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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.2幂的乘方与积的乘方
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2·1·c·n·j·y
1．（2020春?碑林区校级期中）计算a3（﹣a3）2的结果是（ ）
A．a8
B．﹣a8
C．a9
D．a12
【分析】首先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可．
【解析】原式＝a3?a6＝a9，
故选：C．
2．（2020春?莘县期末）计算（）2020×（）2021＝（ ）
A．﹣1
B．
C．1
D．
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【解析】（）2020×（）2021
＝（）2020×（）2021
＝（）2020
．
故选：D．
3．（2020?黔南州）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12
B．a3?a4＝a12
C．a2+a2＝a4
D．（ab）2＝ab2
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【解析】A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3?a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
4．（2020春?安化县期末）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a2+a3
B．a2?a3
C．（﹣a2）3
D．（﹣a3）2
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解析】A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2?a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
D．（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（2020春?来宾期末）计算（﹣1）2019×（）2019的结果等于（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
【分析】利用积的乘方得到原式＝（）2019，然后根据乘方的意义计算．
【解析】原式＝（）2019
＝（﹣1）2019
＝﹣1．
故选：B．
6．（2020春?碑林区校级期中）已知ax＝2，ay＝3，则a2x+3y的值等于（ ）
A．108
B．36
C．31
D．27
【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的计算法则进行计算即可．
【解析】a2x+3y＝（ax）2×（ay）3＝22×33＝108，
故选：A．
7．（2020?思明区校级二模）下列化简的结果是4x2的式子是（ ）
A．x4
B．2x2
C．（2x）2
D．3x+x
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则对选项C进行化简，根据合并同类项法则对选项D进行化简即可判断．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】（2x）2＝4x2，3x+x＝4x，
∴化简的结果是4x2的式子是（2x）2，
故选：C．
8．（2020春?吴中区期末）已知3x﹣3?9x＝272，则x的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】将3x﹣3?9x＝272化为3x﹣3?32x＝36，得到x﹣3+2x＝6，从而求出x的值．
【解析】3x﹣3?9x＝272，即3x﹣3?32x＝36，
∴x﹣3+2x＝6，
∴x＝3，
故选：B．
9．（2020?河北）若k为正整数，则（ ）
A．k2k
B．k2k+1
C．2kk
D．k2+k
【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．
【解析】（（k?k）k＝（k2）k＝k2k，
故选：A．
10．（2020春?杭州期末）我们知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n．设5m＝3，5n＝15，5p＝75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1．其中正确的是（ ）21·世纪
教育网
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．
【解析】∵5m＝3，
∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，
∴n＝1+m，
∵5p＝75＝52×3＝52+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论正确；
故正确的是：①③．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?丹阳市校级期末）计算：（2a2b）2＝ 4a4b2 ．
【分析】利用积的乘方的性质和幂的乘方的性质进行计算即可．
【解析】原式＝4a4b2，
故答案为：4a4b2．
12．（2020春?涟源市期末）计算：（）2019×41010＝ 2 ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解析】（）2019×41010
＝（）2019×22020
＝（）2019×22019×2
＝12019×2
＝1×2
＝2．
故答案为：2．
13．（2020春?徐州期末）比较大小：25 ＜ 43（填＞，＜或＝）．
【分析】利用幂的乘方将43化为26，再比较即可求解．
【解析】∵43＝（22）3＝26，25＜26，
∴25＜43，
故答案为＜．
14．（2020春?来宾期末）若43×83＝2x，则x＝ 15 ．
【分析】利用幂的乘方得到26×29＝2x，然后利用积的乘方得到215＝2x，从而得到x的值．
【解析】∵43×83＝2x，
∴（22）3×（23）3＝2x，
∴26×29＝2x，
∴215＝2x，
∴x＝15．
故答案为15．
15．（2020春?会宁县期末）已知2x+3y﹣2＝0，则9x?27y＝ 9 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简得出答案．
【解析】∵2x+3y﹣2＝0，
∴2x+3y＝2，
则9x?27y＝32x?33y＝32x+3y
＝32
＝9．
故答案为：9．
16．（2020春?青白江区期末）若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝ （x﹣1）3﹣3 ．21世纪教育网版权所有
【分析】首先根据x＝4m+1，可得：4m＝x﹣1，然后根据64m＝43m＝（4m）3，用x的代数式表示y即可．21教育网
【解析】∵x＝4m+1，
∴4m＝x﹣1，
∴64m＝43m＝（4m）3＝（x﹣1）3，
∴y＝64m﹣3＝（x﹣1）3﹣3．
故答案为：（x﹣1）3﹣3．
17．（2020春?岱岳区期末）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m?8n的值为 32 ．
【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解析】∵2m+3n＝5，
∴4m?8n＝22m?23n＝22m+3n＝25＝32．
故答案为：32．
18．（2020春?涟源市期末）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a+c﹣2b＝ 0 ．
【分析】先计算22b，再逆运用同底数幂的乘除法法则，代入求值即可．
【解析】∵2b＝6，
∴（2b）2＝62．即22b＝36．
∵2a+c﹣2b
＝2a×2c÷22b
＝3×12÷36
＝1，
∴a+c﹣2b＝0．
故答案为：0．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?盐城期末）计算：（﹣a2）3?（﹣a3）2．
【分析】利用幂的乘方的性质进行计算，再算乘法即可．
【解析】原式＝﹣a6?a6＝﹣a12．
20．（2020春?新沂市期末）化简：a?a5﹣（﹣2a3）2．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．
【解析】a?a5﹣（﹣2a3）2
＝a6﹣4
a6
＝﹣3a6．
21．计算：
（1）（xy4）m
（2）﹣（p2q）n
（3）（xy3n）2+（xy6）n
（4）（﹣3x3）2﹣[（2x）2]3．
【分析】（1）利用积的乘方运算即可；
（2）利用积的乘方运算即可；
（3）利用积的乘方运算即可；
（4）先算积的乘方，再合并同类项．
【解析】（1）原式＝xmy4m；
（2）原式＝﹣p2nqn；
（3）原式＝x2y6n+xny6n；
（4）原式＝9x6﹣8x6＝x6．
22．（2020春?雅安期末）已知3x+5y﹣1＝0，求8x?32y的值．
【分析】根据幂的乘方的运算法则运算即可．
【解析】原式＝23x?25y
＝23x+5y，
∵3x+5y﹣1＝0，
∴3x+5y＝1，
∴原式＝21＝2．
23．阅读理解
已知：（a×b）2＝a2×b2、（a×b）3＝a3×b3、（a×b）4＝a4×b4．
（1）用特列验证上述等式是否成立（取a＝1，b＝﹣2）；
（2）通过上述验证，猜一猜：（a×b）100＝ a100×b100 ，归纳得出（a×b）n＝ an×bn ；
（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立，即anbn＝（a×b）n，计算：（）2019×42020．21cnjy.com
【分析】（1）把a＝1，b＝﹣2代入，再进行计算，即可得出答案；
（2）根据（1）中的算式得出答案即可；
（3）先根据积的乘方进行变形，再求出即可．
【解析】（1）当a＝1，b＝﹣2时，（a×b）2＝[1×（﹣2）]2＝4，a2×b2＝12×（﹣2）2＝4，
即（a×b）2＝a2×b2；
当a＝1，b＝﹣2时，（a×b）3＝[1×（﹣2）]3＝﹣8，a3×b3＝13×（﹣2）3＝﹣8，
即（a×b）3＝a3×b3；
当a＝1，b＝﹣2时，（a×b）4＝[1×（﹣2）]4＝16，a4×b4＝14×（﹣2）4＝16，
即（a×b）4＝a4×b4；
（2）（a×b）100＝a100×b100，（a×b）n＝an×bn，
故答案为：a100×b100，an×bn；
（3）（）2019×42020
＝[（）×4]2019×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
24．（2020春?漳州期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．21·cn·jy·com
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝ 3 ，（2，）＝ ﹣2 ；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．
【解析】（1）23＝8，（2，8）＝3，
，（2，）＝﹣2，
故答案为：3；﹣2；
（2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∴4a×4b＝60，
∴4a×4b＝4c，
∴a+b＝c；
（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，
∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp?mr＝mt，
即16×5＝t，
∴t＝80．
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注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2020春?碑林区校级期中）计算a3（﹣a3）2的结果是（ ）
A．a8
B．﹣a8
C．a9
D．a12
2．（2020春?莘县期末）计算（）2020×（）2021＝（ ）
A．﹣1
B．
C．1
D．
3．（2020?黔南州）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12
B．a3?a4＝a12
C．a2+a2＝a4
D．（ab）2＝ab2
4．（2020春?安化县期末）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a2+a3
B．a2?a3
C．（﹣a2）3
D．（﹣a3）2
5．（2020春?来宾期末）计算（﹣1）2019×（）2019的结果等于（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
6．（2020春?碑林区校级期中）已知ax＝2，ay＝3，则a2x+3y的值等于（ ）
A．108
B．36
C．31
D．27
7．（2020?思明区校级二模）下列化简的结果是4x2的式子是（ ）
A．x4
B．2x2
C．（2x）2
D．3x+x
8．（2020春?吴中区期末）已知3x﹣3?9x＝272，则x的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．（2020?河北）若k为正整数，则（ ）
A．k2k
B．k2k+1
C．2kk
D．k2+k
10．（2020春?杭州期末）我们知道：若a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m＝an（a＞0且a≠1），则m＝n．设5m＝3，5n＝15，5p＝75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1．其中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?丹阳市校级期末）计算：（2a2b）2＝
．
12．（2020春?涟源市期末）计算：（）2019×41010＝
．
13．（2020春?徐州期末）比较大小：25
43（填＞，＜或＝）．
14．（2020春?来宾期末）若43×83＝2x，则x＝
．
15．（2020春?会宁县期末）已知2x+3y﹣2＝0，则9x?27y＝
．
16．（2020春?青白江区期末）若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝
．
17．（2020春?岱岳区期末）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m?8n的值为
．
18．（2020春?涟源市期末）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a+c﹣2b＝
．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?盐城期末）计算：（﹣a2）3?（﹣a3）2．
20．（2020春?新沂市期末）化简：a?a5﹣（﹣2a3）2．
21．计算：
（1）（xy4）m
（2）﹣（p2q）n
（3）（xy3n）2+（xy6）n
（4）（﹣3x3）2﹣[（2x）2]3．
22．（2020春?雅安期末）已知3x+5y﹣1＝0，求8x?32y的值．
23．阅读理解
已知：（a×b）2＝a2×b2、（a×b）3＝a3×b3、（a×b）4＝a4×b4．
（1）用特列验证上述等式是否成立（取a＝1，b＝﹣2）；
（2）通过上述验证，猜一猜：（a×b）100＝
，归纳得出（a×b）n＝
；
（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立，即anbn＝（a×b）n，计算：（）2019×42020．21世纪教育网版权所有
24．（2020春?漳州期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．21教育网
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝
，（2，）＝
；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
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