中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.4等腰三角形的判定
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21·世纪
教育网
1．（2019秋?肥城市校级月考）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3个
B．4个
C．5个
D．2个
2．（2019秋?河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（ ）
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形
D．∠A和∠B互余
3．（2019秋?东海县期中）△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（ ）【版权所有：21教育】
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
4．（2020春?松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
5．（2020?海门市一模）线段A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．4
B．5
C．6
D．7
6．（2020春?阜宁县期中）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm
B．3cm、3cm、4cm
C．1cm、3cm、1cm
D．2cm、2cm、4cm
7．（2020?衡水模拟）在证明等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（ ）
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D
②取BC边的中点D，连接AD
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．（2019秋?新泰市期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（ ）21世纪教育网版权所有
①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．（2019秋?江油市期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．5
B．4
C．3
D．2
10．（2019秋?西青区期末）如图，在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．6
B．7
C．8
D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?田家庵区期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有
个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
12．（2019秋?永定区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为
．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
13．（2019秋?樊城区期末）已知：如图△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为
．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
14．（2019秋?来凤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有
个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2019秋?江油市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有
个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
16．（2018秋?恩施
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH，添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管
根．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
17．（2019春?盐湖区校级月考）在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为
时，△ABC是等腰三角形．2-1-c-n-j-y
18．（2018秋?宿松县期末）如图，△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋?邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥ACwww-2-1-cnjy-com
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
20．（2020?沙坪坝区自主招
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．21·cn·jy·com
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
21．（2019秋?嘉祥县期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系
．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
22．（2019秋?确山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．2·1·c·n·j·y
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
23．（2020?恩施州模拟）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．21教育网
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
24．（2019秋?永城市期末）如图，在四边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．【出处：21教育名师】
（1）求证：CG平分∠BCD．
（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.4等腰三角形的判定
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21cnjy.com
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
www-2-1-cnjy-com
1．（2019秋?肥城市校级月考）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3个
B．4个
C．5个
D．2个
【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
【解析】共有5个．
∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形；
∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD∠ABC＝36°＝∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：C．
2．（2019秋?河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（ ）
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形
D．∠A和∠B互余
【分析】根据等腰直角三角形的判定解答即可．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，
∴∠C＝90°，
即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余
故选：B．
3．（2019秋?东海县期中）△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】发现∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到二角相等，根据等腰三角形的判定可得答案．
【解析】∵∠EBC+∠C＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠BAD
∴∠BAD＝∠CAD，∠CAD+∠C＝90°∠BAD+∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴为等腰三角形．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
4．（2020春?松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
5．（2020?海门市一模）线段AB在如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】根据题意可得，以点B为圆心，BA长为半径画圆，圆与格点的交点即为符合条件的点C．
【解析】如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，
所以所有符合条件的点C的个数是6个．
故选：C．
6．（2020春?阜宁县期中）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm
B．3cm、3cm、4cm
C．1cm、3cm、1cm
D．2cm、2cm、4cm
【分析】根据三角形的三边关系即可作出判断．
【解析】根据三角形的三边关系可知：
A.1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意；
B.3+3＞4，能构成三角形，而且是等腰三角形，符合题意；
C.1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意；
D.2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
7．（2020?衡水模拟）在证明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（ ）
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D
②取BC边的中点D，连接AD
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①②③分别从能否判定△ABD≌△ACD来分析，④从辅助线本身作法来分析即可．
【解析】①作∠BAC的平分线AD交BC于点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故①正确；21·cn·jy·com
②取BC边的中点D，连接AD，则∠B＝∠C，BD＝CD，AD＝AD，无法判定△ABD≌△ACD，故没法证明AB＝AC，故②错误；【来源：21·世纪·教育·网】
③过点A作AD⊥BC，垂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)足为点D，则由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故③正确；2-1-c-n-j-y
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法错误，故④错误．【版权所有：21教育】
综上，正确的有①③．
故选：B．
8．（2019秋?新泰市期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（ ）
①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据角平分线的定义
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到∠DBF＝∠CBF，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠CBF，推出△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，于是得到DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；根据三角形的内角和和角平分线的定义得到∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；推出DF不一定等于EF，故④错误．
【解析】∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误；
故选：C．
9．（2019秋?江油市期末）如图：D为△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】延长BD交AC于E，如图，利
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解析】延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
10．（2019秋?西青区期末）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解析】∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝2，ED＝6，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝8，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?田家庵区期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 8 个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】以A点为顶点的等腰三角形可作3个，以B点为顶点的等腰三角形可作3个，以AB为底边的等腰三角形可作2个．
【解析】如图，△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
故答案为8．
12．（2019秋?永定区期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 124°或76°或28° ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解析】∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝28°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝28°，
∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC（180°﹣28°）＝76°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝28°；
故答案为：124°或76°或28°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
13．（2019秋?樊城区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 70°或40°或20° ．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】分三种情形分别求解即可；
【解析】如图，有三种情形：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
14．（2019秋?来凤县期末）如图，在平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 6 个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解析】①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故答案为：6．
15．（2019秋?江油
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 9 个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．21教育名师原创作品
【解析】①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
16．（2018秋?恩施市期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH，添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 5 根．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】因为每根钢管的长度相等，可推出图中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的5个三角形都为等腰三角形，再根据外角性质，推出最大的∠0BQ的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数．21
cnjy
com
【解析】如图所示，∠AOB＝15°，
∵OE＝FE，
∴∠GEF＝∠EGF＝15°×2＝30°，
∵EF＝GF，所以∠EGF＝30°
∴∠GFH＝15°+30°＝45°
∵GH＝GF
∴∠GHF＝45°，∠HGQ＝45°+15°＝60°
∵GH＝HQ，∠GQH＝60°，∠QHB＝60°+15°＝75°，
∵QH＝QM，
∴∠QMH＝75°，∠HQM＝180﹣75°﹣75°＝30°，
故∠OQM＝60°+30°＝90°，不能再添加了．
故答案为5．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
17．（2019春?盐湖区校级月考）在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为 50°或65°或80° 时，△ABC是等腰三角形．21教育网
【分析】由已知条件，根据题意，分两种情况讨论：①∠B是顶角；②∠B是底角，③∠B＝∠C＝50°，利用三角形的内角和进行求解．
【解析】①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；
②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
18．（2018秋?宿松县期末）如图，△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 20°或70°或100° ．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】分三种情形分别求解即可．
【解析】如图，有三种情形：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
①当AC＝AD时，∠ADC＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝100°．
③当AC＝AD″时，∠AD″C＝20°，
故答案为：70°或100°或20°
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋?邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．
（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
【解析】（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
20．（2020?沙坪坝区自主招生
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
21．（2019秋?嘉祥县期末）（1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系 EF＝BE﹣CF ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
【解析】（1）EF＝BE+CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）不成立，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
故答案为EF＝BE﹣CF．
22．（2019秋?确山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．21·世纪
教育网
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）由AB＝AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．【出处：21教育名师】
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
23．（2020?恩施州模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解析】（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
24．（2019秋?永城市期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．
（1）求证：CG平分∠BCD．
（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）根据角平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的定义得到．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．【来源：21cnj
y.co
m】
（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴．
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠CBF＝∠E，
∴BC＝CE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵F为BE的中点，
∴CF平分∠BCD，
即CG平分∠BCD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝52°，
∴∠BCD＝128°．
∵CG平分∠BCD，
∴．
∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，
∴∠CGD＝46°．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
