(共30张PPT)
18.2.3
正方形
课时1
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
四个角都是直角
对角线相等
轴对称图形，有两条对称轴.
矩形的特殊性质有哪些？
知识回顾
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
轴对称图形，有两条对称轴.
菱形的特殊性质有哪些？
学习目标
1.理解并掌握正方形的概念和性质.
2.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.
课堂导入
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
新知探究
知识点：正方形的定义及其性质
数学语言：
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，∠A=90?
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？
有一个直角
一组邻边相等
矩形
？
？
正方形
菱形
平行四边形
新知探究
正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.
新知探究
正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形.
新知探究
新知探究
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看一看你能发现什么？
A
B
D
C
是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
新知探究
例5
求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
A
B
D
C
O
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
新知探究
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
新知探究
思考
正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质：正方形=平行四边形+矩形+菱形.
新知探究
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
1.正方形具有而菱形不具有的性质是（
）.
跟踪训练
B
A.对角线互相垂直平分
B.对角线相等
C.对角线平分一组对角
D.四边相等
2.正方形具有而矩形不具有的性质是（
）.
跟踪训练
D
A.对角互补
B.对角线相等
C.四个角相等
D.对角线互相垂直
随堂练习
1.正确填写下列各空.
（1）已知正方形的面积为25，则正方形的边长为
，
正方形的周长为
.
（2）已知正方形的对角线为2，则正方形的边长为
，正方形的面积为
.
5
20
2
4
2.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
随堂练习
（1）图中有多少等腰直角三角形？
（2）图中相等的线段、相等的角有哪些？
A
B
D
C
O
（1）等腰直角三角形：△BAD、△BCD
△ABC、△ADC、△AOB、△AOD、△DOC、
△BOC.
随堂练习
A
B
D
C
O
（2）相等的线段：AB=BC=CD=DA
OA=OB=OC=OD
AC=BD
相等的角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90?
∠DOA=∠AOB=∠BOC=∠COD=90?
∠BAO=∠DAO=∠ADO=∠CDO=∠DCO=∠BCO=∠CBO=∠ABO=45?
随堂练习
3.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点
E，测量知，EC=30m，EB=10m.
这块场地的面积和对角线分别是多少？
∴在Rt△EBC中
m
解：∵ABCD是正方形
∴∠B=90?
随堂练习
∴场地的面积为
∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA=m
随堂练习
4.如图，正方形ABCD的对角线长为8，E是BC边上一点，且EF⊥OB，EG⊥OC，求EF+EG的长度.
解析：利用已知条件来判断四边形EFOG是矩形，然后根据正方形的性质，将EF转化为BF，EG转化为OF.
则EF+EG=BF+OF=OB.
A
B
D
C
O
E
F
G
随堂练习
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠OBC=45?，∠BOC=90?
∵EF⊥OB，EG⊥OC，∠BOC=90?
∴四边形EFOG是矩形，EG=FO
∵EF⊥OB，
∠OBC=45?
∴BF=EF
∴EF+EG=BF+OF=OB
∵正方形ABCD的对角线长为8
∴OB=4，则EF+EG=4
A
B
D
C
O
E
F
G
课堂小结
正方形
定义
性质
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
边：对边平行，四边相等.
角：四个角都是直角.
对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
对称性：轴对称图形，有四条对称轴.
拓展提升
1.如图，已知正方形ABCD中，E
为
CD
边上一点，F
为
BC
延长线上一点，且CE=CF.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC=60?，求
∠DFE
的度数.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴
BC=DC，
∠BCD=90?
A
B
D
C
E
F
∵
F为BC延长线上一点
∴∠DCF=90?
拓展提升
∵
在△BCE
和△DCF
中，
BC=DC，
∠BCD=∠DCF=90?，CE=CF
∴△BCE≌△DCF
（2）∵
CE=CF，
∠DCF=90?
∴∠EFC=45?
∵∠DFC=60?,∠EFC=45?
∴∠DFE=15?
∵△BCE≌△DCF
∴∠BEC=∠DFC=60?
A
B
D
C
E
F
拓展提升
2.如图，点
E
在正方形
ABCD
的边
CD
上，若
△ABE
的面积为
8，CE=3，求线段
BE
的长.
A
B
D
C
E
解：∵四边形ABCD是正方形
∴
AB//CD，AB=BC=CD=DA
∴点
E
到边
AB
的距离=AD=BC
∵△ABE的面积为8
∴
ABCD
=
8，解得：AB=4
∵CE=3
∴BE=5
拓展提升
3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，且AF=CE.
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB=4，AF=1，求四边形BEDF的面积.
A
B
D
C
E
F
（1）证明：∵
四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠C=90?
在△ABF
和△CBE
中，
∴△ABF≌△CBE（SAS）
∵
AF=CE
拓展提升
（2）∵△ABF≌△CBE
∴S△ABF=S△CBE
∵
AB=4，AF=1
∴S△ABF=S△CBE=
A
B
D
C
E
F
∵
AB=4
∴S正方形ABCD=4×4=16
∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ABF-S△CBE=12
课后作业
请完成课本后练习第1题。(共33张PPT)
平行四边形
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
18.2.3
正方形
课时2
知识回顾
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
轴对称图形，有四条对称轴.
正方形的性质有哪些？
对边平行，四条边都相等
学习目标
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.
2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
课堂导入
阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起手帕的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证
明手帕是正方形，那么你认为这块
手帕一定是正方形吗？
思考1
矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
矩形：对角线相等且互相平分
正方形：对角线相等且互相垂直平分
矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？
知识点：正方形的判定
新知探究
已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
O
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90?
∵AC⊥BD
∴AC是线段BD的垂直平分线
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是正方形
同理：BD是线段AC的垂直平分线
新知探究
新知探究
判定1：
对角线互相垂直的矩形是正方形.
数学语言：
在矩形ABCD中，
∵
AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
思考2
矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？
矩形：对边相等且平行
正方形：四边相等且对边平行
矩形添加邻边相等能否得到正方形？
新知探究
新知探究
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
∴∠B=90?，四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的
定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”）
新知探究
判定2
：
有一组邻边相等的矩形是正方形.
数学语言：
在矩形ABCD中，
∵AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
思考3
菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
菱形添加对角线相等能否得到正方形？
菱形：对角线垂直且互相平分
正方形：对角线相等且互相垂直平分
新知探究
新知探究
已知在菱形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且
AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD
∵AC=BD
∴OA=OB=OC=OD
∴△AOD、△AOB
、△COD
、△BOC是等腰直角三角形
∴四边形ABCD是正方形
∴∠DAB=∠ABC=90?
新知探究
判定3
：
对角线相等的菱形是正方形.
数学语言：
在菱形ABCD中，
∵
AC=BD
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
思考4
菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？
菱形：对角相等
正方形：四个角相等，都为90°
菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？
新知探究
新知探究
已知在菱形ABCD中，∠A=90?，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
∴AB=BC=CD=DA
四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=90?
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”
）
新知探究
判定4：
有一个角是直角的菱形是正方形.
数学语言：
在菱形ABCD中，
∵
∠A=90?
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
新知探究
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：
，使得四边形ABCD是正方形.
跟踪训练
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∴AC=BD或∠BAD=90?或∠ABC=90?或∠BCD=90?或∠ADC=90?均满足题意
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？
跟踪训练
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.
（2）对角线互相垂直的矩形.
（3）对角线相等的菱形.
（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.
4个都是正方形，满足正方形的判定条件.
1.下列命题正确的是（
）.
随堂练习
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是正方形
C
矩形
菱形
矩形
随堂练习
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（
）
A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D.当∠ABC=90?时，四边形ABCD是矩形
B
A
B
D
C
随堂练习
3.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45?.
求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.
C
B
D
A
E
F
随堂练习
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠C=90?
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60?
∵∠CEF=45?
∴∠CFE=45?
∴∠AFB=∠AEB=180?-45?-60?=
75?
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
C
B
D
A
E
F
课堂小结
正方形
判定1
判定2
判定3
判定4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
拓展提升
1.如图，在直角三角形中，∠C=90?，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB.
求证：四边形CEDF
为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∴∠DEC=∠DFC=90?
∵∠C=90?
∴四边形CEDF为矩形
A
B
C
E
F
D
G
∵DE⊥AC，DF⊥CB
拓展提升
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB
∴DE=DG
∴四边形CEDF为正方形
同理可得：DG=DF
∴ED=DF
1.如图，在直角三角形中，∠C=90?，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB.
求证：四边形CEDF
为正方形.
A
B
C
E
F
D
G
拓展提升
2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，
P是BD上一点，过点P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分别为M、N.
（1）求证：∠ADB=∠CDB.
（2）若∠ADC=90?，求证：四边形PMDN是正方形.
C
A
B
D
M
N
P
拓展提升
证明：（1）∵
AB=BC，对角线
BD
平分∠ABC
∴
∠ABD=∠CBD
∵在△ABD和△CBD中，
AB=BC，
∠ABD=∠CBD，
BD=BD
∴△ABD≌△CBD
∴
∠ADB=∠CDB
C
A
B
D
M
N
P
拓展提升
（2）∵∠ADC=90?，
PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90?
∴四边形PMDN是矩形
∵
∠ADB=∠CDB=45?
∴四边形PMDN是正方形
∴∠MPD=∠NPD=45?
∴DM=PM，DN=PN
C
A
B
D
M
N
P
拓展提升
3.在正方形ABCD中，动点
E
在AC上，AF⊥AC，垂足为
A，AF=AE.
（1）求证：BF=DE.
（2）当点
E
运动到
AC
的中点时，说明四边形AFBE是正方形.
A
B
D
C
E
F
拓展提升
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90?
∵AF⊥AC
∴∠BAF+∠BAE=90?
∵∠BAE+∠DAE=90?
∵在△ADE和△ABF中，
AD=AB，
∠DAE=∠BAF，
AE=AF
∴△ADE≌△ABF，
BF=DE
A
B
D
C
E
F
∴∠BAF=∠DAE
拓展提升
∴
BE⊥AC
，
BE=AE=AC
（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC
∵AF=AE
∴
BE=AF=AE
∴BE//AF
又∵BE⊥AC
，∠FAE=∠BEC=90?
∵BE=AF
∴四边形AFBE是平行四边形
∵∠FAE=90?，AE=AF
∴四边形AFBE是正方形
A
B
D
C
E
F
课后作业
请完成课本后习题第13题。
