(共25张PPT)
19.2.3
一次函数与方程、不等式
课时1
一次函数
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
解下列一元一次方程：
（1）3x+1=0
（2）5y-2=3
解：∵3x+1=0
∴3x=-1
解得：x=-
解：∵5y-2=3
∴5y=5
解得：y=1
知识回顾
解下列一元一次方程：
（3）
（4）3(y-2)
+1=2y
解：∵
∴2(2x+1)-3x=6，
即4x-3x=6-2
解得：x=4
解：∵3(y-2)
+1=2y
∴3y-6+1=2y，
即3y-2y=6-1
解得：y=5
学习目标
1.理解一次函数与一元一次方程的关系.
2.会根据一次函数图象求解一元一次方程.
课堂导入
下面
3
个方程有什么共同点和不同点？
(1)
2x+1=3；
(2)
2x+1=0；
(3)
2x+1=-1.
等号右边分别是
3，0，-1.
等号左边都是
2x+1.
课堂导入
你能从函数的角度对解这
3
个方程进行解释吗？
(1)
2x+1=3；
(2)
2x+1=0；
(3)
2x+1=-1.
这三个方程相当于在一次函数
y=2x+1
的函数值分别为
3，0，-1
时，求自变量
x
的值.
课堂导入
也可以看做在直线
y=2x+1
上取纵坐标分别为
3，0，-1
的点，看它们的横坐标分别为多少.
y=2x+1
你能从函数的角度对解这
3
个方程进行解释吗？
(1)
2x+1=3；
(2)
2x+1=0；
(3)
2x+1=-1.
新知探究
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系
思考
观察函数
y=x+3
的图象，并确定它与
x
轴的交点坐标.
y=x+3
直线
y=x+3与
x
轴交点坐标为(-3，0)，说明方程
x+3=0的解是
x=-3.
新知探究
1.从“数”上看
函数
y=kx+b（k≠0）中，当
y=0时，x
的值.
方程
kx+b=0（k≠0）的解.
新知探究
2.从“形”上看
函数
y=kx+b（k≠0）的图象与
x
轴交点的横坐标.
方程kx+b=0（k≠0）的解.
y=2x-2
新知探究
知识点2：利用一次函数图象解一元一次方程
思考
观察下列函数图象，你能说出一元一次方程的解吗？
y=-x-2
新知探究
一元一次方程-x-2=0
的解为
x=-2.
y=-x-2
y=2x-2
一元一次方程2x-2=0
的解为
x=1.
新知探究
利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤：
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数；
（2）画图象：画出一次函数的图象；
（3）找交点：找出一次函数图象与
x
轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
新知探究
方程
kx+b=n
(k≠0)
的解
?
函数
y=kx+b
(k≠0)
中，
y=n
时
x
的值.
方程
kx+b=n
(k≠0)
的解
?
函数
y=kx+b
(k≠0)
的图象与直线
y=n
的交点的横坐标.
拓展
1.已知一元一次方程
ax+b=0
的解为
x=4，则一次函数
y=ax+b的图象与
x
轴的交点坐标为
.
跟踪训练
解：∵
一元一次方程
ax+b=0
的解为
x=4
∴
当
x=4
时，一次函数
y=ax+b
的函数值为
0
∴
一次函数图象与
x
轴的交点坐标为（4，0）
（4，0）
2.已知一次函数
y=kx+b
的图象与
x
轴的交点坐标为
（-3，0），一元一次方程
kx+b=0
的解为
.
跟踪训练
解：∵
一次函数
y=kx+b
的图象与
x
轴的交点坐标为（-3，0）
∴
当
x=-3
时，一次函数
y=kx+b
的函数值为0，也即
kx+b=0
的解.
x=-3
1.若一次函数
y=kx+b
的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程
kx+b=0
的解为（
）.
随堂练习
A.
x=0
B.
x=2
C.
x=-3
D.
不能确定
B
2.一次函数
y=kx+b
的图象如图所示，则方程
kx+b=0
的解为
，方程
kx+b=2
的解为
.
随堂练习
解析：∵直线
y=kx+b
与
x
轴的交点坐标是
(-1，0)，与
y
轴的交点坐标为(0，2)，即当y=0
时，x=-1；当
y=2
时，x=0.
∴方程
kx+b=0
的解是
x=-1，方程
kx+b=2
的解是
x=0.
x=-1
x=0
拓展提升
3.利用图象法解方程
6x-3
=
x+2.
解：将方程
6x-3=x+2
变形为
5x-5=0，
画出函数
y=5x-5
的图象.
由图象可知：直线
y=5x-5
与
x
轴的交点为（1，0）
即
x=1
是方程的解.
y
x
O
1
-5
课堂小结
一次函数与
一元一次方程
关系
步骤
①从“数”上看；
②从“形”上看.
①转化；
②画图象；
③找交点.
拓展提升
1.一次函数
y=kx+b
的图象如图所示，则方程
kx+b=1
的解为（
）.
A.
x=2
B.
y=2
C.
x=-
D.
y=-
C
拓展提升
2.如图，已知直线
y=kx+b，求关于
x
的方程
kx-2=-b
的解.
y
x
O
1
2
解：由图可知：一次函数
y=kx+b
经过点（1，2），也即当
x=1时，kx+b=2.
因为关于
x
的方程
kx-2=-b
可以化简为
kx+b=2，所以方程的解为
x=1.
y=kx+b
拓展提升
3.已知一个机器的运行速度为
3
转/s，每过
1s
其运行的速度增加
2
转，试问再过多少秒它的速度能到
23
转/s？
解：设再过
x
秒机器的速度能达到
23
转/s
由题意可得：3+2x=23
解得：x=10
所以再过
10s
它的速度能达到
23
转/s.
还有其他方法吗？
拓展提升
解：设时间为
x
s，机器的运行速度为
y
转/s.
由题意可得：y=3+2x
由
3+2x=23
得：2x-20=0
画出函数
y=2x-20
的图象，如图所示.
由图可知：直线
y=2x-20
与
x
轴的交点是(10，0)，
所以
x=10.
即再过
10s
它的速度能达到
23
转/s.
y
x
O
10
-20
3.已知一个机器的运行速度为
3
转/s，每过
1s
其运行的速度增加
2
转，试问再过多少秒它的速度能到
23
转/s？
课后作业
请预习一次函数与不等式、二元一次方程组的关系的知识。(共37张PPT)
一次函数
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
19.2.3
一次函数与方程、不等式
课时3
知识回顾
1.写出下列二元一次方程的几组解：
（1）3x+y=0
（2）5y-2x=3
解：满足题意的解有
解：满足题意的解有
x=0
y=0
x=1
y=-3
x=-1
y=3
x=0
y=
x=1
y=1
x=-1
y=
知识回顾
①-②得：x=3
将x=3代入①中得：6+y=4
解得：y=-2.
2.解二元一次方程组
.
x+y=1
2x+y=4
x+y=1
②
2x+y=4
①
解：
y=-2
x=3
所以这个方程组的解为
学习目标
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系.
2.会根据一次函数图象求解二元一次方程（组）.
课堂导入
写出二元一次方程：x+y=3的几组解.
画出一次函数y=-x+3的图象.
课堂导入
二元一次方程
x+y=3
的解有
x=1
y=2
x=-1
y=4
x=0
y=3
x=3
y=0
一次函数
y=-x+3
的图象为：
y
x
O
3
3
y=-x+3
写出的几组解和一次函数的图象有什么关系？
新知探究
知识点：一次函数与二元一次方程（组）
从以上例子可以看出：以二元一次方程的解作为点的坐标都在相应的函数图象上；反之，一次函数图象上的点的坐标是对应的二元一次方程的解.
新知探究
1.一次函数
y=kx+b
的图象上任意一点的坐标都是关于x、y
的二元一次方程
kx-y+b=0
的解.
2.以二元一次方程
kx-y+b=0
的解为坐标的点都在一次函数
y=kx+b
的图象上.
在同一坐标系中分别画出一次函数y=x-3和
y=-2x+3的图象.
x-y=3
解二元一次方程组
2x+y=3
新知探究
同一坐标系中一次函数
y=x-3和
y=-2x+3
的图象为：
二元一次方程组的解和两条直线的交点有什么关系？
二元一次方程组
的解为
x=2
y=-1
x-y=3
2x+y=3
y
x
O
3
-3
y=x-3
y=-2x+3
（2，-1）
3
新知探究
新知探究
从以上例子可以看出：以二元一次方程组的解作为点的坐标是两个一次函数的交点；反之，两个一次函数的交点坐标是对应的二元一次方程组的解.
新知探究
3.二元一次方程组
（a1、a2
、b1
、b2
都不为0，且a1、a2
、b1
、b2
、c1、c2
都是常数）的解是一次函数
和
图象的交点坐标.
a1
x+b1
y=c1
a2
x+b2
y=c2
新知探究
从“数”的角度来看
解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时对应的两个一次函数相等以及这个函数值是多少的问题.
新知探究
从“形”的角度来看
解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标，所以可以在同一坐标系中画出两个对应一次函数的图象来求解.
新知探究
（1）字母的意义不同：方程中的字母表示的是未知数，一次函数中的字母表示的是变量；
（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系
二元一次方程与一次函数的区别
新知探究
用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组
化为一次函数y1=k1x+b1
与
y2=k2x+b2；
k1
x-
y1+b1=0
k2
x-y2+b2=0
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
新知探究
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
新知探究
二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.
拓展
如果二元一次方程组
的解是
.
跟踪训练
x+2y=1
3x-2y=3
那么它是哪两个一次函数的交点坐标，交点坐标是多少？
x=1
y=0
解：两个一次函数分别为
和
两个一次函数的交点坐标为（1，0）.
1.求直线
y=-x+3
和直线
y=-2x+5
的交点坐标.
随堂练习
解：将直线
y=-x+3
和直线
y=-2x+5
转化为一个二元
所以交点坐标是（2，1）.
还有其他方法吗？
x+y=3
2x+y=5
x=2
y=1
一次方程组
，解得
随堂练习
解：在同一平面直角坐标系中分别画出直线
y=-x+3和直线
y=-2x+5
的图象.
由图象可知交点坐标是（2，1）.
1.求直线
y=-x+3
和直线
y=-2x+5
的交点坐标.
y
x
O
y=-x+3
y=-2x+5
（2，1）
5
3
3
1
2
2.一次函数
y=-x+1
和一次函数
y=-x+3
的图象的交点有
个，则二元一次方程组
的解有
个.
（
）
随堂练习
A.0，1
B.
0，0
C.
1，0
D.
1，1
解析：两个一次函数的自变量系数都为-1，说明两条直线平行，没有交点，也即说明对应的二元一次方程组无解.
x+y=1
x+y=3
B
3.求一次函数
y=2x+2，y=-x+5
的图象
l1，l2
与
x
轴围成的三角形的面积.
求三角形三个顶点的坐标
利用面积公式求三角形的面积
直线
l1
与
x
轴的交点坐标
直线
l2
与
x
轴的交点坐标
直线
l1
与
l2
的交点坐标
结合图象
随堂练习
跟踪训练
解：设直线
l1，l2
交于点
A，两直线分别与
x
轴交于点
B，C.
对于一次函数
y=2x+2，令
y=0，即
2x+2=0，解得
x=-1，
∴
一次函数
y=2x+2
的图象与
x
轴的交点
B
的坐标为(-1，0).
对于一次函数
y=-x+5，令
y=0，即
-x+5=0，解得
x=5，
∴一次函数
y=-x+5
的图象与
x
轴的交点
C
的坐标为(5，0).
跟踪训练
由
得
则交点
A
的坐标为(1，4).
依次在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象，如图，则△ABC
的面积为所求.
由图象易知
BC=6，BC
边上的高即为点
A
对应的纵坐标，为
4，故S△ABC=
BC·yA=
×6×4=12.
课堂小结
一次函数与二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解对应一次函数图象上的点坐标.
二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标.
拓展提升
1.利用一次函数的图象解二元一次方程组
.
解析：将方程组中的两个二元一次方程转化为两个一次函数，在同一个坐标系中画出两个一次函数的图象，再利用图象进行求解.
y-2x-1=0
y-x+1=0
拓展提升
解：由方程组，得一次函数
y=2x+1与
y=x-1.
如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数
y=2x+1
与
y=x-1
的图象.
它们的交点坐标为（-2，-3），所以二元一次方程组的解为
.
x=-2
y=-3
拓展提升
2.在同一坐标系中分别画出
y1=-2x+1
和
y2=2x-3
的图象，并根据图象回答下列问题.
（1）直线
y1=-2x+1
和
y2=2x-3
分别与
y
轴交于
A、B
两点，请分别写出
A、B
两点的坐标；
（2）写出直线
y1=-2x+1
和
y2=2x-3
的交点
P
的坐标；
（3）求△PAB
的面积.
拓展提升
解：（1）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数
y1=-2x+1
和
y2=2x-3的图象.
它们与
y
轴的交点坐标分别为
A（0，1），B（0，-3）.
y
x
O
y1=-2x+1
y2=2x-3
3
3
-3
-3
1
A
B
拓展提升
（2）如图，根据同一平面直角坐标系中一次函数
y1=-2x+1
和
y2=2x-3的图象可知：它们的交点坐标为P（1，-1）.
y
x
O
y1=-2x+1
y2=2x-3
3
3
-3
-3
1
A
B
P
拓展提升
（3）根据（1）、（2）可知：
A（0，1），B（0，-3）、P（1，-1），则△PAB
的底边为
AB=4，高为点
P
的
横坐标为1，所以△PAB的面积=
=2.
y
x
O
y1=-2x+1
y2=2x-3
3
3
-3
-3
1
A
B
P
拓展提升
3.
l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用
y
（元）与照明时间
x
（h）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是
2000h，照明效果一样.
（1）根据图象分别求出l1和l2
的
函数解析式；
（2）当照明时间为多少时，两
种灯的费用一样.
拓展提升
解：（1）由图可知：
l1
经过点（0，2）和（500，17）；
l2
经过点（0，20）和（500，26）.
设
l1
的函数解析式为
y1=k1x+b1（k10）
则有
解得
b1=2
17=500k1+b1
k1=
b1=2
l1
的函数解析式为y1=x+2.
拓展提升
设
l2
的函数解析式为
y2=k2x+b2（k20）
则有
解得
b2=20
26=500k2+b2
k2=
b2=20
l2
的函数解析式为
y2=x+20.
拓展提升
（2）由图可知：两种灯的费用一致时也即
l1
和
l2
的交
点坐标.
则有
解得
y1=x+2
y2=x+20
x=1000
y=32
当照明时间为1000h时，费用一样为32元.
课后作业
请完成课本后习题第13题。(共29张PPT)
一次函数
人教版-数学-八年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
19.2.3
一次函数与方程、不等式
课时2
知识回顾
1.解下列一元一次不等式：
（1）3x+1>0
（2）5y-2≤3
解：∵3x+1>0
∴3x>-1
解得：x>-
解：∵5y-2≤3
∴5y
≤
5
解得：y≤1
知识回顾
2.利用函数图象解方程：5x-1=2x+8.
解：将方程
5x-1=2x+8
变形为
3x-9=0
画出函数
y=3x-9
的图象
由图象可知：直线
y=3x-9
与
x
轴的交点为（3，0）
即
x=3
是方程的解.
y
x
O
3
-9
y=3x-9
学习目标
1.理解一次函数与一元一次不等式的关系.
2.会根据一次函数图象求解一元一次不等式.
课堂导入
解一元一次不等式：3x+2>0.
当自变量x的值为多少时，一次函数y=3x+2的函数值大于0？
课堂导入
解一元一次不等式：3x+2<0.
当自变量x的值为多少时，一次函数y=3x+2的函数值小于0？
课堂导入
解一元一次不等式：kx+b>0(k≠0)，
kx+b<0(k≠0).
当自变量x的值为多少时，一次函数y=kx+b的函数值大于0，小于0？
仔细观察以上三组例子，你能发现什么？
新知探究
知识点：一次函数与一元一次不等式的关系
从以上三组例子可以看出：每一组看似是两个问题，其实结果一样，只是表达方式不一样.我们分别比较解一元一次不等式和判断一次函数的函数值正负性，探究二者之间的关系.
新知探究
根据一次函数
y=4x+2
的函数图象可以看出，当
x>-
时，直线上的点都在x
轴的上方，也即说明此时
y=4x+2>0.
所以一元一次不等式4x+2>0的解集为
x>-.
y
x
O
2
-
y=4x+2
新知探究
根据一次函数
y=4x+2
的函数图象可以看出，当
x<-
时，直线上的点都在x
轴的下方，也即说明此时
y=4x+2<0.
所以一元一次不等式
4x+2<0
的解集为
x<-.
y
x
O
2
-
y=4x+2
新知探究
因为任何一个以
x
为未知数的一元一次不等式都可以变形为
kx+b>0（k≠0）或
kx+b<0（k≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作是求一次函数
y=kx+b
的函数值大于
0
或小于
0
时，自变量
x
的取值范围.
新知探究
1.从“数”的角度来看
不等式
kx+b>0（k≠0）的解集.
在函数
y=kx+b（k≠0）中，当
y>0
时
x
的取值范围.
新知探究
1.从“数”的角度来看
不等式
kx+b<0（k≠0）的解集.
在函数
y=kx+b（k≠0）中，当
y<0
时
x
的取值范围.
新知探究
2.从“形”的角度来看
不等式
kx+b>0（k≠0）的解集.
直线
y=kx+b（k≠0）在
x
轴上方的部分所对应的
x
的取值范围.
新知探究
2.从“形”的角度来看
不等式
kx+b<0（k≠0）的解集.
直线
y=kx+b（k≠0）在
x
轴下方的部分所对应的
x
的取值范围.
新知探究
y
x
O
y1=k1x+b1
y2=k2x+b2
直线
y1=k1x+b1
与直线
y2=k2x+b2
的交点的横坐标即是方程
k1x+b1=k2x+b2的解；不等式
y1>y2（或
y1y1=k1x+b1
在直线
y2=k2x+b2上（或下）方部分对应的
x
的取值范围.
拓展
P
1.根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.
跟踪训练
（1）一元一次不等式
x+1>0
的解集为：
.
（2）一元一次不等式
x+1<0
的解集为：
.
x>-2
x<-2
y
x
O
1
-2
y=x+1
2.函数
y=-x+3
的图象如图所示，请正确填写以下空格.
跟踪训练
（1）当x取
时，函数图象在
x
轴下方.
（2）当x取
时，函数图象在
x
轴上方.
x>3
x<3
y
x
O
3
3
y=-x+3
1.已知函数
y=2x+3，当
x=
时，函数的值为
0；
当x
时，函数的值
≥0；当
x
时，函数的值
<0.
随堂练习
-
≥-
<-
解析：函数的值为0，也即
y=2x+3=0，解得：
x=-；
函数的值≥0，也即
y=2x+3
≥
0，解得：
x
≥
-；
函数的值<0，也即
y=2x+3
<
0，解得：
x
<
-.
2.如图所示，直线
l1
：y=x+6
与直线
l2
：y=-x-2
交于点
P（-2，3），不等式
x+6
>
-x-2
的解集是（
）.
随堂练习
C.
x<-2
A
D.
x≤-2
A.
x>-2
B.
x≥-2
课堂小结
一次函数与一元一次不等式
关系
步骤
①从“数”的角度；
②从“形”的角度.
①一元一次不等式看函数图象与x轴的交点；
②一元一次不等式组看两个函数图象交点的横坐标.
拓展提升
1.如图，直线
y=kx+b
经过点
A（2，1）、B（-1，-2）两点.
（1）求直线
y=kx+b
的函数解析式；
（2）求不等式
x>kx+b>-2.
解析：（1）利用待定系数法求解析式；
（2）根据函数图象观察
x
的取值范围.
拓展提升
解：（1）直线
y=kx+b
经过点A（2，1）、B（-1，-2）
则
2k+b=1
-k+b=-2
解得
k=1
b=-1
所以函数解析式为
y=x-1.
1.如图，直线
y=kx+b
经过点
A（2，1）、B（-1，-2）两点.
（1）求直线
y=kx+b
的函数解析式；
（2）求不等式
x>kx+b>-2.
拓展提升
（2）直线
y=x-1
和直线
y=x
相交于点（2，1）.
x>x-1
在交点的左侧，所以
x<2.
因为
x-1>-2，解得
x>-1，所以取值范围为
-1y
x
O
y=x
1
2
-1
y=x-1
（2，1）
2
-2
拓展提升
2.画出函数
y=2x-1
的图象，利用图象求：
（1）方程
2x-1=0
的解；
（2）不等式
2x-1<0
的解集；
（3）当
-1≤y≤1
时，x
的取值范围.
解析：（1）利用两点法画出函数图象；
（2）函数图象在x轴下方区域对应的x的取值范围；
（3）观察-1≤y≤1时，函数图象对应的x的取值范围.
拓展提升
解：过点
A（，0）、B（0，-1）画函数y=2x-1的图象，
如图所示.
（1）由图象可知，直线y=2x-1与x轴的交点为A（，0），所以方程2x-1=0的解是图象与x轴的交点的横坐标，即x=.
y
x
O
y=2x-1
A
B
1
1
-1
拓展提升
（2）不等式2x-1<0的解集是函数y=2x-1的图象在x轴下方区域对应的x的取值范围，即x<.
y
x
O
y=2x-1
A
B
1
1
-1
拓展提升
（3）如图，过点（0，1）作x轴的平行线交直线y=2x-1于点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，则点D的坐标为（1，0）.
观察图象可知，当-1≤y≤1时，x的取值范围是0≤x≤1.
y
x
O
y=2x-1
A
B
1
1
-1
C
D
课后作业
请预习一次函数与二元一次方程组的关系的知识。
