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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.3三角形的外角
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21cnjy.com
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2020春?江阴市期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（ ）
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A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
2．（2020春?黑河期中）以下判断正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°
D．三角形的外角是内角的邻补角
3．（2019秋?琼山区校级期末）如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．110°
B．30°
C．150°
D．90°
4．（2019秋?都江堰市期末）如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（ ）
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A．∠1＝∠A+∠B
B．∠1＝∠2+∠A
C．∠1＝∠2+∠B
D．∠2＝∠A+∠B
5．（2019春?玄武区期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在△ABC中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC∠ABC，∠ECD∠ACD，则∠E为（ ）21教育网
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A．22°
B．26°
C．28°
D．30°
6．（2019秋?织金县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠1+∠2＝∠3+∠4
B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1+∠4＝∠2+∠3
D．∠1+∠4＝∠2﹣∠3
7．（2020春?雅安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．105°
B．75°
C．70°
D．60°
8．（2019春?镇江期末）在△ABC，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．80
B．70
C．65
D．60
9．（2019春?溧水区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
10．（2019春?徐州期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；
②∠ACB＝2∠ADB；
③DB平分∠ADC；
④∠ADC＝90°﹣∠ABD；
⑤∠BDC∠BAC．其中正确的结论有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?芝罘区期中）一副含有30°和45°的直角三角尺叠放如图，则图中∠α的度数是
．2-1-c-n-j-y
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12．（2019秋?阳东区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝
．www.21-cn-jy.com
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13．（2019秋?覃塘区期中）如图，若∠A＝30°，∠B＝35°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是
．
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14．（2020春?赣榆区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D在边BC上，若△ACD是直角三角形，则∠BAD的度数为
．2·1·c·n·j·y
15．（2019秋?虹口区校级月考）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝
．21
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com
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16．（2020春?东台市期中）如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1+∠2＝260°，求∠A的度数是
．【来源：21cnj
y.co
m】
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17．（2019春?鲤城区校级期中）（1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图①，△ABC中，∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝60°，则∠BOC＝
．【出处：21教育名师】
（2）如图②，BO，CO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别是△ABC的外角∠DBC，∠BCE的等分线，它们交于点O．∠CBO∠DBC，∠BCO∠BCE．∠A＝β，则∠BOC＝
．（用含β的代数式表示）
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18．（2019秋?大观区校级期中）如图在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论
①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是
．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【版权所有：21教育】
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?鼓楼区期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．21教育名师原创作品
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴
．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵
．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
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20．（2020春?浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．21
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21．（2019秋?碑林区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
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22．（2019秋?洛阳期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
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23．（2019秋?潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
24．（2019秋?普宁市期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝
；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；21·cn·jy·com
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．21·世纪
教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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专题1.3三角形的外角
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21世纪教育网版权所有
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21教育网
1．（2020春?江阴市期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAC＝2∠DAE＝120°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解析】∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，
∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，
∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，
故选：D．
2．（2020春?黑河期中）以下判断正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°
D．三角形的外角是内角的邻补角
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，对各选项分析判断后利用排除法．
【解析】A、应为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；
B、应为三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项错误；
C、根据三角形的内角和定理，若三个内角都小于60°，则内角和小于180°，所以一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°，故本选项正确；【来源：21cnj
y.co
m】
D、应为三角形的外角是相邻内角的邻补角，故本选项错误．
故选：C．
3．（2019秋?琼山区校级期末）如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．110°
B．30°
C．150°
D．90°
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣20°＝110°，
故选：A．
4．（2019秋?都江堰市期末）如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（ ）
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A．∠1＝∠A+∠B
B．∠1＝∠2+∠A
C．∠1＝∠2+∠B
D．∠2＝∠A+∠B
【分析】根据三角形的外角性质判断即可．
【解析】∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1＝∠A+∠B，A选项说法一定成立；
∠1与∠2+∠A的关系不确定，B选项说法不一定成立；
∠1与∠2+∠B的关系不确定，C选项说法不一定成立；
∠2与∠A+∠B的关系不确定，D选项说法不一定成立；
故选：A．
5．（2019春?玄武区期中）如图，在△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC∠ABC，∠ECD∠ACD，则∠E为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．22°
B．26°
C．28°
D．30°
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解析】∵∠1+∠E＝∠2，
∴∠E＝∠2﹣∠1，
∵∠A+3∠1＝∠ACD＝3∠2，
∴∠A＝3∠2﹣3∠1＝3（∠2﹣∠1）＝3∠E＝78°，
∴∠E＝26°．
故选：B．
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6．（2019秋?织金县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠1+∠2＝∠3+∠4
B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1+∠4＝∠2+∠3
D．∠1+∠4＝∠2﹣∠3
【分析】根据外角的性质，可推出∠1+∠4＝∠6，∠6＝∠2﹣∠3，从而推出∠1+∠4＝∠2﹣∠3．故选D．21·cn·jy·com
【解析】∵∠6是△ABC的外角，
∴∠1+∠4＝∠6，﹣﹣﹣（1）；
又∵∠2是△CDF的外角，
∴∠6＝∠2﹣∠3，﹣﹣﹣（2）；
由（1）（2）得：∠1+∠4＝∠2﹣∠3．
故选：D．
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7．（2020春?雅安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．105°
B．75°
C．70°
D．60°
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解析】∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C+∠B＝45°+30°＝75°，
故选：B．
8．（2019春?镇江期末）在△ABC，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（ ）
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A．80
B．70
C．65
D．60
【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题．
【解析】由题意：x+65＝x+x﹣5，
∴x＝70，
故选：B．
9．（2019春?溧水区期末）如图，B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)P是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）【版权所有：21教育】
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A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数．
【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
故选：B．
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10．（2019春?徐州期中）如图，∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；
②∠ACB＝2∠ADB；
③DB平分∠ADC；
④∠ADC＝90°﹣∠ABD；
⑤∠BDC∠BAC．其中正确的结论有（ ）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解析】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°（∠EAC+∠ACF）
＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°（180°+∠ABC）
＝90°∠ABC，∴④正确；
∠BDC＝∠DCF﹣∠DBF∠ACF∠ABC∠BAC，∴⑤正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?芝罘区期中）一副含有30°和45°的直角三角尺叠放如图，则图中∠α的度数是 105° ．21cnjy.com
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【分析】结合图形求出∠2，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解析】由题意得，∠2＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝∠1+∠2＝105°，
故答案为：105°．
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12．（2019秋?阳东区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝ 80° ．2·1·c·n·j·y
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【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解析】由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．
故答案为：80°．
13．（2019秋?覃塘区期中）如图，若∠A＝30°，∠B＝35°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 115° ．21教育名师原创作品
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【分析】连接CD并延长至E，根据三角形的外角的性质确定答案即可．
【解析】连接CD并延长至E，
根据三角形外角的性质得：∠ADE＝∠A+∠ACD，∠BDE＝∠B+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝∠A+∠B+∠C＝30°+35°+50°＝115°，
故答案为：115°．
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14．（2020春?赣榆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D在边BC上，若△ACD是直角三角形，则∠BAD的度数为 45°或15° ．
【分析】分∠ADC＝90°、∠D′AC＝90°两种情况，根据三角形的外角性质计算，得到答案
【解析】当∠ADC＝90°时，∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，
当∠D′AC＝90°时，∠AD′C＝90°﹣∠C＝60°，
∠BAD′＝60°﹣∠B＝15°，
故答案为：45°或15°．
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15．（2019秋?虹口区校级月考）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝ 22.5° ．【来源：21·世纪·教育·网】
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【分析】先根据外角定理和∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝45°，得出∠ACD﹣∠ABC＝45°，再利用角平分线的定义得：∠ACD∠ABC＝20°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝22.5°．【出处：21教育名师】
【解析】∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠A＝45°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝45°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD∠ACD，∠EBC∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC∠ACD∠ABC＝22.5°．
故答案为22.5°
16．（2020春?东台市期中）如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1+∠2＝260°，求∠A的度数是 80° ．
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【分析】根据三角形外角性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质得出∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝260°，根据三角形内角和定理得出∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，即可得出答案．
【解析】∵∠1、∠2是△ABC的外角，∠1+∠2＝260°，
∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝260°，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠A＝80°，
故答案为：80°．
17．（2019春?鲤城
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区校级期中）（1）如图①，△ABC中，∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠A＝60°，则∠BOC＝ 150° ．21
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（2）如图②，BO，CO分别是△ABC的外角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠DBC，∠BCE的等分线，它们交于点O．∠CBO∠DBC，∠BCO∠BCE．∠A＝β，则∠BOC＝ ．（用含β的代数式表示）
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【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；
（2）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC．
【解析】（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）120°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：150°；
（2）∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠DBC+∠ECB）
＝180°（180°+∠A）
．
故答案为：．
18．（2019秋?大观区校级期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论
①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ①④ ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
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【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解析】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
（∠ACD﹣∠ABC）
∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠1）
＝90°∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD，
∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故答案为：①④．
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?鼓楼区期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2 ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
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【分析】证法1：要求证∠BAE+∠CBF+∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACD＝360°，根据三角形外角性质得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论；
证法2：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论．
【解答】证明：证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；
证法2：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．
20．（2020春?浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
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【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．www-2-1-cnjy-com
【解析】∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC∠EBC，∠PCB∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
21．（2019秋?碑林区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校级期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
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【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD＝∠ACE，得到∠ABC＝∠ECD，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACE
∴∠ABC＝∠ECD，
∴AB∥CE；
（2）解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC∠ACD∠ABC∠A＝25°．
22．（2019秋?洛阳期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
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【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ECD，即可求出∠ACE，再利用三角形的外角的性质求出∠BAC即可．
（2）根据三角形外角性质求出∠ECD，根据三角形外角求出∠BAC即可．
【解析】（1）∵∠ECD＝∠B+∠E，∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝60°，
∵EC平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝60°+25°＝85°．
（2）结论：∠BAC＝∠B+2∠E．
理由：∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∠ECD＝∠ACE＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
23．（2019秋?潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．
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【分析】直接利用连接CD并延长点E，再利用三角形外角的性质得出答案．
【解析】连接CD并延长点E，
∵∠ACD＝∠ADE﹣∠A＝∠ADE﹣37°，
∴∠A＝37°，∠ADE＝∠A+∠ACD，
同理可得：∠BCD＝∠BDE﹣28°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ADB＝148°，
∠ACB＝∠ADB﹣∠A﹣∠B，
＝148°﹣37°﹣28°
＝83°．
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24．（2019秋?普宁市期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ 122° ；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；21·世纪
教育网
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．21
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【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解析】（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC∠ACB），
＝180°（∠ABC+∠ACB），
＝180°（180°﹣∠A），
＝180°﹣90°∠A，
＝90°+32°＝122°，
故答案为：122°；
（2）∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，
∴∠1∠ACB，∠2∠ABD，
又∵∠ABD是△ABC的一外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，
∴∠2（∠A+∠ABC）∠A+∠1，
∵∠2是△BEC的一外角，
∴∠BEC＝∠2﹣∠1∠A+∠1﹣∠1∠A；
（3）∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC），
∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，
＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BQC＝90°∠A．
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精品试卷·第
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