24.1.3 弧、弦、圆心角 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
24.1.3
弧、弦、圆心角
人教版·九年级数学上册
上课课件
学习目标
1．能识别圆心角．
2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．
3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．
【学习重点】
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
【学习难点】
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新课导入
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
推进新课
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
·
圆是中心对称图形
它的对称中心是圆心
思考
知识点1
圆的旋转不变性及圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
B
A
∠AOB为圆心角
O
·
圆心角∠AOB
所对的弦为AB，
所对的弧为AB.
⌒
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
【对应练习】
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弦
弧
这三个量之间会有什么关系呢？
B
A
O
·
探究
知识点2
弧、弦、圆心角之间的关系
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
显然∠AOB＝∠A'OB'
AB＝A'B'
AB
＝
A'B'
⌒
⌒
B
A
A'
B'
●
O
探究
AB＝A'B'
AB
＝
A'B'
⌒
⌒
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
由∠AOB＝∠AO'B'得到
B
A
●
O
A'
B'
●
O'
探究
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
AB
＝
A'B'
⌒
⌒
∵∠AOB＝∠AO'B'
∴AB＝A'B'
A
B
O
·
A'
B'
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
·
·
A'
B'
A
B
思考
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，
所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______．
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
①
圆心角
弧
③
弦
知一得二
理解
如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么
，
.
（2）如果
，那么
，
.
（3）如果∠AOB=∠COD，那么
，
.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
OE与OF相
等吗？为什么？
O
C
D
F
A
B
E
【对应练习】
∠AOB=∠COD
AB=CD
∠AOB=∠COD
AB=CD
相等.
如图，在⊙O中，AB
=AC，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明：
∴AB=AC.
又∠ACB=60°，
∴AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
∵AB
=
AC
，
⌒　⌒
⌒　⌒
·
A
B
C
O
例3
在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?
①
圆心角
②
弧
③
弦
④
弦心距
知一得三
思考
A'
B'
A
B
O
·
C'
C
随堂演练
基础巩固
1.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是(
)
A．36°
B．72°
C．108°
D．48°
2.如图，已知AB是⊙O的直径，
C、D是半圆上两个三等分点，
则∠COD=
.
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=
．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.
解：∵AB=AC，
∴AB=AC.
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-∠B
-∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.
证明：∵AD=BC.
∴AD=BC.
∴AD+AC=BC+AC,
即CD=AB.∴AB=CD.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
6.
如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.
综合应用
⌒
证明：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，∴AC=BC,
∠AOC=∠BOC=
∠AOB=60°.
又∵OA=OC=OB,
∴△AOC与△BOC是等边三角形.
∴∠A=60°.
又∠AOB=120°,
∴AC∥OB.
∵AC=OC=OB,
∴四边形OACB是平行四边形.
又OA=AC,
∴四边形OACB是菱形.
⌒
⌒
⌒
7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
拓展延伸
(1)证明：连接AD.
∵AB=CD,
∴AB=CD.
∴AB-AD=CD-AD.
即BD=AC.
∴BD=AC.
在△ADB和△DAC中，
∴△ADB≌△DAC(SSS).
∴∠ABD＝∠DCA.
在△AEC和△DEB中，
∠DCA＝∠ABD,
∠AEC＝∠DEB,
AC=BD,
∴△AEC≌△DEB(AAS).
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⌒
(2)解：对称.
理由：连接OB、OC.则OB=OC.
由(1)知BE=CE，
连接BC，则OE垂直平分BC.
∴点B与点C关于直线OE对称.
课堂小结
在同圆或等圆中,
相等的圆心角所对的
弧相等,所对的弦相
等,所对的弦的弦心
距相等．
1.四个元素：
圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系：
①
圆心角
②
弧
弦
④
弦心距
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢欣赏