2020年秋苏科版八年级数学上册 第三章 勾股定理单元测试卷（含解析）

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2020年秋苏科版八年级数学上册第三章 勾股定理单元测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是(???? )
A.?a2+b2=c2 ???????????????????????B.?b2+c2=a2???????????????????????C.??? a2+c2=b2???????????????????????D.?c2- a2= b2
2.由线段 组成的三角形不是直角三角形的是（?? ）
A.?????? B.??????
C.?????? D.?
3.直角三角形中，两条直角边长分别是12和5，则斜边中线长是（?? ）
A.?26????????????????????????????????????????B.?13????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?6.5
4.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（??? ）尺．
A.?3.5??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?4.5??????????????????????????????????????????D.?5
5.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（?? ）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?36??????????????????????????????????????????C.?64??????????????????????????????????????????D.?8
6.如图所示，有一个高 ，底面周长为 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底 的点 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处 的点 处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（? ）
A.????????????????????????????????????????B.?20???????????????????????????????????????C.?24???????????????????????????????????????D.?28
7.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（?? ）
A.?10cm????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?9cm
8.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（??? ）

A.?????????B.?????????C.?????????D.?
9.如图所示，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（??? ）
A.?4㎝?????????????????????????????????????B.?5㎝?????????????????????????????????????C.?6㎝?????????????????????????????????????D.?㎝
10.如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD ，则图中阴影部分的面积之和为（? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，为修铁路需凿通隧道BC ， 测得∠C＝90°，AB＝5km ， AC＝4km ， 若每天凿隧道0.3km ， 则需________天才能把隧道凿通．
12.有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是________.
13.如图，在 中， ， ，分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，交 于点E，连接 ，若 ，则 的长为________.
14.在 中， ，若 ，则 的长是________．
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝________.
16.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。

17.如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为________.
18.如图， ， ， ，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着 方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为________.
三、解答题（共7题；共46分）
19.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
20.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
21.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，且AE＝DE. 若AB＝20，CD＝30，BC＝50，求AE的长.
22.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3.求：四边形ABDC的面积.
23.如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90，点A，C，D依次在同一直线上，且AB平行DE.
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长.
24.如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
25.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
答案
一、选择题
1.解：∵∠B=90°，
∴ a2+c2=b2?.
故答案为：C.
2.解：A、32+42=52 ， 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、82+92≠102不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
C、82+152=172 ， 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、52+122=132 ， 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形.
故答案为：B.
3.解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边= =13，
则斜边中线长是6.5，
故答案为：D.
4.解：设竹子折断处离地面AC=x尺，则斜边为AB=（9-x）尺，根据勾股定理得：
解得：x=4，
∴AC=4尺．
故答案为：B．
5.解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6；
故答案为：A。
6.如图：
过F点作容器上沿的对称点B，过S作SC⊥BC于C，
连接SB，则SB即为最短距离，
由题意得：SC为圆柱体的底面周长的一半， (cm)，
FD=BD=2，
∴B (cm)，
∴ ．
故答案为：B．
7.如图1.
∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴BM=9﹣3=6，BN=5+3=8，∴MN= =10；
如图2.∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴PM=6+3=9，NP=5，∴MN= = .
∵10＜ ，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10.
故答案为：A.
8.A．∵四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
B．∵三个直角三角形的面积和=梯形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
C．∵四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
D．不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项符合题意．
故答案为：D．
9.设AD=xcm，
由折叠的性质得：BD=AD=xcm,
∵在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴CD=BC?BD=8?x(cm)，AB=10cm，
在Rt△ACD中,AC +CD =AD ，
即：6 +(8?x) =x ，
解得：x= .
故答案为：D.
10解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD ，
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）2＋DH2=21
解得：DH= ，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG= ，CG：FG=AE：EH=1:2
∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE= ，S△FGN=2S△CGN
∵AH∥CF
∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴ AEM≌ CGN， AHN≌ CFM
∴S△AEM= S△CGN ， S△AHN = S△CFM
∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH= S正方形EFGH= × =
∵S△FGN=2S△CGN
∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN
= S△MNF＋2S△CGN
= S△MNF＋S△FGN
= S四边形MFGN
=
故答案为：B.
二、填空题
11.解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km ， AC＝4km ，
则由勾股定理，得 ，
∴所需的时间为： （天）；
故答案为：10．
12.解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：92+122=225；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：122-92=144-81=63；
故答案是：225或63.
13.解：由题意得MN垂直平分AB，∴AE=BE，
设BE=AE=x，∴AC=CE+AE=x+3，
∵AC=2BC，∴BC=,
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2 ，
即（）2+32=x2 ， 解得x1=5，x2=-3（舍去），
∴BE=5.
故答案为：5.
14.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2 ，
即（AB-2）2+82=AB2 ，
解得AB=17．
故答案为：17．
15.解：∵AC⊥BD，
∵AD2=OA2+OD2 ， AB2=OA2+OB2 ， CD2=OC2+OD2 ， BC2=OB2+OC2 ，
∴AD2+BC2=AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2
=22+42=20.
故答案为：20.
16解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为： ，
故阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
17.解：设正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，根据勾股定理得
，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2＋4＝ ﹣3，
解得： ＝9，
故答案为：9.
18.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2 ，
∴32+（9-x）2=x2 ，
解得x=5.
故答案为：5m.
三、解答题
19.解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，
由勾股定理得：AB=? =10，
∵S△ABC= AB?CD= AC?BC，
∴CD= = =4.8
20. 解：由题意，AB=15，AC=DE=9，CD=AE=2，BD⊥AC，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
，
∴BD=BC+CD=14（米），
答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
21. 解：设BE＝x，则EC＝50－x.
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝400＋x2
在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝900＋(50－x)2
∵AE＝DE，∴400＋x2＝900＋(50－x)2
∴x＝30.
∴AE2＝400＋x2＝1300，∴AE＝ .
22. 解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2 ，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝ ×12×5+ ×3×4＝36.
23. （1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠CDE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5，
∴AE==13.
24. （1）解：正方体有六个表面，表面积为 ．
每个表面的面积为 ；
设棱长为为xcm（ ），即 ，
∴ ，
即棱长为 ；
（2）解：如图1所示：
由题意知：插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线 ，
∵
；
又∵ ，
，
则细木棒露在外面的最短长度为 ．
（3）解：如图2所示：
在Rt△AGB中，AG=GD=DB= ，AB= ，
蚂蚁爬行的路径 ，
蚂蚁爬行的最短距离是 ．
25. （1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即
（2）解：在 中，
在 中，
所以 ，
解得
（3）解：∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a?+3ab+b?
∴边长为：（a+b），（a+2b）
由此可画出的图形为：
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