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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题2.6角平分线的性质
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21教育网
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2020?碑林区校级模拟）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．5：4
B．5：3
C．4：3
D．3：4
2．（2020春?高明区期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．56
B．28
C．14
D．12
3．（2020?怀化）在Rt△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．3
B．
C．2
D．6
4．（2020春?龙岗区期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2020春?锦江区期末）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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A．PQ＜10
B．PQ＞10
C．PQ≥10
D．PQ≤10
6．（2020?岐山县二模）如图，在R
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）21·cn·jy·com
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A．2
B．2
C．
D．
7．（2020?丽水模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，小明进行如图步骤尺规作图，根据操作，对结论判断正确的序号是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．
A．①②③④
B．③④
C．②③
D．②③④
8．（2020?南山区模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．4
B．5
C．9
D．10
9．（2020?长春模拟）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（ ）21教育名师原创作品
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A．4cm2
B．2cm2
C．4cm2
D．2cm2
10．（2019秋?霸州市期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（ ）21
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A．20
B．12
C．10
D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?宁德期末）如图，已知△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D到AB边的距离为
．21世纪教育网版权所有
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12．（2020?湘潭）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为
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13．（2020春?市北区期末）如图，△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为
cm．
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14．（2020春?太原期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为
．
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15．（2020春?南岗区校级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为
cm．
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16．（2019秋?安居区期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是
．21
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17．（2019秋?余姚市期末）在正方形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是
点．
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18．（2019秋?南江县期末）如图，△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝
．
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，2·1·c·n·j·y
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
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20．（2019秋?临西县期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
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21．（2019秋?呼和浩特期末）已知：如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
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22．（2019秋?涡阳县期末）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．21·世纪
教育网
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23．（2019秋?交城县期末）已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．
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24．（2019秋?潮州期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题2.6角平分线的性质
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【出处：21教育名师】
1．（2020?碑林区校级模拟）如图，在Rt
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．5：4
B．5：3
C．4：3
D．3：4
【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD和△ACD的面积，最后求出答案即可．
【解析】过D作DF⊥AB于F，
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∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），
∴DF＝CD，
设DF＝CD＝R，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB5，
∴S△ABDR，S△ACDR，
∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，
故选：B．
2．（2020春?高明区期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．56
B．28
C．14
D．12
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积AB?DE14×4＝28．
故选：B．
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3．（2020?怀化）在Rt
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）21
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．
C．2
D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
【解析】∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
4．（2020春?龙岗区期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，从而得解．
【解析】如图，过点P作PD⊥OB于D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC＝PD＝3，
即点P到OB的距离等于3．
故选：A．
5．（2020春?锦江区期末）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．PQ＜10
B．PQ＞10
C．PQ≥10
D．PQ≤10
【分析】过P作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质得出PC＝PD＝10，再根据垂线段最短得出即可．
【解析】过P作PD⊥OB于D，
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∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OA边的距离等于10，
∴PD＝PC＝10，
∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），
故选：C．
6．（2020?岐山县二模）如图，在Rt△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．2
C．
D．
【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．
【解析】作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：A．
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7．（2020?丽水模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，小明进行如图步骤尺规作图，根据操作，对结论判断正确的序号是（ ）
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①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．
A．①②③④
B．③④
C．②③
D．②③④
【分析】利用基本作图得到DG⊥BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD＝CD，则AD为△ABC的中线，则可对①进行判断；再证明DG为△ABC的中位线，则可对②进行判断；然后根据三角形面积公式对③④进行判断．
【解析】由作法得DG垂直平分BC，
∴DG⊥BC，BD＝CD，
∴AD为△ABC的中线，所以①错误；
∵∠C＝90°，
∴DG∥AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴AC＝2DG，所以②正确；
BG＝AG，
∴S△ADC＝S△ABD，所以③正确；
S△ADG＝S△BDG，
∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正确．
故选：D．
8．（2020?南山区模拟）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
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A．4
B．5
C．9
D．10
【分析】作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．21·cn·jy·com
【解析】作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG5×2＝5．
故选：B．
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9．（2020?长春模拟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．4cm2
B．2cm2
C．4cm2
D．2cm2
【分析】先确定OB是∠MON的角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线，得出∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，根据等腰三角形的性质得出∠BCN＝60°，解直角三角形求得BD，然后根据三角形面积公式求得△BOC的面积，进而求得四边形OABC的面积．
【解析】由题意可知OB是∠MON的角平分线，
∵∠MON＝60°，
∴∠BON＝30°，
作BD⊥ON于D，
∵OC＝BC＝2，
∴∠BOC＝∠OBC＝30°，
∴∠BCN＝60°，
∴BDBC，
∴S△BOCOC×BD，
∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝2，
故选：B．
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10．（2019秋?霸州市期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（ ）21教育网
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A．20
B．12
C．10
D．8
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝2，根据三角形的面积公式计算即可．21cnjy.com
【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
（AB+BC+AC）×OD
10×2
＝10，
故选：C．
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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?宁德期末）如图，已知△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D到AB边的距离为 2 ．
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【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD是三角形的角平分线，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB边的距离是2．
故答案为：2．
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12．（2020?湘潭）如图，点P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 3 ．【来源：21cnj
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【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
13．（2020春?市北区期末）如图，△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 1 cm．
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【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PD＝PF，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【解析】过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PD＝PF，
∵△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴，
即，
解得：PD＝1（cm），
故答案为：1．
14．（2020春?太原期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为 3 ．
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【分析】当DE⊥AB时，线段DE的长度最小，根据角平分线的性质得出CD＝DE，代入求出即可．
【解析】当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
即线段DE
的长度的最小值是3，
故答案为：3．
15．（2020春?南岗区校级期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为 3 cm．
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【分析】先根据角平分线的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质得到DE＝DF，再利用三角形面积公式得到AB×DEDF×AC＝21，所以8×DEDE×6＝21，然后解关于DE的方程即可．21世纪教育网版权所有
【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴AB×DEDF×AC＝21，
即8×DEDE×6＝21，
∴DE＝3（cm）．
故答案为3．
16．（2019秋?安居区期末）三条公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处 ．www.21-cn-jy.com
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【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解析】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故答案为：∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
17．（2019秋?余姚市期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是 M 点．www-2-1-cnjy-com
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【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解析】由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等，
故答案为：M．
18．（2019秋?南江县期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝ 6：8：3 ．21教育名师原创作品
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【分析】先根据角平分线的性质得到P点到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三边的距离相等，设这个距离为m，然后根据三角形面积公式得到S△PAB：S△PBC：S△PCA＝AB：BC：AC．
【解析】∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，
∴P点到三边的距离相等，
设这个距离为m，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCAAB×mBC×mAC×m
＝AB：BC：AC
＝30：40：15
＝6：8：3．
故答案为6：8：3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
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【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；21·世纪
教育网
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DH＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB∠ACB40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积DF?AC2×4＝4．
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20．（2019秋?临西县期末）已知：如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
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【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
【解析】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
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21．（2019秋?呼和浩特期末）已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
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【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解析】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，又CE平分∠BCD，
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
22．（2019秋?涡阳县期末）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
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【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
【解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，
∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD＝PM，
同理，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上．
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23．（2019秋?交城县期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．
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【分析】根据条件可得到FM＝FN，再根据角的度数可求得∠NEF＝75°＝∠MDF，可证明△EFM≌△DFN，可得到FE＝FD．【版权所有：21教育】
【解析】证明：连接BF，
∵F是△ABC的角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠MFE＝15°，
∴∠MEF＝75°＝∠NDF，
在△DNF和△EMF中，
，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴FE＝FD．
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24．（2019秋?潮州期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
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【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．
【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC．
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精品试卷·第
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