江苏省江阴市要塞中学2020-2021学年高二上学期期中复习数学试卷一 Word版含答案解析

要塞中学高二数学期中复习卷一
一、单项选择题
1．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是
(　
　)
A．1　　B．2
C．3
D．4
2．命题“对任意的，”的否定是
(　
　)
A．不存在，
B．存在，
C．存在，
D．存在，，
3．若“直线与圆相交”，“”；则是（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．公差大于0的等差数列中，，且成等比数列，则数列的前51项和为
(　
　)
A．51
B．﹣51
C．1275
D．﹣1275
5．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则
(　
　)
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
6.已知x>1，则的最小值是
(　
　)
A．2＋2
B．2－2
C．2
D．2
7．在数列中，，又，
则数列的前项和为
(　
　)
A．
B．
C．
D．
8.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是
(　
　)
A．
B．
C．或
D．或
二、多项选择题
9.首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列4个命题中正确的有
（　　）
A.若S10＝0，则S2+S8＝0；
B.若S4＝S12，则使Sn＞0的最大的n为15；
C.若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大；
D.若S7＜S8，则S8＜S9．
10.下列四个解不等式，正确的有
(　
　)
A.不等式2x2－x－1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)
B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是　
C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为-1
11.若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是
(　
　)
A．ab有最大值
B．+有最小值
C．+有最小值4
D．a2+b2有最小值
12.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，
点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是
(　
　)
A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆C的长轴长为
三、填空题
13．数列满足，则
．
14．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为
．
15.某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站__________千米处．
16．已知等差数列的首项为a，公差为-4，其前n项和为，若存在，使得，则实数的最小值为
．
四、解答题
17.已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
18.
等比数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；
（2）若，分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和．
19．已知函数y＝的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
20.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
21.已知椭圆的短轴长为2．（1）若椭圆C经过点，求椭圆C的方程；（2）A为椭圆C的上顶点，B（0，3），椭圆C上存在点P，使得．求椭圆C的离心率的取值范围．
22.设数列的前n项和为，且，．
求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．
答案
1．（2019年苏州月考）对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【答案】A　[若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.]
2．(2020·河南省名校联考）命题“对任意的，”的否定是（
）
A．不存在，
B．存在，
C．存在，
D．存在，，
【答案】C
【解析】命题“对任意的，”是全称命题，否定时将量词对任意的实数变为存在，再将不等号变为即可，即存在，，故选C。
3．(2020·贵州省遵义一中第一次模拟）若“直线与圆相交”，
“”；则是(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交?1，解得．
∴“直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b＜1”的必要不充分条件．故选B。
4．公差大于0的等差数列中，，且成等比数列，则数列的前51项和为（　　）
A．51
B．﹣51
C．1275
D．﹣1275
【答案】A．
【解析】由公差大于0的等差数列中，，可得，又由成等比数列，可得，即为，解得，则，数列的前51项和为，故选A．
5．（2019?北京）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（　　）
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
【分析】由椭圆离心率及隐含条件a2＝b2+c2得答案．
【解答】解：由题意，，得，则，
∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．
故选：B．
6、已知x>1，则的最小值是(　　)
A．2＋2
B．2－2
C．2
D．2
【答案】A
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0.
∴
＝（当且仅当，即时等号成立）
7．在数列中，，又，则数列的前项和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】因为
所以
所以，故选A．
8、若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
解析：∵不等式x+
m2+3m有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，
∵x＞0，y＞0，且，
∴x+＝（x+）（）＝＝4，
当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，
∴（x+）min＝4，
故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0，解得m＜﹣4或m＞1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．故选C．
9.首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列4个命题中正确的有（　　）
A.若S10＝0，则S2+S8＝0；
B.若S4＝S12，则使Sn＞0的最大的n为15；
C.若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大；
D.若S7＜S8，则S8＜S9．
【答案】B，C
【解析】根据题意，依次分析4个式子：
对于A，若S10＝0，则S10＝＝0，则a1+a10＝0，即2a1+9d＝0，则S2+S10＝（2a1+d）+（8a1+28d）
＝10a1+29d≠0，A不正确；
对于B，若S4＝S12，则S12﹣S4＝0，即a5+a6+……+a11+a12＝4（a8+a9）＝0，由于a1＞0，则a8＞0，a9＜0，则有S15
＝＞0，S16＝＝0，故使Sn＞0的最大的n为15，B正确；
对于C，若S15＞0，S16＜0，则S15＝＝15a8＞0，S16＝＝＜0，则有a8
＞0，a9＜0，则{Sn}中S8最大；C正确；
对于D，若S7＜S8，即a8＝S8﹣S7＞0，而S9﹣S8＝a9，不能确定其符号，D错误；故选B，C．
10.下列四个解不等式，正确的有（）
A.不等式2x2－x－1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)
B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是　
C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为-1
【答案】B，C，D
【解析】对于A：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞).故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
∴－7×(－1)＝，故a＝3.正确
对于D：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，正确.
11.若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（　　）
A．ab有最大值
B．+有最小值
C．+有最小值4
D．a2+b2有最小值
【答案】A，C
【解析】∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；
∴ab有最大值，∴选项A正确；
，，∴的最小值不是，∴B错误；
，∴有最小值4，∴C正确；
a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选A，C．
12.（2020春?桃江县期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）
A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆C的长轴长为
【解答】解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x轴，
A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a﹣1，所以A正确；
B中，因为P在椭圆内，b＞1，所以短轴长2b＞2，故B不正确；
C中，因为P在椭圆内，所以长轴长2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以离心率e＝＜＝，所以e∈（0，），所以C不正确；
D中，因为，所以F1为PQ的中点，而F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），
所以长轴长2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D正确，
故选：AD．
13．数列满足，则________．
10．【答案】．
【解析】因为，则，又由，得，，，故数列的周期为3，所以，故填.
14．（2020?青岛模拟）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　
　．
【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
可得1﹣m＞m＞0，解得m∈．
故答案为：（0，）．
15、某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站__________千米处．
14、解析：设仓库与车站的距离为，
由题意可设，，
把，与，分别代入上式得，，
故，，
∴这两项费用之和，
当且仅当，
即时等号成立，故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站千米处．
故答案为5.
16．已知等差数列的首项为a，公差为-4，其前n项和为，若存在，使得，则实数的最小值为
．
10．【答案】15．
【解析】由得，，即，当且仅当时取等号，因为，所以，实数的最小值为15，故填15．
17.17.已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】[4，＋∞)
【解析】设使命题p成立的集合为A，命题q成立的集合为B，则A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，所以A?B，所以解得m≥4.
故实数m的取值范围为[4，＋∞)．
18.
等比数列中，已知，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和．
11．【解析】
（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，，
设的公差为，则有，解得，
从而．
所以数列的前项和．
19．（2019年濮阳月考）(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
【答案】(1)因为函数y＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0,1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a,1－a)；
当a＝时，解集为?；
当20.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
【答案】(1)y＝＝≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1
600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
21.已知椭圆的短轴长为2．
（1）若椭圆C经过点，求椭圆C的方程；
（2）A为椭圆C的上顶点，B（0，3），椭圆C上存在点P，使得．求椭圆C的离心率的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得2b＝2，即b＝1．
因为椭圆C经过点，所以，所以，解得a2＝4．
故椭圆C的方程为．
（2）由（1）可知A（0，1），设P（x，y），则①
因为，所以|PB|2＝3|PA|2，所以x2+（y﹣3）2＝3[x2+（y﹣1）2]，即x2+y2＝3．②
联立①②，解得．
因为﹣a≤x≤a，所以0≤x2≤a2，所以，解得a2≥3，
于是，即，则，即，即．
故椭圆C的离心率的取值范围是．
22设数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．
15.【解析】（1）当时，，解得．
当时，，即，
因为，所以，
从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）因为，所以，
故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，从而，，所以，故的值为定值．
（3）假设中存在第m，n，项成等差数列，
则，即．
因为，且m，n，，所以．
由，得，矛盾，
所以数列中不存在三项成等差数列．