22.2用函数观点看一元二次方程（10）
【学习目标】
1.
能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、知识链接：
根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
（1）抛物线与轴有两个交点
0；
（2）抛物线与轴有一个交点
0；
（3）抛物线与轴没有交点
0.
二、自主学习：
1.抛物线和抛物线与轴的交点坐标分别是
和
。
抛物线与轴的交点坐标分别是
.
2.抛物线
开口向上，所以可以判断
。
对称轴是直线=
，由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即
>0，已知
0，所以可以判定
0.
因为抛物线与轴交于正半轴，所以
0.
抛物线与轴有两个交点，所以
0；
三、知识梳理：
⑴的符号由
决定：
①开口向
0；②开口向
0.
⑵的符号由
决定：
①
在轴的左侧
；
②
在轴的右侧
；
③
是轴
0.
⑶的符号由
决定：
①点（0，）在轴正半轴
0；
②点（0，）在原点
0；
③点（0，）在轴负半轴
0.
⑷的符号由
决定：
①抛物线与轴有
交点
0
方程有
实数根；
②抛物线与轴有
交点
0
方程有
实数根；
③抛物线与轴有
交点
0
方程
实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的
点.
四、典型例题：
抛物线如图所示：看图填空：
（1）_____0；（2）
0；（3）
0;
（4）
0
;(5)______0；
（6）；（7）；
（8）；（9）
五、跟踪练习：
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程的根为___________；
（2）方程的根为__________；
（3）方程的根为__________；
（4）不等式的解集为________；
（5）不等式的解集为_____
___；
2.根据图象填空：（1）_____0；（2）
0；（3）
0;
（4）
0
;(5)______0；
（6）；（7）；
-
1
-26.1.1
二次函数（1）
【学习目标】
1.
了解二次函数的有关概念．
2.
会确定二次函数关系式中各项的系数。
3.
确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，
y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的
，x叫做
。
2.
形如的函数是一次函数，当时，它是
函数；形如
的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为
。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为米，则宽为
米，如果将面积记为平方米，那么与之间的函数关系式为=
，整理为=
.
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_________________．
3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是
。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如
，（
）的函数为二次函数。其中是自变量，是__________，b是___________，c是_____________．
三、思考反馈：
（1）二次项系数为什么不等于0？
答：
。
（2）一次项系数和常数项可以为0吗？
答：
.
四、跟踪练习
1．观察：①；②；③y＝200x2＋400x＋200；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有
。（只填序号）
2.
是二次函数，则m的值为______________．
3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为
。
4.二次函数．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为
．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x
m，绿化带的面积为y
m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
课后训练
一．选择题。
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2
B．y=
C．y=kx2
D．y=k2x
2．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．xy+x2=2
B．x2﹣2y+2=0
C．
y=
D．y2﹣x=0
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=
B．y=2（x+1）（x﹣3）
C．y=3x﹣2
D．y=
4．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x+1
B．y=﹣2x+1
C．y=x2+2
D．y=x﹣2
5．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x﹣3
B．y=（x+1）2﹣x2
C．y=2x2﹣7x
D．y=﹣
6．已知函数①y=5x﹣4，②t=x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y=x2﹣1，⑤y=+2，其中二次函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．
B．y=ax2+bx+c
C．y=x2﹣（x+7）2
D．y=（x+1）（2x﹣1）
8．已知函数
y=（m+2）是二次函数，则m等于（ ）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．±1
二．填空题。
9．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为 _________ ．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是 _________ ．
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 _________ ，成立的条件是 _________ ，是 _________ 函数．
12．已知y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是 _________ ．
13．二次函数y=3x2+5的二次项系数是 _________ ，一次项系数是 _________ ．
14．已知y=（k+2）是二次函数，则k的值为 _________ ．
三．解答题。
15．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
16．已知函数y=（m﹣1）+5x﹣3是二次函数，求m的值．
17．已知是x的二次函数，求出它的解析式．
122.1.3二次函数的图象（4）
【学习目标】
1．会画二次函数的图象；
2.知道二次函数与的联系．
3.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
。
2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为
。
二、自主学习
画出二次函数，的图象；先列表：
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
…
…
…
…
归纳：（1）的开口向
，对称轴是直线
，顶点坐标是
。
图象有最
点，即=
时，有最
值是
；
在对称轴的左侧，即
时，随的增大而
；在对称轴的右侧，即
时随的增大而
。
可以看作由向
平移
个单位形成的。
（2）的开口向
，对称轴是直线
，顶点坐标是
，
图象有最
点，即=
时，有最
值是
；
在对称轴的左侧，即
时，随的增大而
；在对称轴的右侧，即
时随的增大而
。
可以看作由向
平移
个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线特点：
1.当时，开口向
；当时，开口
；
2.
顶点坐标是
；3.
对称轴是直线
。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由
平移得到的。（填上下或左右）
可知二次函数图象的平移规律：左
右
，上
下
。
（三）的正负决定开口的
；决定开口的
，即不变，则抛物线的形状
。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值
。
四、课堂训练
1．抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当
时，随的增大而减小；当
时，随的增大而增大。
2.
抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当
时，随的增大而减小；当
时，随的增大而增大。
3.
抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5.
抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．
7．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．
8.
写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_______________．
1实际问题与二次函数导学案（11）
如何获得最大利润
学习目标：
1、知识与技能：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。
2、过程与方法：
应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。
3、情感态度与价值观：
在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。
重难点：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值。
基础扫描
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条
，它的对称轴是
，顶点坐标是
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条
，它的对称轴是
，顶点坐标是
.
当a>0时，抛物线开口向
，有最
点，函数有最
值，是
；当
a<0时，抛物线开口向
，有最
点，函数有最
值，是
。
3.
二次函数y=2(x-3)
2+5的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，y的最
值是
。
4.
二次函数y=-3(x+4)
2-1的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，函数有最
值，是
。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最
值，是
。
一、自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想每周获得6090元的利润，该商品定价应为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为
,设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为
，每周的销售量可表示为
，一周的利润可表示为
，要想获得6090元利润可列方程
。
若设商品定价为x元那么每件商品的利润可表示为
，每周的销售量可表示为
，一周的利润可表示为
，要想获得6090元利润可列方程
。
二．合作交流
问题2.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
三、牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
四、创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
问增种多少棵橙子树，果园的总产量最高，若每个橙子市场售价约2元，果园的总产值最高约为多少？
五、能力拓展
在上面的问题4题中,若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
六、中考链接
某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件。设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件。
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)；
(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，求出S的最大值,并确定当单价在什么范围内变化时，利润随单价的增大而增大？
(3)若超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
122.1.2二次函数的图象（2）
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是①
；②
；③
。
2.一次函数图象的形状是
；反比例函数图象的形状是
.
二、自主学习
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳：
①
由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做
线；
②抛物线是轴对称图形，对称轴是
；
③的图象开口_______；
④
与
的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是
；
它是抛物线的最
点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最
值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈
趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈
趋势；即<0时，随的增大而
，>0时，随的增大而
。
（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
解：列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
…
…
x
…
－2
-1.5
－1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
…
…
归纳：抛物线，，的图象的形状都是
；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都
；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）
．
归纳：抛物线，，的的图象的形状都是
；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都
；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）
．
例2
请在图（4）中画出函数，，的图象．
列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
…
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
…
x
…
－2
-1.5
－1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
…
…
三、合作交流：
归纳：抛物线的性质
图象（草图）
对称轴
顶点
开口方向
有最高或最低点
最值
＞0
当x＝____时，y有最_______值，是______．
＜0
当x＝____时，y有最_______值，是______．
2.当＞0时，在对称轴的左侧，即
0时，随的增大而
；在对称轴的右侧，即
0时随的增大而
。
3．在前面图（4）中，关于轴对称的抛物线有
对，它们分别是哪些？
答：
。由此可知和抛物线关于轴对称的抛物线是
。
4．当＞0时，越大，抛物线的开口越___________；当＜0时，
越大，抛物线的开口越_________；因此，越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
1．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
2.
函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
3.
二次函数的图象开口向下，则m___________．
4.
二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．
5.
二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
6．若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________．
7．如图，抛物线①②
③④
开口从小到大排列是___________________________；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是
和
。
8．点A（，b）是抛物线上的一点，则b=
；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是
。
9．如图，A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为
。
10.
当m=
时，抛物线开口向下．
11.二次函数与直线交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
（3）
（2）
（1）
（4）
122.1.3二次函数的图象（6）
【学习目标】
会用二次函数的性质解决问题；
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线开口向
，顶点坐标是
，对称轴是
，当x＝
时，y有最
值为
。当
时，随的增大而增大.
2.
抛物线是由如何平移得到的？答：
。
二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读例题：
分析：由题意可知：池中心是
，水管是
，点
是喷头，线段
的长度是1米，线段
的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为
。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定
个点的坐标即可，这个点是
。
求水管的长就是通过求点
的
坐标。
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米.
AO=
3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)
直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
(2)
求出这条抛物线的函数解析式；
三、能力拓展
1.知识准备
如图抛物线与轴交于A,B两点，交轴于点D，抛物线的顶点为点C
求△ABD的面积。
求△ABC的面积。
点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。
点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
122.1.4二次函数的图象（7）
【学习目标】
1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式的图象．
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线的顶点坐标是
；对称轴是直线
；当=
时有最
值是
；当
时，随的增大而增大；当
时，随的增大而减小。
2.
二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为
，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数
的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
的顶点坐标是
，对称轴是
.
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用
的方法转化为
式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①
②
③
（5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式：
，因此抛物线的顶点坐标是
；对称轴是
，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①
②
③
（二）、用描点法画出的图像.
（1）顶点坐标为
；
（2）列表：顶点坐标填在
；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
…
…
…
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最
点，即=
时，有最
值是
；
②
时，随的增大而增大；
时随的增大而减小。
③该抛物线与轴交于点
。
④该抛物线与轴有
个交点.
三、合作交流
求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
122.1.5用待定系数法求二次函数的解析式（8）
【学习目标】
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。
【学习过程】
一、知识链接：
1、已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.
解：
二、自主学习
1.一次函数经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于的二元一次方程组即可。
解：
2.
已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：
；所设解析式中有
个待定系数，它们分别是
，所以一般需要
个点的坐标；请你写出完整的解题过程。
解：
三、知识梳理
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为
；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为
。
四、跟踪练习：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为________________．
3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
4.
已知双曲线与抛物线交于A(2,3)、B(,2)、c(－3,
)三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,
5.如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A,B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0），
（1）求该抛物线的解析式；
⑵
在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
122.1.3二次函数的图象（3）
【学习目标】
1．知道二次函数与的联系．
2.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、知识链接：直线可以看做是由直线
得到的。
练：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？
猜想：
。
二、自主学习
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，，的图象．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
1.填表：
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
增减性
2．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.
3．抛物线，，的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：
（一）抛物线特点：
1.当时，开口向
；当时，开口
；
2.
顶点坐标是
；
3.
对称轴是
。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由
平移得到的。（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：上
下
。
（三）的正负决定开口的
；决定开口的
，即不变，则抛物线的形状
。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值
。
三、跟踪练习：
1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线向上平移3个单位后的解析式为
，它们的形状__________，当=
时，有最
值是
。
3．由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是
，是把原抛物线向
平移
个单位得到的。
4.
写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
5.
抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值。
1二次函数的应用（12）
学习目标：通过建立数学模型，用二次函数的知识解决有关实际问题．
(
O
x
y
-1
3
-3
)学习重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题。
预设难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。
导学流程
链接：
（1）一抛物线如右图所示，则它的解析式为_________
____________；当x=1时，y=___________.
（2）顶点为（－3，4）且过点（2，－1）的抛物线的解析式为
___．
（3）当一枚火箭竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+150t+10来表示，则当t=_____s时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是__________m.
合作探究
1、如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高m时，水平距离4m．
（1）试求铅球运行高度与水平距离之间的函数关系式；
（2）铅球落地点为C，求此次铅球被推出的距离OC．
2、某单行隧道横断面由抛物线与矩形ABCD的三边组成，尺寸如图所示．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
(
D
)
(
B
)
(
C
)
(
A
)（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
归纳反思:
实际问题
建立二次函数模型
求出函数解析式
解决问题
达标检测
1、某桥的拱桥是抛物线形，建立如图1所示的坐标系，其函数解析式为，当水位在AB位置时，水面宽AB为30m，这时水面离桥顶的高度h是（
）
A．5m
B．6m
C．8m
D．9m
2、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图2），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（
）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
(
图
1
图
2
h
2.5
l
)
3、一抛物线形桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．
(
y
x
A
B
E
F
C
O
)
222.1.3二次函数的图象（5）
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式的图象；
2．掌握二次函数的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
。
2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为
。
二、自主学习
在右图中做出的图象：
观察：1.
抛物线开口向
；
顶点坐标是
；对称轴是直线
。
2.
抛物线和的形状
，位置
。（填“相同”或“不同”）
3.
抛物线是由如何平移得到的？答：
。
三、合作交流
平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？
答：
。
四、知识梳理
归纳：
（一）抛物线的特点：
1.当时，开口向
；当时，开口
；
2.
顶点坐标是
；3.
对称轴是直线
。
（二）抛物线与形状
，位置不同，是由平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左
右
，上
下
。
（三）平移前后的两条抛物线值
。
五、跟踪训练
1.二次函数的图象可由的图象（
）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线开口
，顶点坐标是
，对称轴是
，当x＝
时，y有最
值为
。
3.填表：
开口方向
顶点
对称轴
4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向
平移
个单位，再沿y轴向
平移
个单位得到。
5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为
。
6.
顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
122.2用函数观点看一元二次方程（9）
【学习目标】
体会二次函数与方程之间的联系。
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
【学习过程】
一、知识链接：
1.直线与轴交于点
，与轴交于点
。
2.一元二次方程，当Δ
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ
时，方程有两个相等的实数根；当Δ
时，方程没有实数根；
二、自主学习
1.解下列方程
（1）
（2）
（3）
2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数
图
象
交点
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
3.对比第1题各方程的解，你发现什么？
三、知识梳理：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的
.（即把代入）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程
与轴有
个交点
0，方程有
的实数根
与轴有
个交点；这个交点是
点
0，方程有
实数根
与轴有
个交点
0，方程
实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是
.
四、跟踪练习
1.
二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．
2．抛物线与轴的交点坐标是
，与轴的交点坐标是
；
3.二次函数，当＝________时，＝3．
4.如图，一元二次方程的解为
。
5.如图，一元二次方程的解为
。
6.
已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
7．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
（5）
（4）
1二次函数中面积最值问题（13）
学习目标：利用二次函数的最值求三角形面积最大问题
课前训练：
用适当方法要求二次函数y＝-x2＋4x的顶点坐标，对称轴及最值。
课堂训练：
1、如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x
m，那么AD边的长度如何表示?
(2)设长方形的面积为y
m2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
2、如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．
(1)设长方形的一边AB＝x
m，那么AD边的长度如何表示?
(2)设长方形的面积为y
m2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
3.
如图，已知BC=120cm,BC边上的高AM=80
cm,
在三角形的内部作一个长方形DEGF．
(1)设长方形的一边DG＝x
cm，那么DE边的长度如何表示?
(2)设长方形的面积为y
cm2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
1二次函数知识点基础复习（14）
★二次函数知识点汇总★
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.二次函数
的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0,
)
(,0)
(,)
()
11.用待定系数法求二次函数的解析式
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
〈一〉三点式。
1，已知抛物线y=ax2+bx+c
经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4
，
经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b
顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线
y=4(x+a)2-2a
的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1，已知抛物线与
x
轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与
x
轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1，在直角坐标系中，不论a
取何值，抛物线经过x
轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y=
x2
+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1、把抛物线y=
-2x2
向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(
x-h)2
+k,求此抛物线解析式。
2、抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
〈六〉距离式。
1、抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=m
x2+3mx-4m(m﹥0)与
x轴交于A、B两点，与
轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4,
交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交
y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。
〈八〉对称式。
1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y
轴于E，将三角形ABC沿x
轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2.求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
〈九〉切点式。
1，已知直线y=ax-a2(a≠0)
与抛物线y=mx2
有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2，
直线y=x+a
与抛物线y=ax2
+k
的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
〈十〉判别式式。
1.已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
2.已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
3.已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
12.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为()
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
13．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程是二次函数当y的值为0时的情况．
(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．
(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根
14.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
【课堂练习】
1、x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（ ）
A．
m=0时成立
B．
m=2时成立
C．
m=0或2时成立
D．
不存在
2、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为
3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①
②当时，函数有最大值。③当时，函数y的值都等于0.
④其中正确结论的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
4、抛物线y=x2
向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（
）
A.
y=(x+8)2-9
B.
y=(x-8)2+9
C.
y=(x-8)2-9
D.
y=(x+8)2+9
5、二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（
）
A．点C的坐标是（0，1）
B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形
D．当x>0时，y随x增大而增大
6、二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（
）
7、二次函数的图像如图所示，点位于坐标原点，，，
，…，在y轴的正半轴上，，，，…，在二次函数第一象限的图像上，若△,△，△，…，△都为等边三角形，计算出△的边长为
.
8、Y=-2(x-1)2
＋5
的图象开口向
，顶点坐标为
，当x＞1时，y值随着x值的增大而
。
9、我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：
（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？
（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）
10、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
11、某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
12、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)
(）存在如下图所示的一次函数关系式．
⑴试求出与的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)．
13、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000
kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10
kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000
kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
14、研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为了投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价、（万元）均与x满足一次函数关系。（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元。试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
1
