(共30张PPT)
18.2.2
菱形
课时1
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
矩形的性质有哪些？
轴对称图形，有两条对称轴
学习目标
1.理解并掌握菱形的概念和性质.
2.能熟练运用菱形性质进行计算和证明.
课堂导入
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
课堂导入
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
菱形
？
四边形、平行四边形和矩形之间可以通过条件变化转换.
菱形能不能由平行四边形得到呢？需要什么条件呢？
新知探究
知识点：菱形的定义及性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：
A
B
D
C
新知探究
对边平行且相等
除此之外，菱形的边还有特殊的性质吗？
猜想：AB=BC=CD=AD，即四条边相等.
对角线互相平分
对角相等
如图，菱形ABCD中，
AB=BC
，求证：AB=BC=CD=AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∵
AB=BC
新知探究
A
B
D
C
∴AB=CD，
AD=BC
∴
AB=BC=CD=AD
菱形的性质：菱形的四条边都相等.
新知探究
A
B
D
C
∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=AD
数学语言：
任意画一个菱形，沿对角线对折，最后能得到什么样的图形？
新知探究
通过上面的折纸，你能猜想菱形的对角线有什么特殊的性质吗？
猜想：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
如图，四边形ABCD是菱形，求证：
AC⊥BD，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD
∵在△ABO
和△ADO
中，AB=AD，OB=OD，OA=OA
∴
△ABO≌△ADO，
∠AOB=∠AOD
∵∠AOB=∠AOD，
∠AOB+∠AOD=180?
∴
∠AOB=∠AOD=90?，即AC⊥BD
新知探究
A
B
D
C
O
∵在△ABD
和△CBD
中，AB=CB，BD=BD，AD=CD
∴
△ABD≌△CBD，∠ABD=∠CBD，
∠ADB=∠CDB
新知探究
∵在△BAC
和△DAC
中，AB=AD，BC=DC，AC=AC
∴
△BAC≌△DAC，∠BAC=∠DAC，
∠BCA=∠DCA
A
B
D
C
O
菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴
AC⊥BD，
∠BAC=∠DAC，
∠ACD=∠ACB，
∠ABD=∠CBD，
∠ADB=∠CDB.
数学语言：
新知探究
A
B
D
C
O
┐
新知探究
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
A
B
D
C
O
M
N
E
F
G
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
新知探究
对角线互相垂直的任意四边形的面积等于对角线长乘积的一半.
拓展
A
B
D
C
O
菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的面积+△DAO的面积
=++
=
新知探究
A
B
C
D
O
例3
如图，菱形花坛
ABCD
的边长为
20m，∠ABC=60?，
沿着菱形的对角线修建了两条小路
AC
和
BD.
求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：∵花坛
ABCD
的形状是菱形
∴
AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30?
在
Rt△OAB
中，AO=AB=10，BO=
新知探究
A
B
C
D
O
∴
花坛的两条小路长
AC
=2AO
=20（m）
BD=2BO=20
≈
34.64（m）
花坛的面积
S菱形ABCD
=
AC
BD
=≈346.4
（m?）
新知探究
性质
数学语言
图形
边
对角线
对称性
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=AD
∴AC⊥BD
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB
∠BAC=∠DAC，
∠BCA=∠DCA
∵四边形ABCD是菱形
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
A
B
D
C
O
┐
1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（
）.
跟踪训练
D
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.邻边互相垂直
D.对角线互相垂直
2.菱形ABCD的两对角线AC、BD的长为8、6，则其边长为多少?
跟踪训练
解：∵四边形ABCD是菱形
∴
AC、BD互相垂直平分
∵
AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，
A
B
D
C
O
∴菱形ABCD的边长为5
随堂练习
1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为多少?
B
D
C
A
E
F
解：
∵
E、F分别是AD、BD的中点
∴
EF是△ABD的中位线
∴
AB=2EF=4
∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=AD=4
∴菱形ABCD周长为16
随堂练习
2.如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD=60?，求对角线BD的长度.
D
A
B
C
O
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为24
∴
AB=BC=CD=AD=6
∵
AC⊥BD，
∠BAD=60?
∴
∠DAO=30?
∵
在Rt△AOD中，
∠DAO=30?，AD=6
∴
OD=3
，
BD=6
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ ）
A．32
B．24
C．16
D．18
随堂练习
D
A
B
C
O
E
DC=2OE=4
周长=4DC=16
C
课堂小结
菱形
概念
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形.
拓展提升
1.如图：已知菱形ABCD的边长AD为10，对角线BD的长为12，求菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形
D
A
B
C
O
∴
OB=OD=BD，
AC⊥BD
∵AD=10，BD=12
∴
OD=BD=6，
∴S菱形ABCD
拓展提升
2.如图，O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，AD=5，
OA=4，过点C作CE//BD，过点B作BE//AC，CE、BE相交于点E.
（1）求对角线BD的长度.
（2）求四边形OBEC的面积.
A
B
E
D
C
O
拓展提升
解：
（1）∵四边形ABCD是菱形
∴
AC⊥BD
∴在Rt△OAD中，由勾股定理得：
∴
A
B
E
D
C
O
拓展提升
（2）∵
CE//BD，
BE//AC
∴
四边形OBEC为平行四边形
又∵AC⊥BD，即∠COB=90?
∴
∵
OB=OD=BD=3，OC=OA=4
∵
矩形的面积为12
A
B
E
D
C
O
拓展提升
3.如图，菱形的周长为40，两条对角线的和为28，求菱形的面积.
证明：∵菱形的周长为40
∴
AB=BC=CD=DA=10
∵两条对角线的和为28
∴
AO+DO=14
∵，即100
D
A
B
C
O
∴
AO=8，DO=6，即AC=16，BD=12
∴
菱形的面积为=96
课后作业
请完成课本后练习第2题。(共28张PPT)
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
18.2.2
菱形
课时2
知识回顾
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
轴对称图形，有两条对称轴.
菱形的特殊性质有哪些？
学习目标
1.掌握菱形的判定及证明过程.
2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明.
课堂导入
思考
已知一个平行四边形，怎么样可以判定它是一个菱形？你能够证明吗？
平行四边形
什么条件？
菱形
新知探究
知识点：菱形的判定
判定1（定义法）：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
数学语言：
在平行四边形ABCD中，
∵
AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
通过上节课的学习，我们知道菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法，因此有：
除了根据定义判定以外，还有其他方法吗？
新知探究
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.
反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
你能试着给出证明吗？
A
B
D
C
O
┐
与研究平行四边形和矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立.
已知：在平行四边形ABCD中，
AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
OB=OD
∵
AC⊥BD
∴
BA=AD
∴
四边形ABCD是菱形
新知探究
A
B
D
C
O
┐
新知探究
数学语言：
在平行四边形ABCD中，
∵
AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
┐
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
新知探究
例4
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.
求证：平行四边形ABCD是菱形.
D
A
C
B
O
证明：∵
AB=5，AO=4，BO=3
∴+
∴△AOB是直角三角形
∴AC⊥BD
∴
平行四边形ABCD是菱形
思考
动手画出一个四边形，满足有两条边相等的四边形是菱形吗？
新知探究
不是
不是
？
你能进行证明吗？
三条边相等呢？
四条边相等呢？
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵
AB=CD=BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
∵
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
新知探究
A
B
D
C
新知探究
数学语言：
在四边形ABCD中，
∵
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
菱形的判定3：四条边相等的四边形是菱形.
新知探究
判定方法
数学语言
图形
边
对角线
有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
四条边相等的四边形是菱形
∵平行四边形ABCD中，AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
∵四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵平行四边形ABCD中，
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
┐
1.下列说法中正确的是（
）.
跟踪训练
C
A.对角线互相垂直的四边形是菱形.
B.两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
D.两条邻边相等的四边形是菱形.
2.平行四边形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O.
跟踪训练
（1）若AB=AD，则平行四边形ABCD是
.
（2）若∠BAO=∠DAO，则平行四边形ABCD是
.
（3）若平行四边形ABCD是菱形，则AC
BD.
菱形
菱形
⊥
A
B
D
C
O
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（
）.
随堂练习
A.两对角线互相垂直
B.两对角线相等
C.两对角线互相平分
D.两对角线互相垂直平分
D
随堂练习
2.如图，在菱形ABCD中，对角线
AC、BD
交于点O，点
E、F、G、H
分别是
OA、OB、OC、OD
的中点.
求证：四边形EFGH是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=AD
D
A
B
C
O
E
F
G
H
∵点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点
∴EF、FG、GH、EH是中位线
∴
EF=AB，FG=BC，GH=CD，EH=AD
∴EF=FG=GH=EH
∴四边形EFGH是菱形
随堂练习
3.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF.
求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AD=BC，
AD//BC
∵
DE=BF
∴
AE=CF，
又AE//CF
∴四边形AECF是平行四边形
本题源自《教材帮》
A
B
C
D
E
F
∵
AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形
随堂练习
4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴EB=DF，EB∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
A
B
C
D
E
F
随堂练习
4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（2）当∠ADB=90°时，求证：四边形DEBF是菱形．
（2）证明：∵∠ADB=90°，E为边AB的中点，
∴DE=
AB=EB，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF为菱形．
A
B
C
D
E
F
课堂小结
菱形的判定
判定1
判定3
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定2
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
拓展提升
1.如图，在△ABC中，AD
平分∠BAC交
BC
于点
D，过点
D
作DE//AC
交
AB
于
E
点，过点
D
作
DF//AB
交
AC
于
F
点，求证：四边形AEDF是菱形.
A
B
C
D
E
F
证明：∵DE//AC
，
DF//AB
∴四边形AEDF是平行四边形，
且∠EAD=∠ADF
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠FAD
∴∠FAD=∠ADF
∴
AF=DF
∴四边形AEDF是菱形
拓展提升
2.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点的四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：连接矩形ABCD的对角线AC、BD
∵
四边形ABCD是矩形
∴
AC=BD
∵
E、F分别是BA、BC的中点
∴
EF是△BAC的中位线
∴
EF//AC且EF=AC
拓展提升
同理可得：
HG//AC且HG=AC
EH//BD且EH=BD，
FG//BD且FG=BD
∴
EF//
HG
，
EH//
FG，
EF=FG=GH=EH
∴
四边形EFGH是菱形
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展提升
3.
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点
D
作DE⊥BD，交
BC
的延长线于点
E，若
BC=5，
BD=8，求四边形ABED的周长.
本题源自《教材帮》
A
B
C
D
E
拓展提升
（1）证明：∵
AD//BC
∴∠ADB=∠CBD
∵
BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∴∠ADB=∠ABD
∴AD=AB
∵
BA=BC
∴AD=CB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵
BA=BC
∴四边形ABCD是菱形
本题源自《教材帮》
A
B
C
D
E
拓展提升
（2）∵
DE⊥BD
∴∠BDE=90?
∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90?
∴∠DBC=∠BDC
∴∠CDE=∠E
∵四边形ABCD是菱形
∴CB=CD
∴CD=CE=BC
∴BE=2BC=10
∵BD=8
∴
∴
AD=AB=BC=5
∵
∴
A
B
C
D
E
课后作业
请完成课本后习题第6题。
