(共25张PPT)
17
小结
课时1
勾股定理
人教版-数学-八年级-下册
知识梳理-重点解析-深化练习
知识梳理
勾股定理
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（a、b为直角边，c为斜边）
应用
通过面积的拼接，来证明勾股定理.
证明
知识梳理
1.勾股定理
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
.
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
知识梳理
2.勾股定理证明的方法
赵爽弦图
刘徽“青朱出入图”
毕达哥拉斯拼图
加菲尔德总统拼图
知识梳理
3.
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决
知识梳理
4.用数轴表示长为的线段
如图，构造两条直角边长是1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；??.
依此规律可以在数轴上表示出、、?.
重点解析
重难点1：勾股定理的概念
1.在△ABC中，∠A、
∠B、
∠C的对边分别为a、b、c，若
∠A
=90?，
a=10
，b=4
，求c的长.
解：因为∠
A
=90?，所以a为斜边，
b、c为直角边.
根据勾股定理得：
注意判断三角形的直角边和斜边时，不要思维定式觉得a、b是直角边，c是斜边.
重点解析
2.如果直角三角形两直角边长为则它的斜边长为多少？
解：根据勾股定理得：
斜边
所以它的斜边
重点解析
3.如果直角三角形的三边长为连续的自然数，则这个三角形的周长为多少？
解：设三角形的三边长分别为a
、a+1
、
a+2(a为自然数)
.
根据勾股定理得：
化简得：
因为为自然数，所以.
故这个三角形的周长为3+4+5=12.
重点解析
重难点2：勾股定理的应用
1.如果一艘轮船以
16
海里/小时的速度从港口向东北方向航行，另一艘商船以
12
海里/小时的速度从港口向东南方向航行，离开港口两小时后，两船之间的距离是多少？
北
西
东
南
O
重点解析
A
B
南
北
西
东
O
解：如图，根据题意可得OA=16海里，
OB=12海里.
因为OA是东北方向，OB是东南方向，所以OA和OB之间的夹角是90?.
根据勾股定理得：
=
答：两船之间的距离是
40
海里.
重点解析
2.如图，要修建一个育苗大棚，棚高为
h=2m，棚宽为a=3m，棚长为
d=8m.
现要在棚上覆盖塑料薄膜，请你计算薄膜的面积是多少？
解析：已知育苗大棚的长就是薄膜的长，根据勾股定理求出薄膜的宽，然后根据矩形的面积求出薄膜的面积.
b
重点解析
2.如图，要修建一个育苗大棚，棚高为
h=2m，棚宽为a=3m，棚长为
d=8m.
现要在棚上覆盖塑料薄膜，请你计算薄膜的面积是多少？
解：设薄膜的宽为b.
根据勾股定理得：
根据矩形的面积公式得：
所以
深化练习
1.已知直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三边长为多少？
解：
当两条直角边分别为5和12时.
根据勾股定理得：第三边=
当一条直角边为5，斜边为12时.
根据勾股定理得：第三边=
所以第三边
深化练习
2.已知△ABC中，
AD是高，且AB+CD=AC+BD，求证：AB=AC
解：
∵
AD是高
∴△ABD和△ACD都是直角三角形
∴
又∵AB+CD=AC+BD
∴
AB-BD=AC-CD
②
由得：AB+BD=AC+CD
③
由③得：AB=AC
A
B
C
D
┌
深化练习
3.如图，在Rt△ABC中，
∠C=90
?，AM
是中线，MN⊥AB，垂足为
N，求证：
C
A
N
M
B
┌
┌
解析：线段
BN、AN、AC
不在同一个直角三角形中，所以不能直接利用勾股定理，但MC=MB，故考虑利用相等线段进行转化.
深化练习
证明：
∵MN⊥AB
∴在Rt△AMN中，
∵
在Rt△BMN中，
∴
∵
在Rt△AMC中，
∠C=90
?
∴
∵
AM是△ABC的中线
∴MC=MB
∴
C
A
N
M
B
┌
┌
深化练习
4.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，
CE=CD
，△ACB的顶点
A
在△ECD的斜边
DE
上.
求证：
解析：连接BD，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可以得到：AE=BD.再利用角的关系和勾股定理即可得到结论.
A
C
E
D
B
深化练习
证明：连接BD
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CE=CD，CA=CB.
∴∠ECD=∠ACB=90?，
∠1+∠2=
∠2+∠3=90?.
∴∠1=∠3，
则△ACE≌△BCD.
∴AE=BD，
∠4=∠E=∠5=
45?.
∴∠4+∠5=
90?.
在Rt△ADB中，由勾股定理得：.
在Rt△ACB中，由勾股定理得：.
∴.
A
C
E
D
B
1
2
3
4
5
深化练习
A
小屋B
牧童
北
东
解析：利用已经学过的求最短路程的方法，作出点
A
关于河岸的对称点
，再利用对称点的性质和勾股定理求解.
5.如图，一个牧童在小河的南
4km
的
A
处牧马，而他正位于他的小屋
B
的西
8km
北
7km
处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
深化练习
解：设河岸为
MN，作出点
A
关于河岸
MN
的对称点
，连接
B
交
MN
于点
P，连接
AP，则
AP+PB
就是最短路线长.
A
B
P
在Rt△DB中，D=4+4+7=15(km)，BD=8km.
由勾股定理得：
N
M
D
深化练习
6.
如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km，BC=20km，
∠ABC=120
?
.请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据：）
A
B
C
120?
解析：（1）构造直角三角形，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E，利用勾股定理求出长度即可.
深化练习
解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.
又∵
BC=20km
∴
BE=10km，
∵
∠ABC=120
?
∴
∠CBE=60
?
，
∠BCE=30
?
在Rt△AEC中，
∵
∴
A
B
C
120?
E
深化练习
（2）若客车的平均速度为
60km/h，市内的公共汽车的平均速度为
40km/h，城际列车的平均速度为
180km/h，为了用最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）
解析：（2）分别求出两种方案所需要的时间，通过比较选择满足题意得乘车方案.
深化练习
解：（2）小明应选择城际列车方案，理由如下：
乘城际列车方案(h)
乘客车方案需时间t1
∵
t1
∴小明应该选择城际列车方案.(共28张PPT)
二次根式
人教版-数学-八年级-下册
知识梳理-重点解析-深化练习
17
小结
课时2
知识梳理
勾股定理的逆定理
概念
如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
如何判断
直角三角形
找最长边
判断等量关系
两短边的平方和与最长边的平方
知识梳理
勾股定理的逆定理
命题
定理
互逆命题
互逆定理
应用
数形结合，实际问题转化为直角三角形
互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做
.如果把其中一个叫做
，那么另外一个叫做它的
.
知识梳理
1.互逆命题和互逆定理
互逆命题
原命题
逆命题
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理
，其中一个定理叫做另外一个定理的
.
互为逆定理
逆定理
知识梳理
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、
b
、
c
满足，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
知识梳理
3.
勾股定理逆定理的应用
②
实质：由“数”到“形”的转化；
③
应用：判定一个三角形是否为直角三角形.
①
内容：三角形三边满足，三角形是直角三角形；
知识梳理
4.
勾股数
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个
，称为
，即在，当a、b、c为正整数时，称a、b、c为一组勾股数.
正整数
勾股数
判断一组数是不是勾股数的步骤：
看、找、算、判.
重点解析
重难点1：互逆命题和互逆定理
1.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假.
（1）如果∠A和∠B是邻补角，那么∠A+∠B=180?.
解：（1）逆命题：如果∠A+∠B=180?，那么∠A和∠B
是邻补角.
它的逆命题为假命题.
重点解析
（2）逆命题：如果一个三角形两个内角所对的边相等，那么这两个内角相等.
它的逆命题为真命题.
（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.
1.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假.
重点解析
2.下列各命题中，逆命题成立的是（
）.
A.全等三角形的对应角相等.
B.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.
C.两直线平行，同位角相等.
D.如果两个角都是30?，那么这两个角相等.
C
重点解析
A.逆命题：对应角相等的两个三角形全等.（
）
B.逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.（
）
C.逆命题：同位角相等，两直线平行.（
）
D.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是30?.（
）
假
假
假
真
两个大小不一样的等腰直角三角形
-2和2的绝对值相等
两个角都是40?
重点解析
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确定题设和结论.
2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
（1）在△ABC中，∠A=25?、∠B=65?；
重点解析
重难点2：勾股定理的逆定理
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角.
解：（1）在△ABC中，因为∠A=25?、∠B=65?，所以
∠C=180?-∠A-∠B=90?，所以这个三角形是直角三角形.
∠C是直角.
（2）在△ABC中，AB=15，
BC=20
，AC=25；
重点解析
解：（2）在△ABC中，因为AB=15，
BC=20
，AC=25
；
所以
.
因为
∠B是直角.
（3）在△ABC中，AB=14，
BC=2
，AC=15.
重点解析
解：（3）在△ABC中，因为AB=14，
BC=2
，AC=15
；
所以
.
因为.
重点解析
1.从角的方面判断：如果已知条件与角有关系，只要说明三角形有一个内角为90?
即可.
2.从边的方面判断：如果已知条件与边有关系，则可以通过勾股定理的逆定理进行判断.
重点解析
重难点3：勾股定理逆定理的应用
已知，在△ABC
中∠A、
∠B
、
∠C的对边分别是a、b、c，满足，请判断该三角形是不是直角三角形.
解：因为
=0
重点解析
重难点4：勾股数
判断下列各组数是不是勾股数：
（1）21，72，75（2）2，3，4
（3）0.5，1.2，1.3
解：（1）
（2）
（3）
深化练习
1.在△ABC中，∠A、
∠B
、
∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是（
）.
B
A.如果∠C-
∠B=
∠A，则△ABC是直角三角形.
B.如果，则△ABC是直角三角形，且∠C=90?.
C.如果，则△ABC是直角三角形.
D.如果:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形.
深化练习
A.如果∠C-
∠B=
∠A，则△ABC是直角三角形.
解析：因为∠C-
∠B=∠A，所以
∠C=∠B+∠A.
因为∠C+∠B+∠A=180?，所以
∠C+∠C=180?.
解得：∠C=90?，所以△ABC是直角三角形.
深化练习
B.如果，则△ABC是直角三角形，且∠C=90?.
解析：因为，所以根据勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形.
可以看出b是斜边，所以∠B=90?，选项B错误.
深化练习
C.如果，则△ABC是直角三角形.
解析：因为，所以根据勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形.
深化练习
D.如果:∠B
:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形.
解析：因为:∠B
:∠C
=5:2:3
，所以设∠C=3x，∠B=2x，∠A=5x.
因为∠C+∠B+∠A=180?，所以
10x=180?，解得x=18?.
因为∠A=90?，所以△ABC是直角三角形.
深化练习
2.在Rt△ABC中，
∠C=90?，若AB=10，则两个正方形的面积之和为
.
解：由图可知：AC
是小正方形的边长，BC
是大正方形的边长.
100
A
B
C
因为在
Rt△ABC
中，
∠C=90?，所以
因为
深化练习
3.如图所示，在四边形ABCD中，AB=3，BC=5，CD=2，
AD=2，AC⊥AB.
求四边形ABCD的面积.
A
B
C
D
解析：由图可知：四边形ABCD是由两个三角形组成，求出两个三角形的面积即可.
深化练习
解：因为AB=3，BC=5，
AC⊥AB，
所以=
因为AC=4，AD=2，
CD=2，
所以
=，
所以△ADC是直角三角形.
所以四边形ABCD面积=△ABC的面积+△ADC的面积=
A
B
C
D
深化练习
4.如图，南北向
MN
为我国领海线，即
MN
以西为我国领海，以东为公海，上午
9
时
50
分，我国反走私艇
A
发现正东方有一走私艇
C以
13
海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在
MN
线上巡逻的我国走私艇
B
密切注意.反走私艇
A
和走私
艇
C
的距离为
13
海里，A、B
两艇的距离是
5
海
里；反走私艇
B
离走私艇
C
12
海里，若走私艇
C
的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
深化练习
解：设
MN
与
AC
交于点
E，则∠BEC=90?.
因为
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90?.
因为MN⊥CE，所以走私艇
C
进入我国领海的最
短距离是
CE
的长，由S△ABC=，得
由海里.
因为，
所以走私艇
C
到达点
E
时大约为10时41分.
E
