(共24张PPT)
二次根式
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
16.2
二次根式的乘除
课时2
知识回顾
二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
拓展：
=
（a≥0，b≥0）
知识回顾
二次根式的乘法法则的逆用：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解；
2.利用
（a≥0，b≥0）和
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外.
（a≥0，b≥0）.
（2）
=2b
知识回顾
计算：
（1）
（2）
解：（1）
=
(2)()
=
6
=
3
学习目标
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根.
2.熟练进行二次根式的除法计算.
探究：计算下列各式.
课堂导入
（1）
=
，
=
；
（2）
=
，
=
；
（3）
=
，
=
.
观察结果，你发现了什么规律？
新知探究
知识点1：二次根式的除法法则
发现：
；
；
.
法则：
（a≥0，b>0）.
文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
.
a≥0，b>0
前提条件
新知探究
系数相除
根式相除
系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.
新知探究
（1）二次根式除法法则中的a、b，既可以是一
个数，也可以是其他代数式.
（2）被开放数若是带分数，应先化为假分数，再应用公式化简.
（3）在二次根式的计算中，最后的结果中被开放数应不含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含字母，同时分母中不含二次根式.
新知探究
例4
计算：
（1）
（2）
解：（1）
=2
（2）
跟踪训练
计算：（1）
（2）
本题源自《教材帮》
解：（1）
=2
（2）
新知探究
知识点2：二次根式除法法则的逆用
公式：
（a≥0，b>0）.
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
.
此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
新知探究
1
二次根式除法法则的逆用也称为商的算术平方根的性质.
2
公式中的a、b既可以是一个数，也可以是其他代数式.
3
利用商的算术平方根的性质可以对被开方数中含有分母的二次根式进行化简，化成被开方数不含分母的二次根式.
新知探究
例5
化简：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
=
化简：
（1）
（2）
跟踪训练
本题源自《教材帮》
解：（1）
（2）
==
随堂练习
计算：（1）
（2）
解：（1）
=3
（2）
==2
随堂练习
（3）
（4）
（3）
（4）
=2a
课堂小结
二次根式的除法
法则
法则
逆用
（a≥0，b>0）
（b≥0，d>0，c≠0）
（a≥0，b>0，c>0）
（a≥0，b>0）
拓展提升
1.使得等式
有意义的
a
的取值范围是什么？
解：根据二次根式的除法法则可得
a-7≥0
a-3>0
解得：a≥7.
答：使得等式有意义的
a
的取值范围是
a≥7.
拓展提升
2.计算：（1）
（2）
本题源自《教材帮》
按照从左到右的顺序，先把除法转化成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算.
解：（1）
拓展提升
2.计算：（1）
（2）
本题源自《教材帮》
解：（2）
=-4
（1）带分数要化成假分数；（2）注意确定结果的符号.
拓展提升
3.化简与计算：
（1）
（2）
解：（1）原式=
本题源自《教材帮》
拓展提升
3.化简与计算：
（1）
（2）
解：（2）原式=
本题源自《教材帮》
课后作业
请完成课本后习题第2、4题。(共23张PPT)
二次根式
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
16.2
二次根式的乘除
课时3
知识回顾
二次根式的除法法则：
（a≥0，b>0）
文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
.
拓展：
知识回顾
二次根式的除法法则的逆用：
（a≥0，b>0）.
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
.
此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
知识回顾
计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
学习目标
1.理解并掌握最简二次根式的概念.
2.熟练将二次根式化简为最简二次根式.
课堂导入
对比上面二次根式化简前后的结果，被开方数发生了什么变化呢？
新知探究
知识点：最简二次根式
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
即被开方数必须是整数（式）
新知探究
解：因为
S=ab，所以
例7
设长方形的面积为
S，相邻两边长分别为
a，b.
已知
S=
，b=
，求
a.
=.
新知探究
化简二次根式的一般方法
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.
化去根号下的分母
①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数.
②若被开方数中含有小数，应先将小数化为分数.
被开方数是多项式的要先进行因式分解.
1
2
3
新知探究
二次根式化成最简二次根式的步骤
分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式.
移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上.
化：化去被开方数中的分母.
约：约分，化为最简二次根式.
跟踪训练
1.判断:
下列各式中，哪些是最简二次根式？
（1）
（2）
（3）
（4）
跟踪训练
2.化简：
将下列各式化简为最简二次根式.
（1）
（2）
解：（1）因为
，所以
a≥0.
（2）
跟踪训练
（3）
（4）
解：（3）
=
（4）
2.化简：
将下列各式化简为最简二次根式.
随堂练习
1.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是二次根式的，说明理由.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
被开方数中含有分母.
被开方数中含有能开得尽方的因数.
被开方数中含有能开得尽方的因式.
本题源自《教材帮》
随堂练习
2.把下列二次根式化成最简二次根式.
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
随堂练习
2.把下列二次根式化成最简二次根式.
小数化为假分数
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（3）
（4）
=
随堂练习
3.设长方形的面积为
S，相邻两边的长分别为
a，b.
已知
S=16，b=
，求
a.
解：因为
S=ab，所以
=.
课堂小结
最简二次根式
定义
化简
步骤
被开方数不含分母.
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
.
分、移、化、约
拓展提升
1.下列二次根式中，最简二次根式是（
）.
A.
B.
C.
D.
A
含有能开得尽方的因数
被开方数含有分母
含有能开得尽方的因式
本题源自《教材帮》
拓展提升
2.将下列式子化简成最简二次根式.
（1）
（a>0）
（2）
解：（1）由
a>0
和≥0
得，b
≥0.
原式=
要根据
a
的取值范围判断
b
的取值范围.
拓展提升
解：（2）原式=
=
=
2.将下列式子化简成最简二次根式.
（1）
（2）
拓展提升
3.如果：
，那么
a
的取值范围是什么？
解：
因为
≤
0.
因为
a+1≥0，所以
a
≥
-1.
综上，a
的取值范围是
-1≤
a
≤
0.
课后作业
请完成课本后习题第4题。(共26张PPT)
二次根式
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
16.2
二次根式的乘除
课时1
知识回顾
二次根式的性质1：二次根式的双重非负性
表示：
（a≥0），二次根式的被开方数非负
≥0，二次根式的值非负
二次根式的性质2：
（a≥0）.
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
知识回顾
性质3：
-a（a<0）
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
=
=
代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
知识回顾
当
a、x
取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
解：（1）由题意可得：
a+5≥0，得
-5≤a≤1.
1-a≥0
所以当
-5≤a≤1
时，上述式子在实数范围内有意义.
本题源自《教材帮》
知识回顾
解：（2）由题意可得：
2x-1>0，得
x>
.
所以当
x>
时，上述式子在实数范围内有意义.
本题源自《教材帮》
当
x
取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
学习目标
1.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根.
2.熟练进行二次根式的乘法计算和二次根式的化简.
探究：计算下列各式.
课堂导入
（1）
=
，
=
；
（2）
=
，
=
；
（3）
=
，
=
；
2×3=6
4×5=20
5×6=30
观察结果，你发现了什么规律？
?
?
?
新知探究
知识点1：二次根式的乘法法则
法则：
=（a≥0，b≥0）.
文字表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
.
a≥0，b≥0
前提条件
发现：
；
；
.
新知探究
系数相乘
根式相乘
系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.
新知探究
例1
计算：
（1）
（2）
解：（1）
?
（2）
?
计算：
.
跟踪训练
解：
=
新知探究
知识点2：二次根式乘法法则的逆用
公式：
=
（a≥0，b≥0）.
文字表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积
.
此公式成立的条件是a≥0，b≥0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
新知探究
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，例如：
；
2.利用
=
（a≥0，b≥0）和
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，例如：
.
=
（a≥0，b≥0，c≥0）.
拓展
新知探究
例2
化简：
（1）
（2）
解：（1）
?
（2）
开得尽方的因式可以开方后移到根号外
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
=
（a≥0，b≥0，c≥0）
1.计算
：（1）
（2）
跟踪训练
解：（1）=
（2）=
2.化简
：
跟踪训练
解：
=
=4
c
=4bc
随堂练习
1.计算：（1）
（2）
本题源自《教材帮》
解：（1）
?
（2）
随堂练习
1.计算：（3）
（4）
解：（3）
?
（4）
带分数化为假分数
本题源自《教材帮》
（b≥0，d≥0）
随堂练习
2.化简：（1）
（2）
解：（1）
?
（2）
?
本题源自《教材帮》
课堂小结
二次根式的乘法
法则
法则
逆用
=
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0，c≥0）
（a≥0，b≥0，c≥0）
=（a≥0，b≥0）
拓展提升
1.下列计算正确的是（
）.
A.
B.
C.
D
本题源自《教材帮》
D.
拓展提升
解析：
A.
B.
C.
D.
本题源自《教材帮》
拓展提升
解：根据题意，同时满足
x≥0
x-2≥0
解得：x≥2.
当
x≥2
时，有意义.
2.当
x
在实数范围内满足什么条件时，
有意义？
拓展提升
3.化简与计算：
（1）
（2）
解：（1）原式=
=
拓展提升
3.化简与计算：
（1）
（2）
解：（2）原式=
=
课后作业
请完成课本后习题第2、3题。
