
?
（1）利用二次根式的性质2：
（a≥0）
（2）同时利用二次根式的性质2和(ab)2=a2b2
(ab)2=a2b2
（a≥0）
例
化简：
（1）
=
（2）
=
4
新知探究
利用二次根式的性质3：
-a（a<0）
a（a≥0）
=
=
5
1.计算：（1）
（2）
跟踪训练
解：（1）（）?
=
（2）
?
=
12
2.计算：（1）
（2）
跟踪训练
解：（1）
?
（2）
?
1.定义：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
知识点2：代数式
（1）代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式；
（2）将两个代数式用以上关系符号连接起来的式子叫做关系式，等式和不等式都是关系式.
新知探究
(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)
2.代数式的书写规定：
（1）数与字母相乘或字母与字母相乘时，通常将乘号写
作“
·
”或者省略不写.
（2）数与字母相乘时，通常把数写在前面.
（3）数字因数是
1
或
-1
时，“1”常省略不写.
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分数.
（5）除法运算通常用分数线.
新知探究
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
（2）公式法：根据数学相关的公式（面积或体积等）列出代数式.
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
新知探究
3.列代数式的常用方法：
1.列代数式：一个三角形的面积为
S，底边长为
a，则底边上的高为多少？
跟踪训练
本题源于《教材帮》
解：因为三角形的面积=
×底×高，
所以这个三角形底边上的高为
.
2.用代数式表示：
（1）面积为
S
的圆的半径；
（2）面积为
S
且两条邻边的比为
2：3
的长方形的长和宽.
跟踪训练
解：（1）设圆的半径为
r，则
所以
S=πr?，则
r
=±.
又因为圆的半径不能为负数，所以r
=.
2.用代数式表示：
（1）面积为
S
的圆的半径；
（2）面积为
S
且两条邻边的比为
3：2
的长方形的长和宽.
跟踪训练
解：（2）设长方形的长为
3x，则宽为
2x.
1.下列式子中正确的是（
）.
随堂练习
A.
B.
C.
D.
B
2.计算：（1）
（2）
随堂练习
本题源于《教材帮》
注意
π
与3的大小比较
（2）
=
|3-π|
=
π-3
解：（1）-(-)?
=
-
二次
根式
性质
二次根式的双重非负性
代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
课堂小结
（a≥0）
解：根据数轴显示，a
的取值范围是
2
拓展提升
1.实数
a
在数轴上的位置如图所示，则
化简后的结果是多少？
所以
a-2>0，a-5<0.
0
2
a
5
=
a-2+5-a
=3
2.已知
与∣a-b+3∣互为相反数，求
的值.
拓展提升
二次根式的非负性
本题源于《教材帮》
解：因为
与∣a-b+3∣互为相反数，
?
所以
+∣a-b+3∣=0.
?
又因为
≥0，∣a-b+3∣≥0.
?
所以
=（-2+1）2020=1.
?
所以
a+2b=0
解得
a=-2
a-b+3=0
b=1
3.化简：
拓展提升
由题意可得：2x-3≥0，即2x≥3，所以1-2x<0.
所以原式=2x-1-2x+3=2.
题目中隐含条件
中的2x-3≥0，利用x的范围来判断
绝对值的正负号.
本题源于《教材帮》
解：原式=
=
课后作业
请完成课本后习题第4、9题。(共25张PPT)
二次根式
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
16.1
二次根式
课时1
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
±（a≥0）
.
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.
用
（a≥0）表示.
?
1.如果x2=9，那么x=
.
2.如果x2=5，那么x=
.
3.如果x2=a（a≥0），那么x=
.
4.13的平方根是
，13的算术平方根是
.
?
?
?
?
?
知识回顾
1.了解并掌握二次根式的概念.
2.利用二次根式的概念解决具体问题.
学习目标
课堂导入
圆形喷泉的面积为
70πm?,
那么它的半径是多少？
这个式子有什么特点呢？
圆的面积公式是
S=πr?,所以半径
r
=.
新知探究
思考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为
3
的正方形的边长为
，面积为
S
的正方形的边长为
.
（2）一个长方形的围栏，长是宽的
2
倍，面积为
130m2，则它的宽为
m.
被开方数大于0
新知探究
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t（单位：s），与开始落下时离地面的高度
h（单位：m）满足关系
h=5t2，如果用含有
h
的式子表示
t，那么
t
为
.
被开方数可以是分式
思考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点:
新知探究
上述问题的结果为
、
、
、
，可以看出它们表示一些正数的算术平方根.
那么类似于这样的式子，你能试着归纳特点吗？
4个式子分别表示3、S、65、
的算术平方根.
共同特点是被开方数为非负数，根指数为2.
新知探究
一般地，我们把形如
（a≥0）的式子叫做二次根式.
其中“
”称为二次根号.
?
二次根号
被开方数
根号a
知识点1：二次根式的定义
可以是非负的数或单项式、多项式、分式等
实为“”，通常将根指数2省略不写
新知探究
（1）被开方数
a
既可以是一个数，也可以是一个含有
字母的式子，但前提是
a
必须大于或等于
0.
（2）
（a≥0）实际上就是非负数
a
的算术平方根，它既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果.
（3）如果已知
是二次根式，就意味着满足
a≥0
这一隐含条件.
下列式子中，哪些是二次根式？
、
（m≤0）
、
（m、n异号）
、
、
跟踪训练
异号数的积是负数
不能满足m-5≥0
不是二次根式
以上式子中，是二次根式的有：
、
、
新知探究
思考
当
x
是怎样的实数时，
在实数范围内有
意义？
呢？
解：由
x2≥0
可知，x
可以为任意实数.
由
x3≥0
可知，x≥0.
知识点2：二次根式有意义的条件
新知探究
二次根式有意义的条件：
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
新知探究
例1
当
x
是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下的数（式子）满足≥0的条件.
解：由
x-2≥0
得，x≥2.
当
x≥2
时，
在实数范围内有意义.
当
a
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
跟踪训练
（1）
（2）
（3）
本题源于《教材帮》
解：（1）由
a-1≥0
得，a≥1.
所以当
a≥1时，
在实数范围内有意义.
（2）由
≥0
且
3-a≠0
得，a<3.
所以当
a<3
时，
在实数范围内有意义.
当
a
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
跟踪训练
（1）
（2）
（3）
本题源于《教材帮》
解：（3）因为不论a为何值，
≥0恒成立，所以a取任意实数，
在实数范围内都有意义.
?
?
1.被开方数（或式）中含有分母的时候，分母不能为0；2.被开方数（或式）的非负性.
随堂练习
满足根号下的式子≥0即可求解.
解：（1）由a-1≥0得，a≥1.
当a≥1时，
在实数范围内有意义.
（2）由2a+3≥0得，a≥-
.
当a≥-
时，
在实数范围内有意义.
1.当
a
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
随堂练习
1.当
a
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
（3）由-a≥0得，a≤0.
当a≤0时，在实数范围内有意义.
（4）由5-a≥0得，a≤5
.
当a≤5时，
在实数范围内有意义.
满足根号下的式子≥0即可求解.
随堂练习
2.
使得式子
有意义的
x
的取值范围是（
）.
A.
x≥4
B.
x>4
C.
x≤4
D.
x<4
本题源于《教材帮》
D
解得：x<4，即
x
的取值范围是
x<4.
解：因为式子
有意义，所以
4-x>0，
?
课堂小结
二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
拓展提升
1.当
a
为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
观察题目的形式，要同时满足两个根号中的式子为非负数，才能使得其在实数范围内有意义.
解：（1）由题意可知：
2+a≥0
7-a≥0
当-2≤a≤7时，
在实数范围内有意义.
?
拓展提升
1.当
a
为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
观察题目的形式，要注意分式的分母不能为0.
解：（2）由题意可知：
≥0
a+4≠0
当
a>-4
时，在实数范围内有意义.
?
拓展提升
1.当
a
为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
观察题目的形式，无论
a
为何值，a2
都是非负数.
所以
a2+5
也为非负数.
解：（3）由题意可知：
无论
a
为何值，a2≥0，则
a2+5≥0.
当
a
取任意值时，
在实数范围内有意义.
拓展提升
2.使代数式
有意义的整数
x
有（
）.
A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
B
本题源于《教材帮》
解：由题意得，x+3>0
且
4-3x≥0，
解得
-3.其中整数有
-2，-1，0，1，
所以一共有
4
个满足题意.
课后作业
请完成课本后习题第1题。