(共29张PPT)
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
17.2
勾股定理的逆定理
课时3
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
，a、b为直角边，c为斜边.
A
C
B
a
b
c
知识回顾
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
△的三边a、b、c满足
是直角三角形
A
C
B
a
b
c
知识回顾
互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另外一个定理的逆定理.
学习目标
1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.学会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决.
课堂导入
思考
我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
船只在航行的时候需要确定方向和位置.
新知探究
知识点1：勾股定理逆定理的应用
例2
如图，某港口
P
位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，
“远航”号每小时航行
16n
mile，
“海天”号每小时航行
12n
mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点
Q、
R
处，且相距
30n
mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？
新知探究
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道
“海天”号的航向了.
通过题目已知条件可以得出：
1.PR
的长度
2.
PQ
的长度
3.∠1
的度数
4.
RQ
的长度
新知探究
解：根据题意，
PQ=16╳1.5=24，
PR=12╳1.5=18，
RQ=30.
因为，即
所以∠RPQ=90?.
由“远航”号沿东北方向航行可知，
∠1=45?
.因此∠2=45?
，即“海天”号沿西北方向航行.
1.
A、B、C
三地的两两距离如图所示，A
地在
B
地的正东方向，C
地在
B
地的什么方向？
跟踪训练
解析：根据图示的距离，可以判断出以
A、B、C
三地位置构成的三角形是直角三角形.
跟踪训练
解：在△ABC中，
因为
.
所以
.
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90?，
所以
C
地在
B
地的正北方向
.
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
∠B=90?.求四边形ABCD的面积.
跟踪训练
解析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜边
AC.
根据
AC、CD、AD
的长度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.
C
B
A
D
跟踪训练
解：因为∠B90?，所以△ABC是直角三角形.
根据勾股定理得：
在△ACD中，因为
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90?.
所以S四边形ABCD
S?ABC
+S?ACD
=
+30=36.
C
B
A
D
新知探究
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在，当a、b、c为正整数时，称
a、b、c为一组勾股数.
知识点2：勾股数
勾股数必须是正整数，例如0.3、0.4、0.5和1虽然满足，
但它们都不是勾股数.
新知探究
判断一组数是否为勾股数的步骤
看：看是不是三个正整数；
找：找最大数；
算：计算最大数的平方与两个较小的数的平方和；
判：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数.
1
2
3
4
新知探究
（1）常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15.
（2）勾股数有无数组.
（3）一组勾股数中的各数都乘以相同的正整数可以得到一组新的勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数）也是一组勾股数.
1.判断下列各组数是不是勾股数.
（1）8、12、16；（2）12、16、20；（3）0.9、1.2、1.5
跟踪训练
解：（1）因为.
所以
（2）因为.
所以
（3）
2.给出下列数组：①5、12、13；②2、3、4；③2.5、6、6.5；④21、20、29.其中勾股数的组数是（
）.
A.4
B.3
C.2
D.1
跟踪训练
解析：
①因为所以
②因为所以不
③因为所以不
④因为所以
C
随堂练习
1.下列各组数据为勾股数的是（
）.
A.
B.1，
C.5，12，13
D.2，3，4
解析：勾股数必须是一组正整数，所以选项A、B不符合题意.
C
因为，所以符合题意.
因为，所以不符合题意.
随堂练习
2.小明向东走
80m
后，沿另一方向又走了
60m，再沿第三个方向走
100m
回到原地.小明向东走
80m
后是向哪个方向走的？
北
南
东
西
O
A
解析：如图所示，小明先向东走到
A
处，则
OA=80m.
根据题意，小明应该是往东西方向坐标以上或者以下行走的，所以应该分两种情况讨论.
随堂练习
解：（1）小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O.
因为OA=80m，
AB1
=60m，
OB1
=100m，
所以
所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1
=90?.
因此小明向东走
80m
后，又向北走了
60m，再走
100m
回到原地.
北
南
东
西
O
B1
A
随堂练习
解：（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O.
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2
=90?.
因此小明向东走
80m
后，又向南走了
60m，再走
100m
回到原地.
综上所述，小明向东走
80m
后，又向南
或向北走了
60m，最后走
100m
回到原地.
北
南
东
西
O
B1
B2
A
随堂练习
解：因为AB=CD=4m，AD=BC=3m，
AC=4.5m，
所以
3.如图，张三决定挖一块长方形的菜地，
在挖完后测量了一下发现AB=CD=4m，AD=BC=3m，AC=4.5m，请你帮忙计算一下其挖的菜地是否为长方形.
因为
A
B
C
D
课堂小结
勾股定理逆定理的应用
实际应用
勾股数
实际问题构建成数学模型，利用逆定理去求解.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
拓展提升
1.如图所示，甲、乙两船从港口
A
同时出发，甲船以
30
海里/时的速度向北偏东
35?的方向航行，乙船以
40
海里/时的速度向另一方向航行，2
小时后，甲船到达
C
岛，乙船到达
B
岛，若
C，B
两岛相距
100
海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
北
A
B
C
35?
拓展提升
解：由题意得：AC=30╳2=60（海里），
AB=40╳2=80（海里）.
因为
因为
C
岛在港口
A
的北偏东
，所以
B
岛在港口
A
的南偏东
方向.
即乙船航行的方向是南偏东
.
拓展提升
2.某探险队的
A
组从驻地
O
点出发，以
12km/h
的速度前进，同时
B
组也从驻地
O
点出发，以
9km/h
的速度向另一方向前进.
2h
后同时停下来，如图所示，这时
A、B
两组相距
30km.
此时，A、B
两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
O
B
A
拓展提升
解：因为出发2小时，A组行了12╳2=24km，B组行了9╳2=18km.
又因为A、B两组相距30km，且满足
所以A、B两组行进的方向成直角.
O
B
A
课后作业
请完成课本后习题第38-39页第5、12题。(共20张PPT)
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
17.2
勾股定理的逆定理
课时2
知识回顾
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
利用边的关系判定直角三角形的步骤
找：找出三角形三边中的最长边；
算：计算其他两边长的平方和与最长边长的平方；
判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
1
2
3
知识回顾
学习目标
1.理解互逆命题、互逆定理的概念和关系.
2.能准确表述出一个命题的逆命题并判断真假.
课堂导入
说出下列命题的题设和结论.
1.两直线平行，同位角相等.
题设
结论
2.同位角相等，两直线平行.
题设
仔细观察1、2的题设和结论，请试着说出你的发现.
结论
新知探究
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、
b
，斜边长为
c
，那么.
命题2
如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？
知识点：互逆命题和互逆定理
新知探究
互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题.
命题1和命题2的题设和结论正好相反.
新知探究
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另外一个定理的逆定理.
（1）命题有真有假，而定理都是真命题；
（2）每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理；
（3）原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
新知探究
原命题
逆命题
定理
逆定理
推出
推出
证明
随堂练习
（1）有些命题不容易确定题设和结论，可以先写成“如果……那么……”的形式，再确定题设和结论.
（2）判断一个命题是假命题，只需要能够举出一个反例即可.
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
跟踪训练
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.
成立.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
不成立，如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角.
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
跟踪训练
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（4）若a>0，b>0，则a+b>0.
与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
成立.
若a+b>0
，则a>0，b>0.不成立，如-1+2>0，-1<0，2>0.
随堂练习
说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行.
逆命题成立.
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
逆命题不成立.
例如：1和-1的绝对值相等.
随堂练习
对应角相等的两个三角形全等.
逆命题不成立.
例如：两个大小不一样的等腰直角三角形.
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆命题成立.
说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
课堂小结
勾股定理的逆定理
互逆命题
互逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
拓展提升
1.在直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例.
解：不一定全等.如图，△ABC和△DEF中，
AB=DE，
AC=EF.
A
B
C
E
D
F
拓展提升
2.请判断下列说法的正误.
（1）每个定理都有逆定理.
（
）
（2）每个命题都有逆命题.
（
）
（3）假命题没有逆命题.
（
）
（4）真命题的逆命题是真命题.
（
）
×
√
×
×
拓展提升
（1）如果∠A+∠B=90?，则这两个角互为余角.
逆命题：如果两个角∠A、∠B互为余角，那么∠A+∠B=90?.
成立.
（2）如果同旁内角互补，则两直线平行.
逆命题：如果两直线平行，那么同旁内角互补.
成立.
3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
拓展提升
（3）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立.
例如：
（4）如果两个角是直角，那么它们相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
不成立.
课后作业
请完成课本后习题第34页第2题。(共27张PPT)
17.2
勾股定理的逆定理
课时1
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为
a、b，斜边长为
c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
A
C
B
a
b
c
条件：直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c.
结论：
学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理概念.
2.熟练运用勾股定理的逆定理去判定直角三角形.
课堂导入
如果已知三角形的三边长为a、b、c并且满足，那么这个三角形是否是直角三角形？
条件：三角形
结论：该三角形是直角三角形.
结论能成立吗？
新知探究
据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这个方法真的可以得到一个直角三角形吗？
知识点：勾股定理的逆定理
新知探究
画一画
如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，并且满足，那么围成的三角形是直角三角形吗？
画一画
如果围成的三角形的三边长分别为2.5、6、6.5，并且满足，那么围成的三角形是直角三角形吗？
说说你有什么发现.
新知探究
我发现他们都是直角三角形！
由以上的例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
新知探究
如图，已知△的三边长a、b、c满足.
求证：△是直角三角形.
分析：我们可以先画一个两条直角边长分别为a、b的直角三角形，如果可以证和这个直角三角形全等，那么△也是一个直角三角形.
A
C
B
a
b
c
新知探究
a
b
证明：作Rt△，=b，=
a，则有
.
因为，所以，
则=
c.
A
C
B
a
b
c
新知探究
因为在△
，.
所以△≌△（SSS）
因此，即△是直角三角形.
a
b
c
A
C
B
a
b
c
新知探究
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
新知探究
利用边的关系判定直角三角形的步骤
找：找出三角形三边中的最长边；
算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
1
2
3
新知探究
（1）只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边.
（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明.
新知探究
勾股定理
勾股定理的逆定理
条件
结论
区别
联系
在Rt中，∠C=90?.
勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”.
在△中，
勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形”
，即由“数”到“形”.
跟踪训练
1.判断下列边长能否构成直角三角形.
（1）8、15、17；
（2）13、14、15.
解：（1）因为.
所以
跟踪训练
1.判断下列边长是否构成直角三角形.
（1）8、15、17；
（2）13、14、15.
解：（2）因为.
所以
2.三角形的三边长满足试判断该三角形是否为直角三角形.
跟踪训练
解：因为
所以
该三角形
只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形.
随堂练习
解：由得，是直角三角形，且边a的对角是直角，即是直角
.
1.在△中，
的对边分别为a、
b
、
c
，且
.
A.
是直角
B.
是直角
C.
是直角
D.
是锐角
C
随堂练习
解析：设直角三角形三边满足，还是直角三角形.
2.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（
）.
A.
锐角三角形
B.
等腰三角形
C.
直角三角形
D.
钝角三角形
C
随堂练习
解：，所以.
3.已知一个三角形的三边长分别为15、20、25，则这个三角形的面积是多少？
所以这个三角形是直角三角形，且15、20为直角边，则这个三角形的面积为
课堂小结
勾股定理的逆定理
逆定理
如何判断
直角三角形
如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
①找最长边
②算两短边的平方和与长边的平方
③判断等量关系
拓展提升
1.一根长24的绳子，折成以三个连续偶数为三边的三角形，则三边的长分别为多少？该三角形的形状是什么？
解：设三个连续的偶数为a，a+2，a+4.
根据题意可得：
a+a+2+a+4=24，解得a=6.
该三角形的三边为6、8、10，因为，
所以该三角形是直角三角形.
拓展提升
2.的三边长a、
b
、
c
满足，则△
是（
）.
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
本题容易从，得到
，即的错误结论，从而错选D项.
拓展提升
解：因为，所以
，即
所以.
因此是等腰三角形或直角三角形.
两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数等于0.
拓展提升
3.的三边长a、
b
、
c
满足a：
b
：
c
=
3：
4
：
5，试判断三角形的形状.
解：设△的三边长a
、
b
、
c
分别为3k、4k、5k（k>0）.
因为，
所以△是直角三角形，且是直角
.
拓展提升
4.中，内角A、B、C所对的边分别为a、
b
、
c
.若
是直角三角形.
证明：因为，所以=
所以
所以△
课后作业
请完成课本后习题第1题。
