(共31张PPT)
一次函数
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
19.2.2
一次函数
课时2
知识回顾
一次函数
一般地，形如
y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
当
b=0
时，y=kx+b
即是
y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
知识回顾
判断下列函数关系式是不是一次函数.
解：
①y=kx+5不是一次函数，缺少条件k≠0.
①y=kx+5
②y=+x
③y=(k+3)
④y=x
②y=一次函数.
③y=(k+3)不是一次函数.
④y=x是一次函数.
学习目标
1.会画一次函数的图象，并能观察出一次函数图象和正比例函数图象的异同.
2.会根据一次函数图象的性质解决实际问题.
课堂导入
思考
我们知道正比例函数是特殊的一次函数，而正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象会不会是一条直线？是否也经过原点？一次函数的图象又具有哪些性质？
例2
画出函数
y=-6x+5
、y=-6x
、
y=-6x-5
的图象.
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y=-6x+5
11
8
5
2
-1
y=-6x
6
3
0
-3
-6
y=-6x-5
1
-2
-5
-8
-11
分析：三个函数
y=-6x+5
、y=-6x
、
y=-6x-5
的自变量的取值范围是全体实数.列表表示几组对应值.
新知探究
知识点1：一次函数图象及画法
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
新知探究
1
1
仔细观察图中三个函数的图象，看看你能发现什么？
思考
根据图象的观察结果正确填写下列各空格.
（1）这三个函数的图象形状都是
，并且倾斜的程度
；
（2）函数y=-6x的图象经过原点，一次函数y=-6x+5的图象与y轴的交点坐标是
，可以看作是由直线y=-6x向
平移
个单位长度得到的；一次函数y=-6x-5的图象与y轴的交点坐标是
，可以看作是由直线y=-6x向
平移
个单位长度得到的.
直线
相同
（0，5）
上
5
（0，-5）
下
5
新知探究
（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）互相平行；
（3）直线y=kx+b（k≠0）可以看作是直线y=kx（k≠0）平移个单位长度得到的，当
b>0
时，表示向上平移
b
个单位长度；当
b<0
时，表示向下平移
b
个单位长度.
新知探究
（1）一次函数的图象是一条直线；
联系上面结果，你能总结出什么吗？
新知探究
1.一次函数的图象
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
2.一次函数的图象与正比例函数的图象的关系
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx（k≠0）沿
y
轴向上（b>0）或向下（b<0）平移
个单位长度得到.
新知探究
（1）两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）与两坐标轴的交点，即（0，b）与（-，0）画直线.
x
y
O
y=kx+b
(0，b)
(-，
0)
3.一次函数图象的画法
新知探究
（2）平移法：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，是由直线
y=kx
沿
y
轴向上（b>0）或向下（b<0）平移
个单位长度得到，反之，直线
y=kx
也可以通过沿
y
轴平移直线
y=kx+b
得到.
x
y
O
y=kx
新知探究
例3
画出函数
y=2x-1
与
y=-0.5x+1
的图象.
分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它.
解：列表表示当
x=0，x=1
时两个函数的对应值.
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
新知探究
过点(0，-1)与点(1，1)画出直线
y=2x-1；
过点(0，1)与点(1，0.5)画出直线
y=-0.5x+1.
y=2x-1
y=-0.5x+1
新知探究
知识点2：一次函数的性质
探究
画出函数
y=x+2
和
y=-x+2
的图象.由它们联想：一次函数解析式
y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中
，k
的正负对函数图象有什么影响？
y=x+2与坐标轴的交点坐标分别为（0，2）和（-2，0）；
y=-x+2与坐标轴的交点坐标分别为（0，2）和（2，0）.
新知探究
y=x+2函数图象从左向右上升，y
随着
x
的增大而增大；y=-x+2函数图象从左向右下降，y
随着
x
的增大而减小.
y=-x+2
y=x+2
新知探究
一次函数
y=kx+b（k，b是常数，k≠0）
k、b的符号
k>0
k<0
b>0
b<0
b=0
b>0
b<0
b=0
图象
性质
经过的
象
限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
一、二、三
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
1.
在直角坐标系中，函数
y=-5x+3
的图象经过（
）
跟踪训练
A.
一、二、三象限
C.
二、三、四象限
B.
一、二、四象限
D.
一、三、四象限
B
-5<0，经过第二、四象限；3>0，经过y的正半轴.
2.下列关于一次函数
y=3x-1与
x
轴、y
轴的交点，y
随着
x
的增大的变化情况叙述正确的是（
）
跟踪训练
A.
（0，1）、（，0）、增大
C.
（0，1）、（，0）、减小
B.
（0，-1）、（，0）、增大
D.
（0，-1）、（，0）、减小
B
1.已知函数
y=(m+2)x-n
的图象经过第一、第二、第三象限，求
m、n
的取值范围.
随堂练习
解：因为函数
y=(m+2)x-n
的图象经过第一、第二、第三象限，
所以
m+2>0，-n>0，解得：
m>-2，n<0.
2.正确填写下列各空.
随堂练习
已知函数y=4x+1，它是由直线y=4x向
平移
个单位长度得到的；
1
上
已知函数y=x，它向下平移3个单位长度得到的直线是
；
向上平移5个单位长度得到的直线是
.
y=x-3
y=x+5
课堂小结
一次函数图象及画法
图象
画法
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
①两点法：两点确定唯一一条直线；
②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.
课堂小结
一次函数的性质
k>0
k<0
①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
②b<0，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；
①b>0，经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；
②b<0，经过二、三、四象限，y随x的增大而减小；
拓展提升
1.求直线
y=2x+4
与
x
轴、y
轴的交点坐标，并求出与坐标轴构成的三角形的面积.
解：根据题意，直线
y=2x+4
与
x
轴、y
轴
的交点坐标分别为
B（-2，0）、A（0，4）.
x
y
O
A
B
由图可知：OA=4，OB=2，
则三角形OAB的面积=
×2×4=4.
拓展提升
2.若代数式
有意义，则一次函数
y=(k-1)x+1-k
的图象可能是（
）
A
B
C
D
拓展提升
解得：k>1，
解：因为代数式
有意义，所以
所以
k-1>0，1-k<0.
此时一次函数
y
=
(k-1)x+1-k
的图象经过第一、第三、第四象限.
还有其他方法吗？
拓展提升
特殊值法解选择题：
解：令
k=2，此时代数式
有意义，符合题意.
当
k=2
时，一次函数的解析式为
y=x-1，图象经过第一、
第三、第四象限.
对于此类选择题，对未知系数k取特殊值可以快速解决问题.
拓展提升
3.已知一次函数
y=(2m+2)x+3-n，根据下列条件，请你求出
m、n
的值或取值范围.
（1）y
随
x
的增大而增大；
（2）该一次函数的图象与函数
y=2x
的图象平行，且过点
（2，5）.
解析：根据一次函数的图象与性质，结合不等式或方程进行求解.
拓展提升
解：（1）由
y
随
x
的增大而增大，知
2m+2>0，解得：m>-1.
所以当
m>-1，n
取任意实数时，
y
随
x
的增大而增大.
所以
m，n
的取值范围分别为
m>-1，n
取任意实数.
拓展提升
（2）因为
y=(2m+2)x+3-n
的图象与
y=2x
的图象平行，所以
2m+2=2，解得
m=0，所以
y=2x+3-n.
把点（2，5）代入
y=2x+3-n，得
5=22+3-n，
解得：n=2.
所以
m，n
的值分别为
0，2.
课后作业
请完成课本后习题1、3题。(共29张PPT)
一次函数
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
19.2.2
一次函数
课时3
知识回顾
一次函数
一般地，形如
y=kx+b（k，b
是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
当
b=0
时，y=kx+b
即
y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的图象
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
知识回顾
已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（-1，2），求这个正比例函数的解析式.
解：∵正比例函数
y=kx（k≠0）经过点（-1，2）
∴-k=2，解得：k=-2
∴这个正比例函数的解析式为：
y=-2x
学习目标
1.掌握用待定系数法求函数解析式的方法.
2.会熟练运用待定系数法在函数的实际应用中.
课堂导入
思考1
确定正比例函数解析式
y=kx（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？
正比例函数解析式
y=kx（k≠0）中
x、y
代表自变量和函数值，只要求出
k
的值即可确定正比例函数解析式.
需要求出
k
的值，知道
1
个条件即可.
课堂导入
思考2
确定一次函数解析式
y=kx+b（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？
一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中x、y代表自变量和函数值，只要求出k、b的值即可确定一次函数解析式.
需要求出
k、b
的值，知道
2
个条件即可.
小结：在确定函数解析式的时候，需要求出几个系数的值，就需要知道几个条件.
课堂导入
那么该采取什么方法确定函数解析式呢？
新知探究
例4
已知一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式.
分析：求一次函数
y=kx+b
的解析式，关键是求出
k、b
的值.从已知条件可以列出关于
k、b
的二元一次方程组，并求出
k、b.
知识点：待定系数法
这两点的坐标适合解析式
新知探究
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b（k≠0）
∵
y=kx+b
的图象过点（3，5）与（-4，-9）
3k+b=5
-4k+b=-9
∴
∴
这个一次函数的解析式为
y=2x-1.
k=2
b=-1
解得：
新知探究
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.
由上面的例题你能归纳出求函数解析式的方法吗？
新知探究
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象
直线
l
选取
解出
选取
画出
从数到形
从形到数
新知探究
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
设：设出一次函数的解析式
y=kx+b（k≠0）.
列：将已知的两组x、y的对应值分别代入所设的解析式
中，列出关于k、b的二元一次方程组.
解：解所列的方程组，求出k
、b的值.
代：将求出的k
、b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式.
1
2
3
4
新知探究
知识点2：一次函数的简单应用
一次函数应用的两种类型：
（1）题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解.
（2）题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根
新知探究
据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
应用一次函数解决实际问题的关键是：（1）确定函数与自变量之间的解析式；（2）确定实际问题中自变量的取值范围，即实际问题的答案要符合实际情况.
新知探究
例5
“黄金1号”玉米种子的价格为
5
元/kg，如果一次购买
2kg
以上的种子，超过
2kg
部分的种子价格打
8
折.
（1）填写表：
购买量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
?
付款金额/元
?
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
新知探究
（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：付款金额与种子价格相关，问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.设购买
x
kg
种子，当
0≤x≤2
时，种子价格为
5元/kg；当
x＞2
时，其中有
2kg
种子按
5元/kg
计价，其余的（x-2）kg（即超出
2kg
部分）种子按
4元/kg（即8折）计价.因此，写函数解析式与画函数图象时，应对
0≤x≤2
和
x＞2
分段讨论.
新知探究
（2）设购买量为
x
kg，付款金额为
y
元.
当
0≤x≤2
时，y=5x.
当
x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
函数图象如图所示.
y
与
x
的函数解析式也可以合起来表示为
新知探究
（1）一次购买
1.5kg
种子，需付款多少元？
（2）一次购买
3kg
种子，需付款多少元？
思考
你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？
1.55=7.5元.
34+2=14元.
7.5
14
已知一次函数的图象经过两点（1，4）、（
-1，0），求这个一次函数的解析式.
跟踪训练
解：设这个一次函数解析式为
y=kx+b（k≠0）
∵一次函数图象经过两点（1，4）、（
-1，0
）
k+b=4
-k+b=0
∴
k=2
b=2
解得：
∴
这个一次函数解析式为
y=2x+2.
1.已知一次函数图象经过点（2，3）和（-4，-9），求一次函数与
x
轴、y
轴的交点.
随堂练习
解：设这个一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）
∵一次函数图象经过点（2，3）和（
-4，-9
）
∴
这个一次函数的解析式为
y=2x-1.
∴
y=2x-1
与
x
轴、y
轴的交点为（
，0
）、（0，-1）.
2k+b=3
-4k+b=-9
∴
k=2
b=-1
解得：
2.已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，-1）和（-3，4）两点，则它的图象不经过第几象限？
随堂练习
解：∵
一次函数经过（2，-1）、（
-3，4
）两点
∴
这个一次函数的解析式为
y=-x+1.
∵
k=-1<0，
b=1>0
∴图象不经过第三象限
2k+b=-1
-3k+b=4
∴
k=-1
b=1
解得：
3.星期天，小明上午
8：00
从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.
他离家的距离
y（千米）与时间
t（分）的关系如图所示，则上午
8：45
小明离家的距离是
千米.
随堂练习
随堂练习
解：设当
40≤t≤60
时，距离
y（千米）与时间
t（分）的函数解析式为
y=kt+b（k≠0）
∴
y与t之间的函数解析式为y=-0.1t+6.
∵图象经过（40，2）、（
60，0
）
∴
当
t=45
时，y=-0.1×45+6=1.5.
40k+b=2
60k+b=0
∴
k=-0.1
b=6
解得：
课堂小结
一次函数解析式
待定系数法
应用
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法.
①设；②列；③解；④代.
步骤
①已知一次函数解析式
②题目中未给出一次函数解析式
拓展提升
1.一次函数的图象经过点（2，1）且与直线
y=3x
平行，求此函数的解析式.
解：
∵一次函数与直线
y=3x
平行
∴设这个一次函数解析式为
y=3x+b
∵一次函数图象经过点（2，1）
∴
6+b=1
解得：
b=-5
∴
这个一次函数的解析式为
y=3x-5.
拓展提升
2.已知一次函数
y=kx+4
的图象经过点（-3，-2）.
解：（1）把点（-3，-2）代入
y=kx+4
则有：-3k+4=-2，解得：k=2
∴
这个一次函数的解析式为y=2x+4.
（1）求这个函数的解析式；
拓展提升
（2）画出函数的图象；
（2）一次函数解析式y=2x+4与x轴、
y轴的交点坐标为（-2，0）、（0，4）.
y=2x+4
拓展提升
（3）∵一次函数解析式
y=2x+4
∴当
x=3
时，y=23+4=10≠5
∴点（3，5）不在此函数的图象上
y=2x+4
（3）判断点（3，5）是否在此函数的图象上.
课后作业
请完成课本后习题第1、2题。(共26张PPT)
19.2.2
一次函数
课时1
一次函数
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
1.正比例函数的图象
一般地，正比例函数
y=kx（k
是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线
y=kx.
2.正比例函数图象的性质
当k>0时，直线
y=kx
经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着
x
的增大
y
也增大；当k<0时，直线
y=kx
经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着
x
的增大
y
反而减小.
知识回顾
3.正比例函数图象的画法
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即是正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
学习目标
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.会根据实际问题列出一次函数的解析式.
课堂导入
某登山队大本营所在地的气温为
5℃，海拔每升高
1
km
气温下降
6℃.
登山队员由大本营向上登高
x
km
时，他们所在位置的气温是
y
℃.
试用函数解析式表示
y
与
x
的关系.
你知道
y
关于
x
的函数解析式是什么函数关系吗？
分析：y
随
x
变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加
x
km
时，气温从
5℃
减少
6x
℃.
因此函数解析式为：y=5-6x，也可以写作
y=-6x+5.
新知探究
知识点：一次函数的概念
当登山队员由大本营向上登高
0.5km
时，他们所在位置的气温
就是当
x=0.5
时函数
y=-6x+5
的值，即
y=-6×0.5+5=2(℃)
新知探究
函数解析式
y=-6x+5是正比例函数吗？
函数解析式
y=-6x+5
不是正比例函数，因为不满足正比例函数的概念，正比例函数为
y=kx（k是常数，k≠0）.
思考
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数
c
与温
度
t（单位：℃）有关，即
c
的值约是
t
的
7
倍与
35
的差.
（2）一种计算成年人标准体重
G（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值
h，再减常数
105，所得的差是G
的值.
新知探究
c=7t-35（20≤t≤25）
G=h-105
（3）某城市的市内电话的月收费额
y（单位：元）包括月租费
22
元和拨打电话
x
min
的计时费（按
0.1元/min
收取）.
（4）把一个长
10
cm、宽
5
cm
的长方形的长减少
x
cm，宽不变，长方形的面积
y（单位：）随
x
的变化而变化.
新知探究
y=0.1x+22
y=-5x+50（0≤x<10）
上述问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
（1）c=7t-35（20≤t≤25）
（2）G=h-105
（3）y=0.1x+22
（4）y=-5x+50（0≤x<10）.
这些函数解析式有哪些共同特征？
新知探究
新知探究
（1）c=7t-35（20≤t≤25）
（3）y=0.1x+22
（4）y=-5x+50（0≤x<10）
c
（2）G=h-105
G
y
y
-35、-105、22、50
看作“b”
7
1
0.1
-5
35
105
22
50
c、G、y、y
看作“y”
7、1、0.1、-5
看作“k”
t、h、x、x
看作“x”
新知探究
一次函数
一般地，形如
y=kx+b（k，b
是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当
b=0
时，y=kx+b
即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
以上四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式，这样的函数叫做一次函数.
新知探究
（1）正比例函数是特殊的一次函数，即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
（2）若已知y与x成正比，则可以设函数解析式为y=kx（k≠0）；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
1.
下列函数哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
跟踪训练
（1）y=-4x
（2）y=-
（3）y=2
解：（4）
、（5）是一次函数；（1）、（6）是正比例函数.
（4）y=-x+3
（5）y=2(x+1)
（6）y=(x+2)-1
2.下列说法正确的是（
）.
跟踪训练
A.
正比例函数是一次函数
C.
一次函数是正比例函数
B.
正比例函数不是一次函数
D.
不是正比例函数就不是一次函数
A
1.下列式子中是一次函数的是（
）.
随堂练习
A.
y
=
2+5
B.
y
=
C.
y
=
2(x-2)+5
D.
y
=
2
C
y
=
2x+1
2.正确填写下列各空.
随堂练习
已知函数
y
=
(k-1)x+-1，当k=
时，它是正比例函数；当k
时，它是一次函数.
-1
≠1
解析：当是正比例函数时，k-1≠0
且
-1=0；
当是一次函数时，k-1≠0
即可.
3.下列说法正确的是（
）.
随堂练习
B
A.
已知
y=kx+b，则
y
是
x
的一次函数.
C.
已知
y=k(x-1)+k，则
y
不是
x
的一次函数.
B.
已知
y
与（x-1）成正比例，则
y
是
x
的一次函数.
D.
正比例函数跟一次函数无关系
课堂小结
一次函数
定义
注意
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
正比例函数是特殊的一次函数.
拓展提升
1.下列函数解析式中，是一次函数但不是正比例函数的是（
）.
A.
y
=
B.
y
=
(x-6)+3
C
C.
y
=
D.
y
=
+5
解析：由一次函数和正比例函数的概念可知，选项
A、B
是正比例函数；选项
C
是一次函数但不是正比例函数；选项
D
不是一次函数.
拓展提升
2.已知函数
是一次函数，求
的值.
解：由题意可得
解得：m≠2，m=2或0
所以当
m=0
时，函数是一次函数.
拓展提升
3.已知函数
y=(3-m)x+2m-4
（1）当
m
为何值时，函数是正比例函数？
（2）当
m
为何值时，函数是一次函数？
解析：（1）由正比例函数的定义可知：①3-m≠0；②2m-4=0.
（2）由一次函数的定义可知：3-m≠0.
拓展提升
解得：m≠3，m=2
解：（1）由题意可得
所以当
m=2
时，函数是正比例函数.
（2）由题意可得：
3-m≠0
解得：m≠3
所以当
m≠3
时，函数是一次函数.
拓展提升
4.已知函数
（1）当
m、n
为何值时，函数是一次函数？
解得：m=3，n=-2
所以当
m=3，n=-2
时，函数是一次函数.
解：（1）由题意可得
拓展提升
（2）由（1）得：当
m=3，n=-2
时，函数是一次函数.
将
m=3，n=-2
代入，得一次函数解析式为
y
=
-8x+7.
当
x=1
时，y
=
-81+7
=
-1.
（2）如果函数是一次函数，计算当
x=1
时的函数值.
课后作业
请完成课本后习题1、3题。
