(共25张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
课时1
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
如图：∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识回顾
平行四边形的性质有哪些？
A
B
C
D
对边相等
对角线互相平分
对角相等
O
学习目标
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
课堂导入
思考
请写出平行四边形对边相等的逆命题.
这个逆命题是真命题吗？
如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边相等.
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
新知探究
知识点：平行四边形的判定
A
B
C
D
平行四边形的判定1（定义法）：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
数学语言：
∵
AB//CD、AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
还有什么判定方法呢？
新知探究
例
已知四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC
∵在△ABC
和△CDA中，AB=CD，
AD=CB，AC=CA
∴△ABC≌△CDA，∠1=∠3，∠2=∠4
A
B
C
D
1
4
2
3
∵
∠1=∠3，∠2=∠4
，
∴
AB//CD
，
AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知探究
平行四边形的判定2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
数学语言：
∵
AB=CD、AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
通过以上例题，你能总结出什么判定方法呢？
1.正确填写下列空格.
跟踪训练
（1）若AB//CD，补充
，使得四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
（2）若AB=CD，补充
，使得四边形ABCD是平行四边形.
AD//BC
AD=BC
2.
将两个含有30°角的直角三角板按如图所示摆放，则四边形ABCD是平行四边形，请说明理由.
跟踪训练
A
B
C
D
30?
30?
解：∵
∠ADB=∠CBD=30?
∴
AD//BC
∵
∠ABD=∠CDB=90?
∴
AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形
1.如图，
在四边形ABCD中，
∠1=∠2，
∠3=∠4，求证：四边形ABCD是平行四边形.
随堂练习
A
B
C
D
1
3
2
4
证明：
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴
AB//CD
，
AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
随堂练习
2.如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，BF=DE，求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
F
E
证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵BF=DE，
∴BD-BF=BD-DE，即DF=BE，
在△ADE和△CBF中，
随堂练习
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AD=BC，
A
B
C
D
F
E
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
随堂练习
3.如图，在三角形ABC中，
AB=AC，点D是BC上任意一点，DE平行AC交AB于点E，
DF平行AB交AC于点F.
求证：DE+DF=AC.
证明：∵DE//AC
，
DF//AB
∴四边形AEDF是平行四边形，DE=AF
A
B
C
D
E
F
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵DF//AB
∴∠B=∠FDC
∵∠C=∠FDC
∴DF=CF
∵DE=AF，DF=CF
∴
DE+DF=AF+CF=AC
随堂练习
4.如图，在平行四边形ABCD中，
BE=DF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，
∠B=∠D
∵在△ABE
和△CDF
中
AB=CD，
∠B=∠D，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∠AEB=∠CFD
A
B
C
D
E
F
随堂练习
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE//CF
∴四边形AECF是平行四边形
A
B
C
D
E
F
∴AD//BC，
∠CFD=∠FCB
∴∠AEB=∠FCB
∵
AE//CF
AF//CE
课堂小结
平行四边形的判定
判定1
判定2
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
拓展提升
1.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
解析：根据已知条件可得两个直角三角形全等，进而得到结论AB=CD，通过“两组对边相等”
判定该四边形是平行四边形.
A
B
C
D
拓展提升
证明：在
Rt△ABC
和
Rt△CDA
中
A
B
C
D
∴
Rt△ABC≌Rt△CDA
∴
AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
拓展提升
2.如图，在Rt△MON中，∠MNO=90?，PN=5，MN=4，MO-ON=2，PM+MO=8.
求证：四边形PMON是平行四边形.
解析：根据题目中的已知条件和勾股定理可以求出四边形四边的长度，由“两组对边分别相等”判断该四边形是平行四边形.
M
N
O
P
┐
拓展提升
证明：
∵在Rt△MON中，∠MNO=90?，
∴
∴
∵
∴PM=3
∵PN=MO
∴四边形PMON是平行四边形
M
N
O
P
┐
拓展提升
3.
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ACD，等边△ABE，等边△BCF.
试说明四边形ADFE是平行四边形.
解析：根据等边三角形的性质和三角形的全等得出四边形ADFE的两组对边相等，进而判定是平行四边形.
拓展提升
解：
∵
△BCF，△ABE都是等边三角形
∴∠EBF+∠FBA=∠FBA+∠ABC=60
?
，∴∠EBF=∠ABC
∵
EB=AB，∠EBF=∠ABC，BF=BC
∴△ABC≌△EBF，EF=AC
∵
△ACD是等边三角形
∴
AC=AD，EF=AD
拓展提升
同理可得：△ABC≌△DFC，AB=DF
∵△ABE是等边三角形
∴
AB=AE，DF=AE
∵
EF=AD，DF=AE
∴四边形ADFE为平行四边形
课后作业
请完成课本后练习第1题。(共27张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
课时4
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
平行四边形的判定4
对角线互相平分的四边形是平行四
边形.
数学语言
∵
OA=OC、OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
O
知识回顾
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，EF与BD相交于点O，
OE=OF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
D
C
B
E
F
O
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
OB=OD
∴四边形BFDE是平行四边形
∵
OE=OF
学习目标
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
课堂导入
思考
取两根长度相等的木棍，将它们平行放置，再用两根木棍将其固定，得到的四边形是平行四边形吗？
你能证明这个猜想吗？
猜想:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
新知探究
例
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD
是平行四边形.
A
B
C
D
证明：连接AC
∵
AB//CD
∴∠1=∠2
又
AB=CD，AC=CA
∴
△ABC≌△CDA，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵
AB=CD
BC=AD
方法一：两组对边相等
1
2
知识点：平行四边形的判定
新知探究
证明：连接AC
∵
AB//CD
∴∠1=∠2
∵
AB=CD，∠1=∠2，AC=CA
∴
△ABC≌△CDA，
∠ACB=∠CAD
∴四边形ABCD是平行四边形
∴
AD//BC
又∵
AB//CD
例
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
1
2
方法二：两组对边平行
新知探究
平行四边形的判定5：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
数学语言：
∵
AB//CD，AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形
新知探究
例4
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB=CD，
EB//FD
∵
E、F分别是AB、CD的中点
∴
EB
∴
EB=FD
∴四边形EBFD是平行四边形
新知探究
不一定，如等腰梯形，其中AD//BC，AB=CD.
思考
一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果不是，请举例说明.
A
B
C
D
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（
）.
跟踪训练
A.一组对边相等.
B.一组对边平行.
C.一组对边平行且相等.
D.一组对边平行，另外一组对边相等.
C
2.
如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AF=CE.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
跟踪训练
A
B
C
D
E
F
证明：
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
AD=BC，
AD//BD
∵
AF=CE
∴
DF=AD-AF，BE=BC-CE
∴
DF=BE，
DF//BE
∴四边形DEBF是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
随堂练习
A
B
C
D
一组对边平行且相等
两组对边分别平行
∠B+∠C=180°
∠B+∠A=180°
AD//BC
B
随堂练习
2.如图，在四边形ABCD中，对角线
AC、BD
相交于点
O，OA=OC.
BA⊥AC，DC⊥AC.
求证：四边形
ABCD
是平行四边形.
解析：通过两个垂直可以得到
AB//CD，通过三角形的全等能得到
AB=CD
.
A
C
D
B
┐
┐
O
随堂练习
证明：∵
BA⊥AC，DC⊥AC
∴∠BAC=∠DCA=90?
∴
△AOB≌△COD，AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵在△AOB和△COD中，∠BAC=∠DCA，OA=OC，
∠AOB=∠COD
∵∠BAC=∠DCA=90?
∴
AB//CD
A
C
D
B
┐
┐
O
3.如图，在平行四边形ABCD中，E、F
分别是AB、CD的中点.求证：EF//AD//BC.
随堂练习
B
C
A
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∵
E、F分别是AB、CD的中点
∴AE=DF，AE//DF
∴四边形AEFD是平行四边形
∴
AD//EF
∵
AD//BC
∴
EF//AD//BC
4.如图，四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形BCFE是平行四边形.
随堂练习
B
C
A
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∵四边形AEFD是平行四边形
∴AD=EF，AD//EF
∴BC=EF，BC//EF
∴四边形BCFE是平行四边形
课堂小结
平行四边形的判定
判定5
数学
语言
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵
AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
拓展提升
1.如图，在四边形
BFDE
中，四边形
ABCD
是平行四边形，AE=CF.
求证：四边形
BFDE
是平行四边形.
A
B
F
E
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∵AE=CF，BE=AE+AB，
DF=CF+CD
∴
BE=DF
∵
AB//CD
∴
BE//DF
∴
四边形BFDE是平行四边形
拓展提升
2.如图，已知BE//DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.
求证：四边形DEBF
是平行四边形.
证明：
∵
BE//DF
∴
∠AFD=∠CEB
又
∠ADF=∠CBE，
AF=CE
∴△ADF≌△CBE，DF=BE
∴
四边形
DEBF
是平行四边形
A
D
E
B
F
C
又
BE//DF
本题源自《教材帮》
拓展提升
因混淆平行四边形的判定条件而出错
本题利用已知条件证明△ADE≌△CBF，得到DE=BF，然后直接由已知条件“BE//DF”得四边形DEBF是平行四边形.这里混淆了平行四边形的判定条件，误以为只要四边形有一组对边平行，一组对边相等便是平行四边形.
拓展提升
3.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE、DF于点G、H.
求证：AG=CH.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠ADF=∠CFH，
∠EAG=∠FCH
∵E、F分别为边AD、BC的中点
∴
∴DE//BF，
DE=BF
拓展提升
∴
BE//DF
∴四边形BFDE是平行四边形
∴∠AEG=∠ADF
∵在△AEG和△CFH中，
∠AEG=∠CFH，
AE=CF，
∠EAG=∠FCH
∴
△AEG≌△CFH
∴
AG=CH
∴∠AEG=∠CFH
∵∠ADF=∠CFH
A
B
C
D
E
F
G
H
课后作业
请完成课本后习题第47页第4题。(共26张PPT)
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
18.1.2
平行四边形的判定
课时2
知识回顾
A
B
C
D
平行四边形的判定1（定义法）：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
数学语言：
∵
AB//CD、AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
知识回顾
平行四边形的判定2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
数学语言：
∵
AB=CD、AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
学习目标
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
课堂导入
思考
请写出平行四边形对角相等的逆命题.
这个逆命题是真命题吗？
如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对角相等.
如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
新知探究
知识点：平行四边形的判定
例
已知四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D=360
?
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴2∠A+2∠B=360
?，即∠A+∠B=180
?
∴AD//BC
同理可得
AB//CD
新知探究
平行四边形的判定3：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
数学语言：
∵
∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
通过以上例题，你能总结出什么判定方法呢？
1.请在下列空格处填写一个与角度有关的条件.
跟踪训练
（1）若∠A=∠C，补充
，使得四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
（2）若AB//CD，补充
，使得四边形ABCD是平行四边形.
∠B=∠D
∠A+∠B=180?或∠C+∠D=180?
2.
下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
）.
A.
∠A+∠B=180?,∠C+∠D=180?
B.
∠A=∠B=∠C=∠D=90?
C.
∠A=∠C，∠B=∠D
D.
∠A+∠B=180?,∠B+∠C=180?
跟踪训练
A
A
B
C
D
随堂练习
1.一个四边形
ABCD
的三个内角∠A
、∠B
、∠C
的度数依次如下，其中可以判定是平行四边形的是（
）.
A.
80
?，100
?，100
?
B.
40
?，140
?，40
?
C.
40
?，40
?，140
?
D.
80
?，80
?，100
?
B
2.
顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种
?
B．4种
?
C．3种
?
D．1种
随堂练习
A
B
C
D
解：当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形.
C
3.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线.
求证：四边形AFCE是平行四边形.
随堂练习
D
C
B
A
E
F
解析：利用平行四边形的性质和角平分线的性质，找到相等的角和相等的边.通过“两组对角分别相等”
来证明该四边形是平行四边形.
随堂练习
证明：
∵
AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，∠DCF=∠BCF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DAB=∠BCD，则∠DCF=∠BCF=∠BAE=∠DAE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D
D
C
B
A
E
F
随堂练习
∵
在△ABE
和△CDF中，
∠B=∠D，
∠BAE=∠DCF
∠DFC=180?-∠DCF-∠D，∠BEA=180?-∠BAE-∠B
∴∠DFC=∠BEA，则∠AFC=∠CEA
∴四边形AFCE是平行四边形
∵
∠ECF=∠FAE，∠AFC=∠CEA
D
C
B
A
E
F
课堂小结
平行四边形的判定
判定3
数学
语言
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵
∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
拓展提升
1.四边形ABCD中，
∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比如下，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
）.
A
B
C
D
A.
1：2：3：4
B.
2：3：2：3
C.
2：2：3：3
D.
1：2：3：3
B
拓展提升
A.
x+2x+3x+4x=360?，解得：x=36?，度数为36?、
72?、108?、144?.
B.
2x+3x+2x+3x=360?，解得：x=36?，度数为72?、
108?、72?、108?.
设单位度数为
x
.
拓展提升
C.
2x+2x+3x+3x=360?，解得：x=36?，度数为36?、
36?、108?、108?.
D.
x+2x+3x+3x=360?，解得：x=40?，度数为40?、
80?、120?、120?.
设单位度数为
x
.
拓展提升
2.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=55?，∠1=85?，
∠2=40?.
（1）求∠A的度数；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：（1）∵∠A+∠1+∠2=180°
∴∠A=180°-∠1-∠2=180°-85°-40°=55°
2
1
D
A
C
B
拓展提升
（2）证明：∵AB//DC
∴∠ABC+∠C=180°，∠ADC+∠A=180°，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=∠C=55°
∴∠ABC=∠ADC
2
1
D
A
C
B
拓展提升
3.如图，E是
ABCD
的边
AD
延长线上一点，连接BE、CE、BD、BE
交
CD
于点
F.
添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（
）.
A.∠ABD=∠DCE
B.DF=CF
C.∠AEB=∠BCD
D.∠AEC=∠CBD
A
C
D
B
E
F
拓展提升
A.∠ABD=∠DCE
正确
∵四边形ABCD是平行四边形
A
C
D
B
E
F
∴
AB//DC，AD//BC
∴
DE//BC，
∠ABD=∠CDB
∵∠ABD=∠DCE
∴∠CDB=∠DCE
∴
BD//CE，四边形BCED是平行四边形
拓展提升
B.DF=CF
正确
∵DE//BC
∴∠DEF=∠CBF
在△DEF
和△CBF
中，
∵∠DEF=∠CBF，
∠DFE=∠CFB，DF=CF
∴
△DEF≌△CBF
∴
EF=BF
∵DF=CF
∴四边形BCED是平行四边形
A
C
D
B
E
F
拓展提升
C.∠AEB=∠BCD
错误
A
C
D
B
E
F
∵
AE//BC
∴
∠AEB=∠CBF
∵∠AEB=∠BCD
∴∠CBF=∠BCD
∴
不能判定四边形BCED是平行四边形
∴
CF=BF，同理EF=DF
拓展提升
A
C
D
B
E
F
∵
AE//BC
∴
∠DEC+∠BCE=
∠EDB+∠DBC=180?
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BDE=∠BCE
∴
四边形BCED是平行四边形
D.
∠AEC=∠CBD
正确
课后作业
请完成课本后习题第50页第9题。(共29张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
课时5
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
三角形的中线
连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段.
一个三角形有三条中线，中线交于一点，称为重心.
学习目标
1.掌握三角形中位线的定义和三角形中位线的定理.
2.能熟练运用三角形中位线的定理.
课堂导入
思考
你能将一块三角形蛋糕分成大小相等、形状相同的四块吗？
一起来学习本节课的内容，寻找“分蛋糕”的方法吧！
新知探究
知识点1：三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图，在△ABC中，点D、E
分别为AB、AC
边上的中点，连接DE，则DE即为△ABC
的一条中位线.
A
B
C
D
E
新知探究
思考1
一个三角形有几条中位线？
三条中位线
思考2
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段；中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.
新知探究
思考3
如图，DE是三角形ABC的中位线，观测一下DE与BC之间有什么数量、位置关系？
A
B
C
D
E
DE//BC
再任意画个三角形，观测一下看看能得到什么结果.
新知探究
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
你能对它进行证明吗？
知识点2：三角形中位线的定理
新知探究
如图，D、E
分别是△ABC
的边
AB、AC
的中点.
求证：DE//BC，且DE=BC.
A
B
C
D
E
角相等
平行
四边形
线段
平行
线段相等
一条线段是另外一条线段的一半
倍长法
新知探究
证明：如图，延长
DE
到点
F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵
AE=CE，DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形，AD=CF，AD//CF
A
B
C
D
E
F
∴
BD=CF，BD//CF
∴四边形DBCF是平行四边形，BC=DF，BC//DF
又
∴
DE//BC，且DE=BC
方法一
新知探究
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=EF，连接FC.
∵
点E是△ABC的边AC的中点
∴AE=CE
A
B
C
D
E
F
∵
AE=CE
，∠AED=∠CEF，DE=EF
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴∠ADE=∠CFE
∴AD=CF，AD//CF
∴
BD=CF，BD//CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF=BC，DF//BC
∵
DE=EF
∴DE//BC，且DE=BC
方法二
新知探究
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
∵
如图，在△ABC中，DE是中位线.
A
B
C
D
E
∴DE//BC.
现在你能将一个三角形分成四个面积相等的小三角形吗？
新知探究
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都是原三角形周长的，每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
1.如图，在△ABC中，DE是中位线.
跟踪训练
(1)若∠AED=60?，
∠A=50?
，则∠C=
,
∠B=
.
A
B
C
D
E
(2)若DE=3，
则BC=
.
60?
70?
6
2.
如图，已知
D、E、F
分别是边
AB、BC、AC
上的中点，求证：四边形
DECF
是平行四边形.
跟踪训练
D
A
B
C
E
F
证明：
∵
D、E、F分别是边
AB、BC、AC
上的中点
∴
DE、DF是△ABC的中位线
∴
∴四边形
DECF
是平行四边形
随堂练习
1.如图，D、E分别是三角形
ABC
的边AB、AC的中点：
A
B
C
D
E
(1)若DE=5，则BC=
.
(2)若∠B=65?，则∠ADE=
.
(3)若DE+BC=15，则BC=
.
10
65?
10
2.如图，A、B两点被池塘隔开，在
A、B
外另选一点C，连接AC
和BC.
怎样测出A、B两点间的距离？根据是什么？
随堂练习
A
B
C
解析：A、B、C三点可以构造一个三角形，不能直接测量出A、B间的距离，但是可以利用三角形中位线定理，构造三角形ABC的中位线来求A、B的距离.
解：分别作出AC、BC边上的中点D、E，连接DE.
随堂练习
D
E
测量出DE的长度，则AB之间的距离是2DE.
在△ABC中，DE是中位线，
所以DE//AB，且DE=AB.
A
B
C
根据：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
随堂练习
3.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，其中AB=10cm、BC=8cm、AC=10cm.
求△DEF
的周长.
解析：由题意可知DE、EF、DF是△ABC的三条中位线，利用三角形中位线定理可以求出DE、EF、DF的长度.
D
A
B
C
E
F
随堂练习
解：
∵
D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点
D
A
B
C
E
F
∴
DE、EF、DF是△ABC的三条中位线
∴
△DEF
的周长=DE+EF+DF=14cm
∴
DE=AC=5cm，EF=AB=5cm，DF=
BC=4cm
∵AB=10cm，BC=8cm，AC=10cm
课堂小结
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
拓展提升
1.如图，
ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE
的周长为（
）.
A.15
B.18
C.21
D.24
A
C
D
B
O
E
拓展提升
∴OE是△DBC的中位线，△DOE的周长是△DBC周长的一半
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD
解析：∵点O是
ABCD
对角线的交点，E是CD的中点
∴
△DBC的周长为
BC+CD+BD=18+12=30
∴
△DOE的周长为15
又
ABCD的周长为36
∴BC+CD=18
拓展提升
2.
如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（
）
A.
12
B.
14
C.
24
D.
21
拓展提升
在有公共边的三角形中运用中位线定理
实现等线段转化
本题中△ABD和△ACD有公共边AD，△ABC和△BCD有公共边BC，此时运用中位线定理可将四边形EFGH的周长转化为线段AD和BC的和，从而将待求结论和已知条件联系起来，实现题设条件的有效转化.
拓展提升
∴
解：BD⊥CD，BD=4，CD=3
E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点
∴
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=AD+BC
AD=7，BC=5
∴四边形EFGH的周长=12
拓展提升
3.如图，在四边形ABCD中，E、
F、
G、
H分别是边AB、
BC、
CD、
DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
D
E
F
G
H
对角线——多边形的分割器
先由中点联想到连接四边形的一条对角线，再利用三角形的中位线定理解答.
拓展提升
证明：连接AC
∴EF//AC，且EF=AC
∴四边形EFGH是平行四边形
C
A
B
D
E
F
G
H
∴HG//AC，且HG=AC
且EF=HG
课后作业
请完成课本后练习第49页第1题。(共24张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
课时3
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
A
B
C
D
判定1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
数学语言
∵
AB//CD、AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形？
判定2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
数学语言
∵
AB=CD、AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
判定3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
数学语言
∵
∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
学习目标
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
课堂导入
思考
如图，将两根木条的中心重叠在一起，用小钢钉固定住，然后用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形.
猜一猜，这个四边形是平行四边形吗？你能证明吗？
新知探究
知识点：平行四边形的判定
例
如图，在四边形
ABCD
中，AC，BD
相交于点
O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形
ABCD
是平行四边形.
A
B
C
D
O
解析：根据题意，有相等的边和相等的角，所以利用全等三角形和平行线的判定来证明.
新知探究
证明：∵
OA=OC，∠AOD=∠COB，OB=OD
∴
四边形
ABCD
是平行四边形.
∴
△AOD
≌△COB
∴
∠OAD=∠OCB
∴
AD//BC，
同理可得
AB//DC
还有其他方法吗？
两组对边分别平行
A
B
C
D
O
新知探究
证明：∵
OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD
∴
四边形
ABCD
是平行四边形.
∴
△AOB≌△COD
∴
AB=CD
同理可得
AD=BC
两组对边分别相等
A
B
C
D
O
新知探究
∠BAD=∠DCB
∠ABC=∠CDA
请你试试用两组对角分别相等来证明此题结论成立.
A
B
C
D
O
新知探究
平行四边形的判定4：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
数学语言：
∵
OA=OC、OB=OD
∴
四边形ABCD是平行四边形
通过对上面例题的证明，你能得出什么判定方法呢？
A
B
C
D
O
新知探究
例3
如图，
ABCD
的对角线
AC、BD
相交于点
O，E、F是
AC上的两点，并且
AE=CF.
求证：四边形
BFDE
是平行四边形.
证明：∵
四边形
ABCD
是平行四边形
∴
AO=CO，
BO=DO
∵
AE=CF
∴
AO-AE=CO-CF，
即EO=FO
A
B
C
D
O
E
F
又
BO=DO
∴
四边形
BFDE
是平行四边形
1.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．
跟踪训练
A
B
C
O
D
4
2.如图，
在平行四边形
ABCD
中，EF
过对角线
BD
的中点
O.
求证：四边形
BFDE
是平行四边形.
跟踪训练
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形
∴OB=OD，AD//BC
∵
AD//BC
∴∠FDO=∠EBO
∵
∠FDO=∠EBO，OD=OB，
∠FOD=∠EOB
∴四边形
BFDE
是平行四边形
A
B
C
D
O
F
E
∴△FDO≌△EBO，OF=OE
随堂练习
1.如图，
E、F
是平行四边形
ABCD
的对角线
AC
上的两点，并且
BE//DF.
求证：四边形
BFDE
是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
解析：连接BD，利用三角形的全等来得到边、角之间的关系，进而证明该四边形是平行四边形.
随堂练习
A
B
C
D
O
E
F
证明：连接
BD，交
AC
于点
O
∵四边形
ABCD
是平行四边形
∴OA=OC，
OB=OD
∵BE//DF
∴∠EBO=∠FDO
∵在△EBO和△FDO中，∠EBO=∠FDO，OB=OD
∠EOB=∠FOD
∴△EBO≌△FDO(ASA)
，
EO=FO
∵EO=FO，BO=DO
∴四边形
BFDE
是平行四边形
2.如图，
平行四边形
ABCD
的对角线
AC、BD
相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.求证：四边形
EFGH
是平行四边形.
随堂练习
A
B
C
D
O
E
F
G
H
解析：根据题意可知，
OA=OC、OB=OD，利用中点的性质，可以得到OE=OG、OF=OH.
随堂练习
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形
∴OA=OC，
OB=OD
∵
E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点
∴OE=OG，
OF=OH
∴四边形
EFGH
是平行四边形
A
B
C
D
O
E
F
G
H
随堂练习
3.如图，O
是
ABCD
对角线
AC
的中点，过点
O
的直线ME、NF
分别交
ABCD的边于点M、E、N、F.
求证：MN//FE且MN=FE.
A
B
C
D
O
F
M
N
E
解析：根据题意，可以利用平行四边形对角线的性质和全等三角形来证明四边形
MNEF
是平行四边形.
随堂练习
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB//DC
∴∠MAO=∠ECO，∠AMO=∠CEO
∴四边形
MNEF
是平行四边形
又O是
AC
的中点
∴
AO=CO
∴△AMO≌△CEO，MO=EO
同理可得
NO=FO
∴
MN//FE
且
MN=FE
A
B
C
D
O
F
M
N
E
课堂小结
平行四边形的判定
判定4
数学
语言
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵
OA=OC、OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
拓展提升
D
A
B
C
证明：连接BD交AC于点O，
则∠DON
=∠BOM，OD=OB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠OND
=∠OMB
=
90°，
∴△DON≌△BOM，∴ON=OM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
1.如图所示，AC是
ABCD的一条对角线，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，求证：四边形BMDN是平行四边形.
O
M
N
拓展提升
2.如图，点
D
为三角形
ABC
的边
AB上一点，DF
交
AC
于点E，且
AE=CE，FC//AB.
求证：四边形
ADCF
是平行四边形.
解：
∵FC//AB
∴∠ADE=∠CFE
A
D
C
F
E
B
∵AE=CE，
DE=FE
∴四边形ADCF是平行四边形
∵
在△ADE和△CFE中，
∠ADE=∠CFE
，
∠AED=∠CEF，AE=CE
∴△ADE≌△CFE
∴DE=FE
拓展提升
3.如图，已知
E，F
是四边形
ABCD
的对角线
BD
的三等分点，CE，CF
的延长线分别平分
AB，AD.
求证：四边形
ABCD
是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
证明：连接AC交BD于点O，连接AE，AF
∵点G是AB的中点，BE=EF
∴GE是△ABF的一条中位线，
∴GE∥AF，即CE∥AF，
拓展提升
同理可得
CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴OA=OC，OE=OF，
又∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
课后作业
请完成课本后习题第47页第2题。
