中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.5等边三角形
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21·cn·jy·com
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2·1·c·n·j·y
1．（2019秋?睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．AB＝AC
B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD
D．△ABC是等边三角形
2．（2020?焦作一模）已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠BAD＝∠CAD
B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC
D．S四边形ABDC＝AD?BC
3．（2019秋?辛集市期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．CE垂直平分AD
B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形
D．△ACD是等边三角形
4．（2018秋?宜城市期末）如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长为（ ）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．2
C．1
D．0.5
5．（2018秋?兴业县期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．BM＝3CM
B．BM＝EM
C．CMCE
D．DM＝2CM
6．（2019秋?义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)21
cnjy
com
A．
B．
C．4040a
D．4038a
7．（2018秋?仙居县期末）在等边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（ ）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．不变
B．变小
C．变大
D．先变大后变小
8．（2020?安徽四模）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．BE＝3EC
B．5BE＝3EC
C．3BE＝2EC
D．BE＝2EC
9．（2020?浙江自主招
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生）如图，线段AE⊥BD于C，AB＝DE，∠A＝30°，∠E＝50°，F是DE的中点，则∠DBF的度数等于（ ）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
10．（2020?浙江自主招生）在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于（ ）【出处：21教育名师】
A．90°
B．90°或75°
C．90°或15°
D．90°或75°或15°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?长春期中）下列三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有
（填序号）．
12．（2019秋?乳山市期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为
．
13．（2016秋?临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝
时，△AOP为等边三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
14．（2020?宁波模拟）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝
度．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2019秋?长清区期末）如图，在正△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝
．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
16．（2020春?成都期末）如图，在△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC
度；
（2）如图2，设∠BAC＝α
（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝
．（用含α的式子表示）21教育网
17．（2020春?薛城区期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为
cm．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
18．（2020?夹江县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?龙岗区校级月考）如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠B交于AC于E，DE垂直平分AB交AB于D，求∠A的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
20．（2019秋?岱岳区期中）在等边三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝4，求DF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
21．（2019秋?大同期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
22．（2019秋?越秀
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
23．（2019春?市中区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
24．（2018秋?内乡
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)60°，则∠AFB＝
；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝
；如图3，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝
；
（2）如图4，若∠ACD＝α，则∠AFB＝
（用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.5等边三角形
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21教育网
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【来源：21·世纪·教育·网】
1．（2019秋?睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．AB＝AC
B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD
D．△ABC是等边三角形
【分析】由等腰三角形的判定由性质分别对各个选项进行判断即可．
【解析】∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴选项A不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴选项B、选项C不符合题意；
当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．（2020?焦作一模）已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠BAD＝∠CAD
B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC
D．S四边形ABDC＝AD?BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)进而可得△BCD等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
【解析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABCBC?DOBC?AOBC?AD，故D选项错误，
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
3．（2019秋?辛集市期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（ ）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．CE垂直平分AD
B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形
D．△ACD是等边三角形
【分析】依据作图可得CA＝CD，BA＝BD，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【解析】由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
4．（2018秋?宜城市期末）如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．2
C．1
D．0.5
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解析】∵等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝1，
∵∠E＝30°，
∴∠EDC＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝1，
故选：C．
5．（2018秋?兴业县
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．BM＝3CM
B．BM＝EM
C．CMCE
D．DM＝2CM
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC＝60°，求得∠E∠ACB＝30°，连接BD，得到∠DBC∠ABC60°＝30°，根据等腰三角形的性质得到DM⊥BC，求得BM＝EM，故B正确；于是得到CMCDCE，故C正确；故D错误，BM＝3CM，故A正确；
【解析】∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E∠ACB＝30°，
连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC∠ABC60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BC，
∴BM＝EM，故B正确；
∵CMCDCE，故C正确；故D错误，
∴ME＝3CM，
∴BM＝3CM，故A正确；
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6．（2019秋?义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)21世纪教育网版权所有
A．
B．
C．4040a
D．4038a
【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．
【解析】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，
∴∠A2B2Oα，
同理∠A3B3O∠A2B2Oα，
∠A4B4Oα，
∴∠AnBnOα，
∴∠A2020B2020O，
故选：B．
7．（2018秋?仙居县期末）在等边△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（ ）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．不变
B．变小
C．变大
D．先变大后变小
【分析】在AC上截取CN＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．
【解析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵BD＝2AE，
∴AD＝EN，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°，
∵∠ADE＝180°﹣∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠NEF，
在△ADE和△NEF中，，
∴△ADE≌△NEF（SAS），
∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，
∴FN＝CN，
∴∠NCF＝∠NFC，
∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，
∴∠NCF＝30°，
即∠ECF＝30°，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
8．（2020?安徽四模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是（ ）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．BE＝3EC
B．5BE＝3EC
C．3BE＝2EC
D．BE＝2EC
【分析】连接AE．依据线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论．
【解析】在△ABC中，AB＝AC，∠BC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
如图，连接EA，
由尺规作图可知直线MN是线段CA的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
在Rt△BAE中，∠B＝30°，
∴BE＝2EA，
∴BE＝2EC．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
9．（2020?浙江自主招生）如图，线段
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE⊥BD于C，AB＝DE，∠A＝30°，∠E＝50°，F是DE的中点，则∠DBF的度数等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BCAB，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CF＝DF＝EFDE，求出BC＝CF，再求出即可．
【解析】连接CF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵AE⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵F为DE中点，∠A＝30°，
∴CF＝DF＝EFDE，CBAB，
∵AB＝DE，
∴BC＝CF，
∴∠DBF＝∠CFB，
∵CF＝DF，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠DCE＝90°，∠E＝50°，
∴∠D＝40°，
∴∠DCF＝40°，
∵∠DBF＝∠CFB，∠DBF+∠CFB＝∠DCF，
∴∠DBF20°，
故选：B．
10．（2020?浙江自主招生）在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于（ ）
A．90°
B．90°或75°
C．90°或15°
D．90°或75°或15°
【分析】本题要分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边．www.21-cn-jy.com
【解析】如下图，分三种情况：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，ADBCAB，
∵sin∠B，
∴∠B＝30°，∠C（180°﹣∠B）＝75°，
∴∠BAC＝∠C＝75°；
②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，ADBCAC，
∵sin∠ACD，
∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB，
∵∠B＝∠CAB，
∴∠BAC∠ACD＝15°；
③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，
由题意知，ADBC＝CD＝BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?长春期中）下列三角形中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有 ①②③④ （填序号）．2·1·c·n·j·y
【分析】根据等边三角形的定义即可判断．
【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故答案为①②③④．
12．（2019秋?乳山
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为 等边三角形 ．
【分析】利用三角形三边关系判断三角形的形状，根据已知条件得出三角形三个边的关系式从而判断三角形的形状．
【解析】由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即
a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
13．（2016秋?临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝ a 时，△AOP为等边三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
【解析】∵AON＝60°，
∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
14．（2020?宁波模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝ 20 度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
设∠BAF＝∠BCF＝α，
∴∠AEF＝60°+α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，
∴60°+α+60°+α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BCE＝20°，
故答案为：20．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2019秋?长清区期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝ 120° ．【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】先由正三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，再由折叠，得∠DFE＝∠A＝60°，再根据三角形内角和及“一线三等角”可得结论．
【解析】∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
16．（2020春?成都期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC 25 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α
（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ α﹣90° ．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的想知道的∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到∠B＝∠ACB（180°﹣α）＝90°，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°，求得∠DCE＝2（90°）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣α）＝90°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝2（90°）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
17．（2020春?薛城区期末）如图，在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 5 cm．www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．2-1-c-n-j-y
【解析】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝7.5cm，
∴AB5cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BEABcm
同理CFcm，
∴BM5cm，
同理CN＝5cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝5cm，
故答案是：5．
18．（2020?夹江县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为 4 ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【解析】过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵AC＝4cm，CD是AB边上的高，
∴CDAC4＝2，
∴S△ABC4×2＝4，
故答案为：4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?龙岗区校级月考）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠B交于AC于E，DE垂直平分AB交AB于D，求∠A的度数．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】设∠A＝x．根据线段垂直平分线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质，得AE＝BE，根据等边对等角，得∠ABE＝∠A＝x，根据角平分线定义，得∠ABC＝2x，再根据三角形的内角和定理列方程求解．
【解析】设∠A＝x，∵DE垂直平分AB交AB于D，
∴AE＝BE．
∴∠ABE＝∠A＝x，
∵BE平分∠B交于AC于E，
∴∠ABC＝2x，
根据三角形的内角和定理，得：∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，
即x+2x＝90°，
解得：x＝30°．
即∠A＝30°．
20．（2019秋?岱岳区期中）在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝4，求DF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝4，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝8．
21．（2019秋?大同期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据线段垂直平分线的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求出AD＝BD，求出∠BAD＝∠B＝30°，求出∠CAD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD即可．
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
又∵∠C＝90°
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°，
∴在Rt△ACD中，，
∴AD＝2CD＝2×3＝6，
∴BD＝AD＝6．
22．（2019秋?越秀区校级期中）如图，已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】利用△ABC是等边三角形，D为边AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的中点，求得∠ADB＝90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE＝CD＝AD，∠AEC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝AD，即可得出答案．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
∵在△CBD和△ACE中
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，
∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，
∴AD＝DE，
∴AD＝AE＝DE，
即△ADE是等边三角形，
23．（2019春?市中区期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．21教育名师原创作品
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）由三角形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB＝BC＝9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；
（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的边长相等则有PB＝BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（3）同时出发，要相遇其实是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程﹣P运动的路程＝18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP＝2t，
则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ＝5t；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，
解得t，
所以当ts时，△PBQ为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t﹣2t＝18，
解得t＝6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
24．（2018秋?内乡县期中）已知点C为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD＝60
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，则∠AFB＝ 120° ；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝ 90° ；如图3，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝ 60° ；21·cn·jy·com
（2）如图4，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ 180°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．【来源：21cnj
y.co
m】
如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，进而得出∠AFB＝90°．
如图3，首先证明△ACE≌△D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB，得出∠EAC＝∠BDC，又有∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA＝120°，进而求出∠AFB＝60°．
（2）由∠ACD＝∠BCE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE＝∠CDB，从而得出∠DFA＝∠ACD，得到结论∠AFB＝180°﹣α．
（3）由∠ACD＝∠BCE得到∠AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E＝∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB＝180°﹣α．
【解析】（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC＝∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．
如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC＝∠DBC，
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°．
∴∠AFB＝90°．
如图3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC＝∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°，
∴∠FAB+∠FBA＝120°．
∴∠AFB＝60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
∴∠CAE＝∠CDB．
∴∠DFA＝∠ACD．
∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．
（3）∠AFB＝180°﹣α；
证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α．
∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
