(共26张PPT)
18.1.1
平行四边形的性质
课时1
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
学习目标
1.掌握平行四边形的概念.
2.探索并熟练运用平行四边形的性质.
课堂导入
这些生活中常见的平行四边形，你有注意到吗？
课堂导入
这些生活中常见的平行四边形，你有注意到吗？
新知探究
知识点1：平行四边形的概念
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
表示方法
如图所示，平行四边形用“
”表示，平行四边形ABCD记作“
ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
表示平行四边形时，一定要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
新知探究
平行四边形的定义既是性质，又是判定：由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；由定义可以得到只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
∵
∵
四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD
AD∥BC
∴
A
B
C
D
四边形ABCD是平行四边形
∴
根据平行四边形的定义，图中共有9个平行四边形
.
如图，在
ABCD中，EF//AB，GH//AD
,
EF
与GH
交于点O，则图中平行四边形共有（
）.
A.7个
B.8个
C.9个
D.11个
跟踪训练
A
B
C
D
E
G
H
O
F
C
解析：由在
ABCD中，EF//AB，GH
//AD
可知，EF//AB//CD，
GH
//AD//BC.
新知探究
知识点2：平行四边形的性质
A
B
C
D
探究
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？
度量一下，和你的猜想一致吗？
新知探究
A
B
C
D
探究
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
猜想:对边相等，对角相等.
新知探究
A
B
C
D
如图，已知平行四边形ABCD，其中AB
//
CD，AD
//
BC，
求证：
AB=CD，AD
=
BC，∠ABC=
∠ADC，
∠BAD=
∠BCD.
分析：构造三角形，利用全等三角形的性质来得到对应边相等，对应角相等.在平行四边形中，连接任意一条对角线即可分成两个三角形.
新知探究
证明：如图所示，连接AC.
A
B
C
D
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
∵
AB
//
CD，AD
//
BC
∴
∠1=∠4，
∠2=∠3.
又
AC是△ABC
和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD，
AD=BC，
∠B=
∠D.
∵
∠BAD=
∠1+∠2，
∠BCD
=
∠3+∠4，
∴
∠BAD=
∠BCD.
新知探究
A
B
C
D
性质1
平行四边形的对边相等.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AB=CD.
性质2
平行四边形的对角相等.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠A=
∠C
，
∠B=
∠D.
A
B
C
D
新知探究
例1
如图，在
ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为
E，F.
求证：AE=CF.
证明：
∵四边形ABCD
是平行四边形
∴
∠A=
∠C
，
AD=CB
∵
DE⊥AB，BF⊥CD
∴
∠AED=∠CFB=90?
∵
在△ADE和△CBF中，
∠A=
∠C
，
∠AED=∠CFB，AD=CB.
∴△ADE≌△CBF
(AAS)，
∴
AE=CF.
新知探究
探究
如图，在
ABCD中，连接AC、BD，并设它们相交于点
O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
A
B
C
D
O
猜想：在
ABCD中，
OA=OC，OB=OD
你能试着证明一下吗？
如图，在
ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：
OA=OC，OB=OD
.
A
B
C
D
O
证明：
∵四边形ABCD
是平行四边形
∴
AD//CB，
AD=CB
∵
AD//CB
∴∠DAO=∠BCO，
∠ADO=∠CBO
∵
在△ADO
和△CBO
中，
∠DAO=∠BCO，AD=CB
∠ADO=∠CBO
∴
△ADO
≌△CBO
(ASA)，
OA=OC，OB=OD.
新知探究
性质3
平行四边形的对角线互相平分.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.
新知探究
A
B
C
D
O
新知探究
例2
如图，在
ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC、CD、AC、OA的长，以及
ABCD的面积.
解：
∵四边形ABCD
是平行四边形
∴
BC=AD=8，CD=AB=10
∵
AC⊥BC
∴△ABC是直角三角形
根据勾股定理得：AC=
又OA=OC
∴OA=AC=3
∴平行四边形ABCD的面积=BC·AC=8×6=48.
如图，在
ABCD
中，已知
AD=5，CD=7，求它的周长.
跟踪训练
A
B
C
D
解：
∵四边形ABCD
是平行四边形
∴
AD=BC，AB=CD
∵
AD=5，CD=7
∴
BC=5，AB=7
∴
ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=24.
随堂练习
1.如图，在
ABCD中，E，F是直线BD上的两点，且DE=BF，求证：AE=CF.
证明：
∵四边形ABCD
是平行四边形
∴
∠ADB=
∠CBD
，
AD=CB
∵
E，F是直线BD上的两点
∴
∠ADE=180?-∠ADB，∠CBF=180?-∠CBD，
∴∠ADE=
∠CBF
A
E
B
C
F
D
∵
在△ADE和△CBF中，DE=BF，∠ADE=∠CBF，AD=CB.
∴△ADE≌△CBF
(SAS)，
AE=CF.
随堂练习
2.在
ABCD中，∠A=38?，求其余各内角的度数.
∴∠C=∠A=38?
∵
AD//CB
∴∠B=∠D=180?-38?=142?
∴∠B、
∠C
、∠D的度数分别为142?、
38?、
142?.
解：
∵在
ABCD中，∠A=38?
随堂练习
3.
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
O
E
F
证明：
∵四边形ABCD
是平行四边形
∴
OA=OC，
AB//CD
∴∠EAO=∠FCO
∵
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO
，OA=OC，∠AOE=∠COF.
∴△ADE≌△CBF
(ASA)，
OE=OF.
课堂小结
平行四边形的性质
概念
性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
①对边相等
②对角相等
③对角线互相平分
拓展提升
1.
在
ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（
）.
A
.
AB//CD
B.
OA=OC
C.
∠ABC+∠BCD=180?
D.
AB=BC
A
B
C
D
O
D
对边平行
对角线互相平分
邻角互补
拓展提升
2.在
ABCD中，E、F是AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF.
A
B
C
D
E
F
∴∠BAE=∠DCF
∵在△ABE
和△CDF中，AB=CD，
∠BAE=∠DCF，
AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
BE=DF
证明：
∵在
ABCD中，AB//CD
拓展提升
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AD
6
∴BC
AD6，
∵
AC⊥BC，
AB=10
∴
∴
∴
BD
2OB
3.
在
ABCD中，AB=10，
AD=6，AC⊥BC，则
BD
的长
为多少？
课后作业
请完成课本后习题第1题。(共27张PPT)
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
18.1.1
平行四边形的性质
课时2
知识回顾
平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
表示方法
如图所示，平行四边形用“
”表示，平行四边形ABCD记作“
ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
A
B
C
D
A
B
C
D
性质1
平行四边形的对边相等.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
知识回顾
性质2
平行四边形的对角相等.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠A=
∠C
，
∠B=
∠D.
性质3
平行四边形的对角线互相平分.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.
A
B
C
D
O
知识回顾
知识回顾
●
●
两点间的距离：连结两点的线段的长度.
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
●
┐
学习目标
1.理解两条平行线之间的距离的概念.
2.能熟练运用平行线之间的距离的概念去解题.
课堂导入
思考
如图，a//b，在直线a上任意取两点A、B，然后分别量出点A、B到直线b的距离，通过比较长度，我们能得到什么结论？
通过测量：AC=BD
a
b
A
B
┐
┐
C
D
如果另取其他点，结论还成立吗？
新知探究
知识点：两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
数学语言：a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，
线段AB的长就是a、b之间的距离.
a
b
A
┐
B
新知探究
距离
两点间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
区别
联系
连接两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指某一条线段的长度
新知探究
如图，直线l1
//
l2
，A，B是直线
l1上任意两点，AC⊥l2，BD⊥l2，垂足分别为C、D，求证：AC=BD.
证明：∵
AC⊥CD，
BD⊥CD.
∴∠1=∠2=90?
∴
AC//BD
∵
AC//BD
，
AB//CD
∴
四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.
l1
l2
A
B
┐
┐
C
D
1
2
新知探究
性质
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
数学语言
如图所示，A、C是直线l1上的任意两点.
l1
l2
A
B
┐
┐
C
D
∵
l1
//
l2
，AB⊥
l2
，CD⊥
l2
，
∴
AB=CD.
思考
如图，a//b，c//d，c、d与a、b分别相交于点A、B、C、D四点，那么由平行四边形的性质，我们能得到什么结论？
a
b
c
d
A
B
C
D
∵
a//b，c
//d
∴
AB
//CD，AD
//BC
∴
四边形ABCD是平行四边形，AB=CD.
新知探究
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
新知探究
（1）因为平行线间的距离处处相等，所以在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.
（2）平行四边形的面积=底高=ah（其中a是平行四边形一条边的长度，h是这条边上的高）.
1.如图，已知AD//BC，判断S△ABC和S△DBC是否相等，并说明理由.
跟踪训练
A
B
C
D
解：由图可知，△ABC
和△DBC
有一条公共边BC
∵
AD//BC
∴
点D、点A到BC的距离相等
∴
△ABC
和△DBC
同底等高，面积相等.
2.
如图，a//b，AB//CD，FG⊥b，CE⊥b，下列说法不正确的是（
）.
跟踪训练
A.AB=CD
B.EC=FG
C.AB=FG
D.a、b之间的距离就是CE的长度
C
A
B
C
D
E
F
G
┐
┐
a
b
1.已知直线a//b，点B、C、D是直线a上的三点，点A是直线b上一点，且AB=8、AC=5、AD=4，则两直线之间的距离（
）.
A.等于4
B.小于4
C.不小于4
D.不大于4
b
A
a
C
B
D
B
解析：点A到直线a的距离是点A与直线a上任意一点构成的线段中最短的.
随堂练习
随堂练习
2.如图，直线
AE//BD，点
C
在
BD上，若AE=5，BD=6，三角形ABD的面积为18，则三角形ACE的面积为
.
解：设直线AE与直线BD之间的距离为h.
所以.
A
B
C
D
E
15
随堂练习
3.设直线a、b、c是三条平行直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为6cm，求a与c的距离.
解：因为要考虑c的位置，所以要分情况讨论.
a
c
b
①如图所示：直线c在直线b的右侧时，a与c的距离是6+4=10cm.
随堂练习
3.设直线a、b、c是三条平行直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为6cm，求a与c的距离.
a
c
b
②如图所示：直线c在直线a的左侧时，a与c的距离是6-4=2cm.
所以a与c的距离是2cm或10cm.
随堂练习
4.如图所示，a//b，在直线a、b上各取一点A、B，连接AB，过点A可以向直线b作多少条线段？其中垂线段AC的垂足为C，则AC与AB的长度关系是什么？
解：过点A可以向直线b作无数条线段，其中垂线段AC最短，所以AC
a
A
b
B
C
课堂小结
两条平行线之间的距离
概念
性质
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
拓展提升
1.如图，已知a//b，三角形ABC的面积为5，BC=EF，则三角形DEF的面积为（
）.
A.4
B.5
C.6
D.7
a
A
b
C
B
D
E
F
B
解：点A和点D到直线b的距离相等，又因为BC=EF，所以三角形ABC的面积和三角形DEF的面积相等.
2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90?，AB=4
，
BC
>AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是
.
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE//CD.由平行线间的距离处处相等，且垂线段最短可知，当DE⊥BC时，DE的值最小，此时DE=AB=4.
4
拓展提升
拓展提升
3.把直线
a
沿着水平方向平移4
cm，平移后的图形为直线
b，则直线
a
与直线
b
之间的距离（
）.
A.等于4
cm
B.小于4
cm
C.大于4
cm
D.小于或等于4
cm
本题易出现两方面的错误：（1）只考虑到直线与水平方向垂直的情况；（2）混淆平移距离与平行线间的距离这两个概念.
拓展提升
┐
┐
a
b
4
cm
（1）当直线
a
与水平方向垂直时，直线
a
与直线
b
之间的距离为4
cm.
分两种情况：
拓展提升
（2）当直线
a
与水平方向不垂直时，直线
a
与直线
b之间的距离小于4
cm.
a
b
4
cm
┐
课后作业
请完成课本后习题第2、3题。