(共26张PPT)
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
18.2.1
矩形
课时2
知识回顾
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
轴对称图形，有两条对称轴
矩形的性质有哪些？
对边平行且相等
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定办法.
2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明.
课堂导入
工人师傅在做门窗或矩形零件时，为保证图形是矩形，要进行很多测量，你能想到什么方法帮助工人师傅测量吗？
新知探究
知识点：矩形的判定
数学语言：
在平行四边形ABCD中，
∵∠A=90?
∴平行四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
┐
通过上节课的学习，我们知道矩形的定义可以作为判定四边形是矩形的方法，即：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
除了根据定义判定以外，还有其他方法吗？
新知探究
思考
我们知道，矩形的对角线相等.
反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
A
B
D
C
┐
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，
AB//CD
新知探究
∵在△ABC
和△DCB
中，
AB=CD，
AC=BD，BC为公共边
∴△ABC≌△DCB，∠ABC=∠DCB
A
B
D
C
∵
AB//CD
∴
∠ABC+∠DCB=180?
∴
∠ABC=∠DCB=90?
又四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
新知探究
数学语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
判定：对角线相等的平行四边形是矩形.
例2
如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC、BD
相交
于点O，且
OA=OD，∠OAD=50?.
求
∠OAB
的度数.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD
又OA=OD
∴
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=90?
新知探究
A
D
B
C
O
又∠OAD=50?
∴
∠OAB=40?
思考
我们知道，矩形的四个角都是直角，那么反过来说“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？
┐
┐
┐
┐
┐
┐
×
×
√
新知探究
至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？
┐
┐
┐
┐
成立
一个角是直角
两个角是直角
三个角是直角
你能证明吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90?.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵
∠A=∠B=90?，
∠A+∠B=180?
∴
AD//BC
∵
∠B=∠C=90?，
∠B+∠C=180?
∴
AB//CD
∴
四边形ABCD是平行四边形
∵
∠A=90?
∴四边形ABCD是矩形
新知探究
A
B
D
C
┐
┐
┐
新知探究
数学语言：
在四边形ABCD中，
∵
∠A=∠B=∠C=90?
∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
┐
┐
┐
判定：有三个角是直角的四边形是矩形.
新知探究
判定方法
数学语言
图形
角
对角线
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形ABCD中，∵∠A=
∠B=∠C=90?∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
A
D
B
C
O
对角线相等的平行四边形是矩形.
在
ABCD中，
∵
AC=
BD
∴
ABCD是矩形
在
ABCD中，
∵∠A=
90?
∴
ABCD是矩形
1.判断下列语句的对错.
跟踪训练
（1）有一个角是直角的四边形是矩形.
（
）（2）四个角都相等的四边形是矩形.
（
）
（3）对角线相等的四边形是矩形.
（
）
（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
（
）
×
√
×
√
平行四边形
平行四边形
2.
已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（
）.
跟踪训练
A.
∠A=∠B
B.
∠A=∠C
C.
AC=BD
D.
AB⊥BC
B
A.
∵
∠A=∠B，
∠A+∠B=180?
∴∠A=∠B=90?
C.
∵AC=BD
∴对角线相等的平行四边形是矩形
D.
∵AB⊥BC
∴∠B=90?
可以判定
可以判定
可以判定
随堂练习
1.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△ABO是等边三角形.
求证：平行四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC=AC，OB=OD=BD
∵
△ABO是等边三角形
∴
OA=OB
∴
AC=BD
∴
平行四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
O
随堂练习
2.下列命题中，假命题的是（
）.
A.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
A
C.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
D.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
可能是直角梯形
随堂练习
3.已知，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，AC=13.求证：平行四边形ABCD是矩形.
证明：
∵
AB=5，BC=12，AC=13
∴，
∴平行四边形ABCD是矩形
∵
∴△ABC是直角三角形，∠B=90?
课堂小结
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
拓展提升
1.平行四边形ABCD中，AE，CG，BG，DE分别是四个内角的角平分线，求证：EFGH是矩形.
解析：由平行四边形的性质得出相邻两个内角互补，再由角平分线的性质得出EFGH的四个内角都是90?.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB//CD，AD//BC
∴
∠BAD+∠ABC=180?
∵
AE，BG分别是∠BAD，∠ABC的角平分线
拓展提升
∴
∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ABG=∠CBG=∠ABC
∵
∠BAD+∠ABC=∠180?
∴
∠BAE+∠ABG=
(∠BAD+∠ABC
)=90?
A
B
C
D
E
F
G
H
同理：
∠G=∠E=∠GFE=90?
∴四边形EFGH是矩形
拓展提升
∵
在△ABH中，∠BAE+∠ABG=90?
∴
∠BHA=180?-∠BAE-∠ABG=90?
∴
∠GHE=∠BHA=90?
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展提升
2.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵△DAF≌△CBE
∴∠DAF=∠CBE，AD=BC
A
B
D
C
O
E
F
又
AD//BC
∴四边形ABCD是矩形
∴∠DAF+∠CBE=180?
∴四边形ABCD是平行四边形
又
∠DAF=∠CBE，∴∠DAF=90?
拓展提升
3.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于点E，若AB=3，AE=，求证：四边形ABCD是矩形.
解析：由AB//CD得∠B+∠C=180?，然后由∠B=∠D得∠D+∠C=180?，AD//BC，证明出四边形ABCD是平行四边形.然后利用勾股定理可以得出∠B=90?，所以平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
E
拓展提升
证明：∵
AB//CD
∴∠B+∠C=180?
∵
∠B=∠D
∴∠C+∠D=180?，
AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE=∠AEB
∵
AE平分∠BAD
∴
∠BAE
=
∠DAE
=
∠AEB
∴
BE=AB=3
∵
AE=
∴
∴△ABE是直角三角形，∠B=90?
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
E
课后作业
请完成课本后习题第1、2题。(共31张PPT)
18.2.1
矩形
课时1
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
对边平行
对边相等
对角相等
对角线互相平分
平行四边形的性质有哪些？
学习目标
1.掌握矩形的概念，能比较与平行四边形的异同.
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决问题.
课堂导入
矩形是生活中常见的图形，你平时有注意到吗？
你还注意到生活中有哪些矩形？
课堂导入
课堂导入
我们知道平行四边形是特殊的四边形，它具有特殊的性质.
那么有没有特殊的平行四边形呢？如果有的话，它们又会具有什么样的特殊性质呢？
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
有一个角
是直角
新知探究
知识点1：矩形的定义及性质
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
┐
平行四边形
矩形
有一个角是直角
新知探究
矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
1.
矩形必须具备两个条件：
①是平行四边形；
②有一个角是直角.两个条件缺一不可.
2.
矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
新知探究
矩形还有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质呢？
矩形的一般性质（矩形具有平行四边形的所有性质）：
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
A
B
D
C
┐
O
思考1
有一个角是直角的平行四边形是矩形，那么矩形其他的内角都是多少呢？
A
B
D
C
┐
矩形ABCD中，
∠A
=
90?.
猜想：∠A
=∠B
=∠C
=∠D
=
90?.
新知探究
如图，矩形ABCD中，∠A=90?，求∠B、∠C、∠D
的度数.
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB//CD，
AD//BC
∵
∠A=90?
∴
∠D=90?,
∠B=90?
∴∠C=90?
新知探究
A
B
D
C
┐
思考2
平行四边形对角线互相平分，那么矩形的对角线有特殊的性质吗？
矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C
=∠D
=
90?.
猜想：AC=BD.
新知探究
A
B
D
C
┐
如图，矩形ABCD中，求证：
AC=BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90?，AD=BC
∵
AB是△DAB和△CBA的公共边
∴
△DAB≌△CBA(SAS)
∴
AC=BD.
新知探究
A
B
D
C
┐
新知探究
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
A
B
D
C
┐
是.它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线.
新知探究
性质
数学语言
图形
角
对角线
对称性
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90?
∴
AC=BD
∵四边形ABCD是矩形
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
A
B
D
C
A
B
D
C
O
1.对比平行四边形，下列选项中矩形具有的特殊性质有（
）.
跟踪训练
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
2.已知四边形ABCD是矩形，其中AB=8
，
BC=6，则BD
的长为
.
跟踪训练
10
解：∵
AB=8
，BC=6
∴
AC
==10
∴BD
=
AC
=10
A
B
D
C
┐
O
∵四边形ABCD是矩形
新知探究
知识点2：直角三角形斜边上中线的性质
思考
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
我们观察Rt△ABC，
在Rt△ABC中，
BO是斜边AC上的中线，BO
与AC
有什么关系？
A
B
D
C
┐
O
新知探究
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
试判断，在Rt△ABC中，BO与AC的关系.
解：∵四边形ABCD是矩形
∴
∴
A
B
D
C
┐
O
新知探究
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
拓展
如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90?，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，
AD=2，
CE=5，则CD=（
）.
A.2
B.3
C.4
D.
解析：
∵在Rt△ABC中，
∠ACB=90?,
CE为AB边上的中线，
CE=5
∴AE=CE=5
∵AD=2
∴DE=3
∵CD为AB边上的高
∴在Rt△CDE中，
C
跟踪训练
随堂练习
1.下列性质中，矩形不一定具有的是（
）.
A.对角线相等
B.四个内角相等
C.对角线垂直
D.是轴对称图形
C
随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=34°，则∠BAO的度数是（ ）
A．46°
B．54°
C．56°
D．60°
C
B
C
A
D
O
34°
34°
56°
随堂练习
3.
矩形
ABCD
中，对角线
AC、BD
相交于点
O，请填写下列空格.
（1）若OA=4，则BD=
.
8
（2）若∠DAO=60?,
AD=3，则
AC=
.
6
A
B
D
C
O
拓展提升
4.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是边AB、AC的中点.
若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是
边AB、AC的中点，
∴DE=AE=
AB=
×10=5，
DF=AF=AC=×8=4，
∴四边形AEDF的周长=AE＋DE＋DF＋AF=5＋5＋4＋4=18.
课堂小结
矩形
概念
特殊性质
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
①四个角都是直角
②对角线相等
③轴对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
拓展提升
1.
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∠ADB=30?，AB=4，则OC=（
）.
A.5
B.4
C.3.5
D.3
B
解析：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=
OC，
∵
∠ADB=30?
∴
AC=BD=2AB=8
∴
A
B
D
C
O
拓展提升
2.如图，矩形ABCD被对角线分成4个小三角形，如果4个小三角形的周长和是88，对角线长为12，那么矩形的周长是多少？
解：
∵△AOB、△BOC、△COD、△AOD
4个小三角形的周长和为88
又∵AC=BD=12
∴
矩形的周长为AB+BC+CD+DA=88-2(AC+BD)=88-48=40
A
B
D
C
O
3.如图，矩形
ABCD
中，E
为
AD
上一点，
EF⊥CE
交AB
于点
F，若
DE=2，矩形
ABCD
的周长为
16，且CE=EF，求
AE
的长.
随堂练习
解：∵四边形
ABCD
为矩形
B
C
A
D
┐
E
F
∴
∠A=∠D=90?
∵EF⊥CE
∴
∠AEF+∠DEC=90?
∵
∠A=90?
∴
∠AEF+∠AFE=90?
∴
∠DEC=∠AFE
随堂练习
∵
在△AEF
和△DCE
中，∠A=∠D=90?，∠AFE=∠DEC，EF=CE
∴△AEF≌△DCE，AE=DC
∵
矩形
ABCD
的周长为16
∴
AD+CD=8
∵
DE=2，AE=DC
∴
2+AE+AE=8
∴
AE=3
B
C
A
D
┐
E
F
课后作业
请完成课本后习题第3题。
