(共27张PPT)
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
17.1
勾股定理
课时2
知识回顾
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为
a、b，斜边长为
c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的4种证明方法：
赵爽弦图
刘徽“青朱出入图”
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
学习目标
1.学会利用勾股定理的数学思想解决生活中的实际问题.
2.熟练将实际问题转化为数学模型进行计算.
课堂导入
装修时,工人为了判断一个墙角是否是标准直角，会运用到勾股定理.
想一想，你在生活中见过哪些会运用到勾股定理的知识？
课堂导入
我们购买电视机时所说的尺寸就是电视机的斜边长，可以通过勾股定理算出来.
想一想，你在生活中见过哪些运用到勾股定理的知识？
新知探究
知识点：勾股定理的应用
例1
一个门框的尺寸如图所示.
（1）一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否通过？若能应该如何通过？
（2）一块长3米，宽2.2米的薄木板呢？
（3）一块长3米，宽2.7米的薄木板呢？
D
A
C
B
1m
2m
新知探究
分析：可以看出，木板横着或者竖着都不能从门框内通过，只能尝试斜着能不能通过.木门对角线
AC
的长度是斜着能通过的最大长度.求出
AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
D
A
C
B
1m
2m
新知探究
解：（1）在Rt△中，由勾股定理得，
=5，
解得：
因为，所以木板可以从门框中通过.
D
A
C
B
1m
2m
新知探究
解：（2）在Rt△中，由勾股定理得，
=5，
解得：
因为，所以木板可以从门框中通过.
D
A
C
B
1m
2m
新知探究
解：（3）在Rt△中，由勾股定理得，
=5，
解得：
因为，所以木板不可以从门框中通过.
D
A
C
B
1m
2m
新知探究
例2
如图，一架
2.6m
长的梯子
AB
斜靠在一竖直的墙
AO
上，这时
AO
为
2.4m.
如果梯子的顶端
A
沿墙下滑
0.5m，那么梯子底端
B
也外移
0.5m
吗？
A
C
O
B
D
分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变；②下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.
新知探究
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△中，由勾股定理得，
所以
在Rt△中，由勾股定理得，
所以，.
所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端外移约0.77m.
A
C
O
B
D
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
新知探究
从实际问题中抽象出几何图形；
确定所求线段所在的直角三角形；
找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
求得结果.
1
2
3
4
勾股定理应用的常见类型
新知探究
已知直角三角形的任意两边求第三边；
已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
求解几何体表面上的最短路程问题；
构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
1
2
3
4
5
1.在一次台风中，小红家的松树在离地面
3
米的地方被拦腰截断，树的顶部落在离根部
4
米的地方，你能计算出这棵树没截断前的高度吗？
跟踪训练
解析：根据题意，可以将地面、截断倒地的树、剩余未截断的树构建成一个直角三角形.
跟踪训练
解：在Rt△中，AC=3m，BC=4m.
由勾股定理得.
则.
这棵树没截断前的高度是
AC+AB=3+5=8m.
A
B
C
2.已知，在
Rt△
和
Rt△中，
∠C=∠=90?，
=，
=.
求证：
△.
跟踪训练
分析：根据勾股定理可以得出直角三角形的第三边也相等，然后利用“三边相等”来证明全等.
A
C
B
跟踪训练
证明：在Rt△和Rt△中，
∠C=∠=90?，根据勾股定理得：
=.
因为=，
=，=，
所以△.
A
C
B
随堂练习
1.如图，池塘边有两点
A、B，点
C
是与
BA
方向成直角的AC
方向上一点，测得
BC=60m，AC=20m.
求
A、B
两点间的距离（结果取整数）.
解：由勾股定理得：
=
则
A、B
两点间的距离约为
57m.
A
B
C
随堂练习
2.如图，要从电线杆离地面
5
米处向地面拉一条长为
7
米的钢缆.求地面钢缆固定点
A
到电线杆底部
B
的距离（结果保留小数点后一位）.
解：由题意可得，
=
所以地面钢缆固定点
A
到电线杆底部
B
的
距离约为
4.9
米.
B
A
随堂练习
解：把台阶展成如图的平面图形，连接AB.
3.如图，台阶下
A
处的蚂蚁要爬到
B
处搬运食物，它走的最短路程是多少？
在Rt△ABC中，AC=20，BC=15.
由勾股定理得：
所以AB=25.
则蚂蚁走的最短路程是25.
课堂小结
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决
拓展提升
1.小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为
0.7
米，顶端距离地面
2.4
米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面
2米，则小巷的宽度为（
）.
C
A.
0.7米
B.
1.5米
C.
2.2米
D.
2.4米
0.7
2.4
2.5
2
1.5
拓展提升
2.已知一个三角形工件尺寸如图，计算高
l
的长（结果取整数）.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB=
AC=88mm，
所以mm.
所以
mm.
A
B
C
D
l
88mm
64mm
88mm
拓展提升
3.有一块土地形状如图所示，
∠B=∠D=90?，AB=20米，
BC=15米，
CD=7米，请计算这块土地的面积.
解：连接AC，则四边形ABCD=+
在Rt△中，AC=25米.
在Rt△中，AD=24米.
所以四边形ABCD=
AB·AC
+
AD·CD
=
×20×5
+
×24×7
=
234（米?）.
拓展提升
答：这块土地的面积为234米?.
课后作业
请完成课本后习题第10题。(共32张PPT)
17.1
勾股定理
课时1
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
一般三角形
1.三角形内角和为180?.
2.两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.
直角三角形
1.两锐角互余.
2.两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.
3.斜边中线等于斜边一半.
4.三角形内角和为180?.
知识回顾
以下哪组数字可以构成三角形（
）.
A.2、3、5
B.2、2、4
C.2、5、5
D.3、4、7
解析：A.2+3=5，不满足
B.2+2=4，不满足
D.3+4=7，不满足
C.2+5>5，满足
C
判断三角形的三边关系只需要两边之和大于第三边.
学习目标
1.探索并掌握勾股定理的证明过程.
2.熟练运用勾股定理解决数学问题.
相传
2500
多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
课堂导入
请你观察一下地面的图案，从中发现了什么？
新知探究
知识点：勾股定理的认识与证明
思考1
图中三个正方形的面积有什么关系？
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
S1=S2+S3
思考2
等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
新知探究
斜边的平方等于两直角边的平方和.
c2=a2+b2
a
b
c
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、
A'
、
B'
、
C'
的面积，看看能得出什么结论？
我发现
SA+SB=SC、SA'+SB'=SC'
A
B
C
A’
B’
C’
面积/格
你发现了什么规律吗？
4
34
25
9
13
9
新知探究
新知探究
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
通过上面的思考和探究，我们可以猜想：
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．
有哪些证明方法呢？
新知探究
证法一：赵爽弦图
b
b
a
a
c
a
c
b
边长分别为a、b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.
四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.
新知探究
b
b
a
a
c
a
c
b
如图，左边图形的面积=右边图形的面积=
因为右边图形由左边图形拼接而成，所以得到：=
证法一：赵爽弦图
新知探究
证法二：加菲尔德总统拼图
如图，你能用两种方法计算梯形的面积S吗？
b
b
a
a
c
c
┐
┌
┌
（1）
+
（2）
新知探究
证法三：毕达哥拉斯拼图
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？
新知探究
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
4
4
新知探究
证法四：刘徽“青朱出入图”
a
b
c
青出
青出
青入
青入
朱入
朱出
设大正方形的面积为S，则S=
根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S=.
所以，得=.
青方
朱方
新知探究
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为
a、b，斜边长为
c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
新知探究
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
新知探究
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形
A、B、C、D
的边长分别为12、16、9、12，求最大正方形
E
的面积.
跟踪训练
跟踪训练
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，得
，
而
2.在直角三角形中，如果有两条边长为3、4，那么第三条边长为多少？
跟踪训练
解：①已知两边都是直角边时，由勾股定理得：
第三边的长=5
②已知两边一条是直角边，一条是斜边时，
由勾股定理得：
第三边的长=
随堂练习
1.在Rt△ABC中，∠A、
∠B、
∠C的对边分别为a、b、c，
∠C=90?.已知a：b=1
:
2，c=5，求b.
解：因为∠C=90?，
a：b=1:2，所以b=2a.
由勾股定理得，
（）.
本题源自《教材帮》
2.如图，每个小正方形的边长均为1，求三角形ABC的三边长.
解析：由图可知，AB=
.
同理，AC=.
同理，BC=.
A
B
C
随堂练习
3.已知直角三角形的两条边长为2、4，则第三条边长为多少？
随堂练习
解析：题目中并未说明已知的两条边长是直角边还是斜边，所以在解答的时候要注意分情况讨论，而且要满足三角形的三边关系.
解：（1）当2、4均为直角边时；
随堂练习
由勾股定理得：第三边=
（2）当2为直角边，4为斜边时；
由勾股定理得：第三边=
3.已知直角三角形的两条边长为2、4，则第三条边长为多少？
因为2+4>，所以满足三角形三边关系.
因为2+>，所以满足三角形三边关系.
课堂小结
勾股定理
证明
定理
赵爽弦图
刘徽“青朱出入图”
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
1.在△中，
∠B=90?，，则两直角边的关系
是（
）.
A.
a=c
B.
a>c
C.
aD.
以上都对
解析：因为
∠B=90?，所以b是斜边，a、c
是直角边.
由勾股定理得，
因为，所以，即.
所以a=c.
A
拓展提升
拓展提升
2.某直角三角形一直角边长为3，另一直角边和斜边的和为9，求斜边的长为多少？
解：设斜边长为
x，则另一直角边长为
9-
x.
由勾股定理得：
化简得：
答：斜边长为5.
解得：
，
.
拓展提升
3.如图，在△中，AB=13，BC=14，AC=15，求边BC上的高AD的长.
解：设BD=x（x>0），则CD=14-x.
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
同理，在Rt△ABD中，
所以，解得x=5.
所以=144，即AD=12.
拓展提升
4.已知则以x、y、z为边长能否组成直角三角形？
解：因为，
所以由绝对值、平方、二次根式的非负性可得：
解得：
由勾股定理得：
课后作业
请完成课本后习题第1题。(共27张PPT)
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
17.1
勾股定理
课时3
知识回顾
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
从实际问题中抽象出几何图形；
确定所求线段所在的直角三角形；
找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
求得结果.
1
2
3
4
知识回顾
勾股定理应用的常见类型：
1.已知直角三角形的任意两边求第三边；
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4.求解几何体表面上的最短路程问题；
5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
学习目标
1.学会在数轴上表示（n为正整数）的点.
2.利用勾股定理在数轴上画出长为
（
n为正整数）的线段.
课堂导入
这是在海边常见的美丽的海螺.
这是数学世界中的海螺（第七届国际数
学教育大会的会徽）.
课堂导入
点A表示的数字为-2
点B表示的数字为-1
点C表示的数字为1
点D表示的数字为2
实数
数轴上的点
一
一
对
应
那么如何在数轴上表示无理数的点呢？
A
B
C
D
0
-1
-2
-3
1
2
3
新知探究
知识点：运用勾股定理作长为的线段
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示无理数的点吗？
1
1
┐
边长为1的等腰直角三角形，通过勾股定理求得斜边长为，那么在数轴上可以找到对应的点表示吗？
新知探究
1.构造两条直角边都是1的直角三角形，用勾股定理得到斜边为.
2.用圆规截取的方法画出在数轴上对应的点，则这个点就是数轴上表示的位置.
1
1
O
1
2
3
B
新知探究
你能在数轴上表示出吗？
用圆规截取的方法画出在数轴上对应的点，则这个点就是数轴上表示的位置.
可以看作是直角边分别为2、3的直角三角形的斜边；
在数轴上构造两条直角边为2、3的直角三角形，利用勾股定理得出斜边为；
1
2
3
2
3
O
1
2
3
A
B
C
你能在数轴上表示出吗？
新知探究
新知探究
在数轴上表示
按照以上方法，可以在数轴上画出表示、、、、
新知探究
画长为的线段
当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，
即；??.
依此类推，可以画出长为、、
??的线段.
新知探究
（1）作一条长度等于无理数的线段的方法不唯一，应尽量利用直角边长为整数的直角三角形.
（2）并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如、0.1010010001等.
1.如图的正方形网格，以点
A
与网格格点为端点，你能画出几条边长为
的线段？
跟踪训练
解：
可以看作是边长为
3
和边长为
1
的直角三角形的斜边长.
A
一共可以画出
4
条.
2.长为的线段是直角边长为多少的直角三角形的斜边（直角边取正整数）？
跟踪训练
解：可以看作是直角边长为1、4的直角三角形的斜边；
可以看作是直角边长为1、5的直角三角形的斜边；
可以看作是直角边长为2、5的直角三角形的斜边.
随堂练习
1.在数轴上画出表示的点.
解：如图所示
（1）画出数轴，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3；
（2）过点A作直线l垂直于数轴，在l上取点B，使AB=1；
（3）连接OB，以点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C，点C即为表示的点.
1
1
A
B
C
2
3
O
l
随堂练习
2.如图，正方形网格中的每个小方格的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请你以格点为顶点，画一个三边长分别为4、、的三角形，并求出此三角形的面积.
解析：分别将、转化为两直角边长为整数的直角三角形的斜边长，即可画出要求的三角形.
随堂练习
解：因为，
所以看作是直角边长为1、2的直角三角形的斜边长.
因为，
所以看作是直角边长为2、3的直角三角形的斜边长.
如图，三角形ABC即所要画的三角形，
面积为
A
B
C
随堂练习
解：如图，,
3.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边有（
）个.
A.0
B.1
C.2
D.3
C
A
B
C
,
.
课堂小结
运用勾股定理
作长为（n为大于1的整数）的线段.
（n为大于1的整数）的点.
构造边长为整数的直角三角形.
利用数轴和勾股定理.
拓展提升
1.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C
的坐标为
.
解析：因为点A(4，0)，B(3，0)，所以OA=4，OB=3.
在Rt中，由勾股定理得，AB=5.
所以AC=AB=5，则OC=5-4=1，所以点C
的坐标为(-1,0).
(-1，0)
拓展提升
2.如图，已知△是腰长为1的等腰直角三角形，Rt△的斜边AC为直角边，画出第2个等腰直角三角形ACD，再以Rt△的斜边AD为直角边，画出第3个等腰直角三角形ADE，……，依次类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长为（
）.
解析：根据勾股定理求出第1、2、3个直角三角形的斜边长，依次类推从中找出规律求解.
第3个等腰直角三角形的斜边长为；
……
拓展提升
解：由勾股定理得，第1个等腰直角三角形的斜边长为；
第2个等腰直角三角形的斜边长为；
第2020个等腰直角三角形的斜边长为
拓展提升
3.如图，点D坐标（2，1），以OD为一边画等腰三角形，并且使得另外一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形有多少个？写出落在x轴上的点的坐标.
y
x
O
D（2，1）
拓展提升
解：已知点D（2，1），所以DE=OF=2，DF=EO=1，解得OD=.
y
x
O
D（2，1）
2
1
A
B
E
F
(1)OA=OD=，所以点A（-，0）.
(2)OB=DB，在Rt△DFB中，根据勾股定理
得：=，BF=OF-OB=2-DB
所以=解得：
DB=，则B（，0）.
拓展提升
y
x
O
D（2，1）
2
1
A
B
C
G
E
F
(3)OC=OD=，所以点C（，0）.
(4)DG=OD，DF⊥OG，所以OF=GF，则点G（，0）.
故能构成的等腰三角形有4个，坐标分别是
A（-，0）
、
B（，0）
、
C（，0）、G（，0）.
课后作业
请完成课本后习题第1、2题。
