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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.6最短路径问题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?巴南区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解析】作点P关于直线l的对称点C，连接QC交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
2．（2019秋?庐江县期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．10
B．11
C．11.5
D．13
【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【来源：21cnj
y.co
m】
【解析】∵直线m垂直平分AB，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6+4＝10．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
3．（2019秋?凤山县期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝5，则EP+CP的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．4
C．5
D．7
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【解析】作点E关于AD的对称点F，连接CF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF是△ABC的中线，
∴CF＝AD＝5，
即EP+CP的最小值为5，
故选：C．
4．（2018秋?海淀区校级期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．PA＝PC
B．PA＝PE
C．∠APE＝90°
D．∠APC＝∠DPE
【分析】作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到∠APC＝∠DPE．
【解析】如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
由对称性可知：∠EPD＝∠FPD，
∵∠CPA＝∠FPD，
∴∠APC＝∠DPE，
∴PA+PE最小时，点P应该满足∠APC＝∠DPE，
故选：D．
5．（2019秋?青山区期中）如图，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP+PQ+QN最小时，则关于∠1，∠2的数量关系正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠1+∠2＝90°
B．2∠2﹣∠1＝30°
C．2∠1+∠2＝180°
D．∠1﹣∠2＝90°
【分析】如图，作M关于OB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据外角的性质得到∠1＝∠O+∠OPM，∠OPM＝∠1﹣∠O＝∠1﹣30°，由轴对称的性质得到∠OPM＝∠OPM′，∠OPM′＝∠QPN，于是得到∠QPN＝∠1+30°，由于∠3＝∠O+∠2＝30°+∠2，∠NQN′＝∠QPN+∠2＝∠1﹣30°+∠2，∠NQN′＝2∠3，即可得到结论．21教育名师原创作品
【解析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠1＝∠O+∠OPM，
∴∠OPM＝∠1﹣∠O＝∠1﹣30°，
∵∠OPM＝∠OPM′，∠OPM′＝∠QPN，
∴∠QPN＝∠PQO+30°
∵∠3＝∠O+∠2＝30°+∠2，∠NQN′＝∠QPN+∠2＝∠1﹣30°+∠2，∠NQN′＝2∠3，
∴∠1﹣30°+∠2＝2（30°+∠2），
∴∠1﹣∠2＝90°．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6．（2019秋?崇川区校级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝9，则AC为（ ）21
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com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．14
B．13
C．12
D．10
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝18，求得EG＝12，于是得到结论．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝9，
∴BG＝2BF＝18，
∴EG＝12，
∵CE＝CG＝6，
∴AC＝BC＝12，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
7．（2019秋?葫芦岛期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．6
B．10
C．15
D．16
【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解．
【解析】如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
连接AD交EF于点M，
∵等腰△ABC的底边BC长为6，
点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，
∴AM＝CM，
此时△CDM的周长为：CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+CD
CD的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，
△CDM的周长最小．
∵S△ABCBC?AD，
∴6?AD＝36，
∴AD＝12，
∴AD+CD＝12+3＝15．
故选：C．
8．（2018秋?龙沙区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（ ）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．45°
B．90°
C．135°
D．150°
【分析】依据轴对称的性质，即可得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，进而得出∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，再根据∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O，即可得出结论．2·1·c·n·j·y
【解析】由轴对称可得，OP＝OP1、AP＝AP1，而AO＝AO，
∴△AOP≌△AOP1（SSS），
∴∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，
同理可得，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，
∴∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O＝90°，
故选：B．
9．（2019秋?诸暨市期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．118°
B．121°
C．120°
D．90°
【分析】如图，四边形ABCD中，∠BA
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为【出处：21教育名师】
【解析】如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH，
∵∠DAB＝121°，
∴∠HAA′＝59°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM
＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．
故选：A．
10．（2018秋?云梦县期中）如图，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OB＝20°，M，N分別是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．β﹣α＝30°
B．β﹣α＝40°
C．β+α＝180°
D．β+α＝200°
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，KD∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【解析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，21
cnjy
com
易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，
∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．
故选：D．
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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?滦州市期末）已知：如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠AOB＝45°，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝ ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据题意和轴对称的性质，利用勾股定理可以得到P1P2的长，从而可以得到△PMN的周长．
【解析】连接OP1，OP2，
由题意可得，OP1＝OP，OP2＝OP，∠P1OB＝∠POB，∠POA＝∠P2OA，
∵∠AOB＝45°，OP＝2，
∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP2＝2，
∴P1P2＝2，
∵PN＝P1N，PM＝P2M，
∴PM+PN+MN＝P2M+P1N+MN＝P1P2＝2，
即△PMN的周长＝2，
故答案为：2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
12．（2019秋?东城区校级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是 5 ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】连接AD，由于△ABC是等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解析】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC?AD2×AD＝4，解得AD＝4，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM周长的最小值＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝42＝4+1＝5．
故答案为：5．
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13．（2019春?福鼎市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，等边△ABC中，作∠ABP＝18°交AC于点P，Q为边BC上一点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝ 48 °．【版权所有：21教育】
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【分析】过B点作PQ′⊥BC于Q′，根据角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的和差关系求出∠PBQ′，再根据直角三角形的性质求出当BP+PQ的值最小时∠BPQ的度数，从而求解．21教育网
【解析】过B点作PQ′⊥BC于Q′，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABP＝18°，
∴∠PBQ′＝60°﹣18°＝42°，
∴当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝90°﹣42°＝48°．
故答案为：48．
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14．（2019秋?自贡期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是 10 ．
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【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
【解析】∵直线m垂直平分AB，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6+4＝10．
故答案为10．
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15．（2019秋?镇原
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 160° ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据要使△AMN的周长最小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠AA″A′＝80°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
【解析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵∠DAB＝100°，
∴∠AA′M+∠A″＝80°．
由轴对称图形的性质可知：∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°．【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：160°．
16．（2019秋?中山市校级期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是 6 ．21·cn·jy·com
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【分析】连接BE，交AD于M，则BE就是PE+PC的最小值，根据等边三角形的三线合一的性质从而证得BE＝AD＝6．
【解析】如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴AD等边三角形ABC的边BC上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
连接BE，交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，
∵E是AC的中点，
∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高，
∴BE＝AD，
∵等边三角形ABC的边BC上的高为6，
∴BE＝AD＝6．
∴EM+CM的最小值是6．
故答案为：6．
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17．（2019秋?扶沟县期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是 6 ．
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【分析】先连接CF，再根据EB＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【解析】连接CF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴EB＝EC，
当B、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD＝CF＝6，
∴EF+BE的最小值为6，
故答案为：6
18．（2019秋?硚口区期中）如图，牧
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)马人从A地出发，先到草地边MN的某处点C牧马，再到河边EF的某处点D牧马，然后回到B处，若从A到B走的是最短路径，CA与DB的延长线交于点H，设锐角∠1＝α，则∠2的的大小为 180°﹣2α （用含α的式子表示）．
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【分析】作
A
于
MN的对称点A′，B
关于
EF
的对称点B′，连接A′B′交MN于C，交EF于D，此时AC+CD+BD的值最小．
【解析】作
A
于
MN的对称点A′，B
关于
EF
的对称点B′，连接A′B′交MN于C，交EF于D，此时AC+CD+BD的值最小．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵∠2＝180°﹣（∠ACD+∠BDC）∠ACD＝180°﹣2∠NCD，∠BDC＝180°﹣2∠NDC，
∴∠2＝180°﹣[360°﹣2（∠NCD+∠NDC）]＝180°﹣[360°﹣2（180°﹣∠1）]＝180°﹣2∠1＝180°﹣2α，21世纪教育网版权所有
故答案为180°﹣2α．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?大丰区期中）用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
在直线m上求作一点P，使得PA+PB最短．
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【分析】作点A关于直线m的对称点A′，连接BA′交直线m于点P，点P即为所求．
【解析】如图，点P即为所求．
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20．（2020春?沈河区期末）如图，点A，B，C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空：
（1）画出格点△ABC关于直线MN轴对称的△A′B'C′；
（2）画出△ABC中BC边上的高线AD；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A′、B′、C′即可；
（2）利用网格特点和三角形高的定义画图；
【解析】（1）如图，△A′B'C′为所作；
（2）如图，AD为所作；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
21．（2020春?龙泉驿区期末）如图所示，有两个村庄A，B在一公路CD的一侧，如果把A，B村庄的位置放在格点图中．
（1）请作出A点关于CD的对称点A′；
（2）若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P，使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位置．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）直接利用对称点的性质进而得出答案；
（2）直接利用轴对称设计求最短路线的方法得出P点位置．
【解析】（1）如图所示：A′点即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
22．（2020春?成都期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）△ABC的面积＝3×32×31×21×3；
（3）如图所示，点P即为所求．
23．（2019秋?海州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．www.21-cn-jy.com
（1）△ABC的面积为 5 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）
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【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；
（3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点．
【解析】（1）S△ABC＝3×42×21×42×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
故答案为：5；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
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24．（2019秋?衡水期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值．
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【分析】（1）如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，于是得到结论；
（2）如图，过D作DF⊥BC于F，过F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作EF⊥AC交CD于P，则此时，PA+PE的值最小；PA+PE的最小值＝EF，根据角平分线的性质得到DA＝DF，即点A与点F关于CD对称，根据直角三角形的性质即可得到结论．2-1-c-n-j-y
【解析】（1）如图，作点E关于CD的对称点F连接AF交CD于点P，
则此时，PA+PE的值最小；
点P即为所求；
（2）如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
PA+PE的最小值＝EF，
∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，
∴DA＝DF，
即点A与点F关于CD对称，
∴CF＝AC＝10，
∵∠ACB＝30°，
∴EFCF＝5．
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精品试卷·第
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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.6最短路径问题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
2-1-c-n-j-y
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21教育名师原创作品
1．（2019秋?巴南区期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A．
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B．
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C．
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D．
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2．（2019秋?庐江县期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．10
B．11
C．11.5
D．13
3．（2019秋?凤山县期中）如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝5，则EP+CP的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．2
B．4
C．5
D．7
4．（2018秋?海淀区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
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A．PA＝PC
B．PA＝PE
C．∠APE＝90°
D．∠APC＝∠DPE
5．（2019秋?青山区期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP+PQ+QN最小时，则关于∠1，∠2的数量关系正确的是（ ）
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A．∠1+∠2＝90°
B．2∠2﹣∠1＝30°
C．2∠1+∠2＝180°
D．∠1﹣∠2＝90°
6．（2019秋?崇川区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校级期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝9，则AC为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．14
B．13
C．12
D．10
7．（2019秋?葫芦岛期中）如图，等腰
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．6
B．10
C．15
D．16
8．（2018秋?龙沙区期末）如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．45°
B．90°
C．135°
D．150°
9．（2019秋?诸暨市期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
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A．118°
B．121°
C．120°
D．90°
10．（2018秋?云梦县
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，∠AOB＝20°，M，N分別是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）21教育网
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A．β﹣α＝30°
B．β﹣α＝40°
C．β+α＝180°
D．β+α＝200°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?滦州市期末）已知：如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠AOB＝45°，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝
．【来源：21·世纪·教育·网】
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12．（2019秋?东城区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是
．21
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13．（2019春?福鼎市期中）如图，等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边△ABC中，作∠ABP＝18°交AC于点P，Q为边BC上一点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝
°．【出处：21教育名师】
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14．（2019秋?自贡期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是
．21
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15．（2019秋?镇原县期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是
．
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16．（2019秋?中山市校级期中）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是
．
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17．（2019秋?扶沟县期中）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是
．
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18．（2019秋?硚口
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区期中）如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN的某处点C牧马，再到河边EF的某处点D牧马，然后回到B处，若从A到B走的是最短路径，CA与DB的延长线交于点H，设锐角∠1＝α，则∠2的的大小为
（用含α的式子表示）．21·世纪
教育网
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?大丰区期中）用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
在直线m上求作一点P，使得PA+PB最短．
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20．（2020春?沈河区期末）如图，点A，B，C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空：21cnjy.com
（1）画出格点△ABC关于直线MN轴对称的△A′B'C′；
（2）画出△ABC中BC边上的高线AD；
（3）若AB＝5，点P是AB上一点则CP的最小值为
．
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21．（2020春?龙泉驿区期末）如图所示，有两个村庄A，B在一公路CD的一侧，如果把A，B村庄的位置放在格点图中．www-2-1-cnjy-com
（1）请作出A点关于CD的对称点A′；
（2）若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P，使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位置．
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22．（2020春?成都期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．【来源：21cnj
y.co
m】
（1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
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23．（2019秋?海州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．【版权所有：21教育】
（1）△ABC的面积为
；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）
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24．（2019秋?衡水期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值．
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