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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.3等腰三角形的性质
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2020?青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．2-1-c-n-j-y
故选：D．
2．（2020春?雨花区期末）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4
B．6，6
C．4，8
D．6，6或4，8
【分析】由于没有明确已知的边长是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来判断所求的解是否符号要求．
【解析】当4为底时，腰长为：（16﹣4）÷2＝6；4，6，6能构成三角形；
当4为腰时，底长为：16﹣4×2＝8；4+4＝8，不能构成三角形；
所以另外两边的长分别是6，6，
故选：B．
3．（2020春?叙州区期末）已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．8
B．11
C．12
D．11或13
【分析】首先根据|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解析】∵|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0
∴
解得：，
当3为腰时，三边为3，3，5，由三角形三边关系定理可知，周长为：3+3+5＝11．
当5为腰时，三边为5，5，3，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+3＝13．
故选：D．
4．（2020春?宁德期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：C．
5．（2020?绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）【版权所有：21教育】
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A．16°
B．28°
C．44°
D．45°
【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，www-2-1-cnjy-com
由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．
【解析】延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，
∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
故选：C．
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6．（2020?自贡）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
7．（2019秋?利川市期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，AD是等腰△ABC的顶角的平分线，E点在AB上，F点在AC上，且AD平分∠EDF，则下列结论错误的是（ ）
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A．BE＝CF
B．∠BDE＝∠CDF
C．∠BED＝∠CFD
D．∠BDE＝∠DAE
【分析】首先证明△AED≌△AFE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，利用等式的性质可得EB＝CF，再利用全等三角形的性质可得∠EDA＝∠FDA，根据等腰三角形三线合一可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等角的余角相等可得∠BDE＝∠CDF，根据等角的补角相等可得∠BED＝∠CFD，条件无法证明∠BDE＝∠DAE．
【解析】∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，AB＝AC，
∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA＝∠FDA，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFE（ASA），
∴AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
∴EB＝FC，故A正确；
∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴AD⊥CB，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△AED≌△AFE，
∴∠EDA＝∠FDA，
∴∠BDE＝∠CDF，故B正确；
∵△AED≌△AFE，
∴∠AED＝∠AFD，
∴∠BED＝∠CFD，故C正确；
假设∠A＝∠BDE，则∠A+∠EDA＝90°，
∴DE⊥AB，
∵条件中没有DE⊥AB，
∴∠A＝∠BDE错误，故D错误；
故选：D．
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8．（2019秋?陇县期中）在△ABC中，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝AC，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，且∠BAE＝90°，若DE＝1，则BE＝（ ）
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A．4
B．3
C．2
D．无法确定
【分析】由于AB＝AC，根据等边对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等角可以得到：∠B＝∠C＝30°，又因为AC边的垂直平分线交BC于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝CE，再根据等边对等角得到∠C＝∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠B的度数，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C．
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAE＝180°，即3∠B+90°＝180°，
∴∠B＝30°
∴∠C＝30°，
∵DE＝1，
∴EC＝2＝AE，
∴BE＝4，
故选：A．
9．（2020春?福田区期中）如图，在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
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A．2.5
s
B．3
s
C．3.5
s
D．4
s
【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解析】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故选：D．
10．（2020?上城区校级三模）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（ ）
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A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
【分析】如图，在AC的延长线上截取
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CE＝CB，连接PE．由AB＝AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB＝70°，由角平分线的定义推出∠APB∠ACB＝35°，∠BCD＝∠ECD（180°﹣70°）＝55°，根据角的和差关系推出∠D＝∠ECD﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°．
【解析】如图，在AC的延长线上截取CE＝CB，连接PE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB∠ACB＝35°，CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠ECD（180°﹣70°）＝55°，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°．
故选：A．
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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?金牛区期末）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为x度，则此三角形的顶角为 2x 度．www.21-cn-jy.com
【分析】此题要分两种情况推论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是180°，得顶角的度数．
【解析】如图，
（1）顶角是钝角时，∠B＝（90﹣x）°，
故顶角＝180°﹣2（90﹣x）°＝2x°；
（2）顶角是锐角时，∠B＝（90﹣x）°，
故顶角＝180°﹣2（90﹣x）°＝2x°．
综上所述，此三角形的顶角为2x度．
故答案为：2x．
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12．（2020?浙江自主招生）等腰三角形，一腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为 6或8 ．21
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【分析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，列方程解得即可．
【解析】设腰长为x，底边长为y，
则或，
解得：或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8．
故答案为：6或8．
13．（2020?邗江区二模）如图，直线l
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝ 100 °．【来源：21cnj
y.co
m】
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【分析】根据等边三角形的性质可得角A等于60度，再根据两直线平行内错角相等即可求出角2的度数．
【解析】如图，
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∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠3＝∠1＝40°，
∴∠4＝60°+40°＝100°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝100°．
故答案为：100．
14．（2020春?碑林区校级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和E分别是边BC和AC上的点，且满足DB＝DA＝DE，∠CDE＝50°，则∠BAC＝ 115 °．21
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【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求得即可．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝α，
∵DB＝DA＝DE，
∴∠DAB＝∠B＝α，∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠CDE+∠C＝50°+α，
∴∠DAE＝50°+α，
∴∠BAC＝∠DAE+∠DAB＝50°+2α，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴50°+2α+α+α＝180°，解得α＝32.5°，
∴∠BAC＝50°+2×32.5°＝115°，
故答案为115．
15．（2020?黄石模拟）如图，已知△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，点E、F在AB边上，且AE＝AC，BF＝BC，∠ECF＝40°，则∠ACB＝ 100° ．21·cn·jy·com
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【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEC+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BFC＝140°，根据等腰三角形的性质可得∠ACE+∠BCF＝140°，再根据角的和差关系即可解决问题．21cnjy.com
【解析】∵∠ECF＝40°，
∴∠AEC+∠BFC＝140°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF，
∴∠ACE+∠BCF＝140°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCF﹣∠ECF＝140°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
16．（2020春?文圣区期末）已知：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，则∠A＝ 36 度．21·世纪
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【分析】连结BE，根据线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质可得5∠A＝180°，即可得出答案．
【解析】连结BE，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ABE＝∠A，
∵BF垂直平分AC，
∴∠BEF＝∠C，
∵∠BEC＝∠ABE+∠A，
∴∠C＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴5∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
故答案为：36．
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17．（2020?上城区校级三模）若周长为12的等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是 3＜x＜6 ．
【分析】首先用x表示底边，并且底边要大于零，得到关于x的不等式；利用三角形的任意两边之和大于第三边得到关于x的不等式．解不等式组即可．
【解析】∵腰长为x，且等腰三角形的周长为12
∴底边为12﹣2x，并且12﹣2x＞0，得x＜6．
又∵x+x＞12﹣2x，解得x＞3．
∴x的取值范围是3＜x＜6．
故答案为：3＜x＜6．
18．（2020春?宁德期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AC＝AB，△ABC的角平分线AD交BE于点F，若∠AFE＝32°，则∠FBD＝ 58 °．
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【分析】根据三线合一得到∠ADB＝90°，再根据对顶角相等得到∠BFD＝32°，从而可算出∠FBD．
【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∵∠AFE＝32°，
∴∠BFD＝32°，
∴∠FBD＝90°﹣32°＝58°，
故答案为：58．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?雅安期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，∠A＝36°．求证：AD＝BC．2·1·c·n·j·y
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【分析】根据线段的垂直平分线到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线段两端点的距离相等即可证得△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求得ABD＝36°，利用三角形内角和求得∠C＝72°，利用三角形外角的性质求得∠BDC＝72°，即可得到BD＝BC＝AD．21教育名师原创作品
【解答】证明：∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠C＝∠BDC，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC．
20．（2020春?龙岗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝4，△CBD的周长为20，求BC的长．
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【分析】（1）由在△ABC中，AB＝A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，∠A＝40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）根据AE＝4，AB＝AC，得出CD+AD＝4，由△CBD的周长为20，代入即可求出答案．
【解答】（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°
（2）解：∵AE＝4，
∴AC＝AB＝2AE＝8，
∵△CBD的周长为20，
∴BC＝20﹣（CD+BD）＝20﹣（CD+AD）＝20﹣8＝12，
∴BC＝12．
21．（2019秋?越城区期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：
变式1：等腰三角形ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数．
变式2：等腰三角形ABC中，∠A＝45°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上两道变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围．
【分析】（1）由条件可判断∠A为顶角，再利用三角形内角和定理求得∠B的度数．
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，得到∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，当x＝60时，等腰三角形ABC是等边三角形，得到∠B的度数只有一个，于是得到结论．【出处：21教育名师】
【解析】（1）变式1：∵∠A＝100°，
∴∠A只能为△ABC的顶角，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C（180°﹣100°）＝40°；
变式2：若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝67.5°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×45°＝90°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝45°；
故∠B＝67.5°或90°或45°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，当x＝60时，等腰三角形ABC是等边三角形，
∴∠B的度数只有一个，
∴当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围为90≤x＜180或60．
22．（2020春?雅安期末）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE的周长为10，且AC﹣BC＝2，求AC、BC的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据线段垂直平分线性质求AE＝BE，求出AC+BC＝10，解方程组求出AC、BC即可．
【解析】∵D是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为10，
∴BC+CE+BE＝10，
∴AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝6，BC＝4．
23．（2020春?沈河
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区期末）如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）根据平行线和全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DCO，
在△BOE和△DOC中，，
∴△BOE≌△DOC（AAS），
∴BO＝OD，
∵AB＝AD，
∴AO平分∠BAC；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAD＝40°．
24．（2020春?叙州区期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝ 100° ；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
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【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；
（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．
【解析】（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．
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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.3等腰三角形的性质
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
【版权所有：21教育】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21教育名师原创作品
1．（2020?青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
2．（2020春?雨花区期末）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）21
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com
A．4，4
B．6，6
C．4，8
D．6，6或4，8
3．（2020春?叙州区期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．8
B．11
C．12
D．11或13
4．（2020春?宁德期末）如图，为了让电
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
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A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
5．（2020?绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）www.21-cn-jy.com
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A．16°
B．28°
C．44°
D．45°
6．（2020?自贡）如图，在Rt△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
7．（2019秋?利川市期末）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD是等腰△ABC的顶角的平分线，E点在AB上，F点在AC上，且AD平分∠EDF，则下列结论错误的是（ ）
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A．BE＝CF
B．∠BDE＝∠CDF
C．∠BED＝∠CFD
D．∠BDE＝∠DAE
8．（2019秋?陇县期中）在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，且∠BAE＝90°，若DE＝1，则BE＝（ ）
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A．4
B．3
C．2
D．无法确定
9．（2020春?福田区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
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A．2.5
s
B．3
s
C．3.5
s
D．4
s
10．（2020?上城区校级三模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（ ）
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A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?金牛区期末）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为x度，则此三角形的顶角为
度．21·cn·jy·com
12．（2020?浙江自主招生）等腰三角形，一腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为
．【来源：21·世纪·教育·网】
13．（2020?邗江区二模）如图，直线l
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝
°．21·世纪
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14．（2020春?碑林区校级期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和E分别是边BC和AC上的点，且满足DB＝DA＝DE，∠CDE＝50°，则∠BAC＝
°．www-2-1-cnjy-com
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15．（2020?黄石模拟）如图，已知△ABC中，点E、F在AB边上，且AE＝AC，BF＝BC，∠ECF＝40°，则∠ACB＝
．21
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16．（2020春?文圣区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，则∠A＝
度．
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17．（2020?上城区校级三模）若周长为12的等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是
．
18．（2020春?宁德期末）如图，在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，AC＝AB，△ABC的角平分线AD交BE于点F，若∠AFE＝32°，则∠FBD＝
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?雅安期末）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，∠A＝36°．求证：AD＝BC．21教育网
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20．（2020春?龙岗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．2·1·c·n·j·y
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝4，△CBD的周长为20，求BC的长．
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21．（2019秋?越城区期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：
变式1：等腰三角形ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数．
变式2：等腰三角形ABC中，∠A＝45°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上两道变式题．
（2）解（1）后，小敏发
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围．
22．（2020春?雅安期末）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE的周长为10，且AC﹣BC＝2，求AC、BC的长．21cnjy.com
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23．（2020春?沈河区期末）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．2-1-c-n-j-y
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
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24．（2020春?叙州区期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．【来源：21cnj
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（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝
；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
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