(共11张PPT)
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下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
思考引入
(一)观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另
一个命题的结论和条件，这两个
命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
p
q
q
p
即 原命题:若p,则q
逆命题:若q,则p
（二）观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.
p
q
┐p
原命题:若p,则q
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”
否命题:若┐p,则┐q
互否命题：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题就叫做互否命题。把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的否命题。
（三）观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
p
q
┐q
原命题: 若p, 则q
┐p
逆否命题: 若┐q, 则┐p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”。
说明：否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真．
否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．
逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．
逆否命题为真．
原结论 否定 原结论 否定
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x,成立 对任何x，
不成立
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
不是
不都是
不大于
大于或等于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某x，
不成立
存在某x，
成立
再见！
作业 P 8 A 2(共18张PPT)
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京山县第一高级中学
知识网络
常用逻辑用语
命题及其关系
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
四种命题
充分条件与必要条件
量词
全称量词
存在量词
含有一个量词的否定
或
且
非
并集
交集
补集
运算
命题的形式：“若P, 则q”
1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
2、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
互逆
互否
互否
互逆
(1)原命题与逆否命题同真同假。
(2)原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。
(1) 如果命题“若p则q”为真,则记作
(2)定义:如果 ,则说p是q的充分条件,q是p的必要条件
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
p q ﹁p p∧q p∨q
真 真 假 真 真
真 假 假 假 真
假 真 真 假 真
假 假 真 假 假
4复合命题 ﹁p, p∧q ,p∨q真值表
﹁p：真假相对；p∧q ：一假必假； p∨q：一真必真
5（1）全称命题”对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记
（2）特称命题”存在M中的一个x,使p(x)成立”用符号简记
（4）特称命题
它的否定
例1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：
（１）面积相等的两个三角形是全等三角形。
（２）若x=0则xy=0。
（３）当c<0时，若ac>bc则a
（４）若mn<0，则方程mx2 x+n=0有两个不相等的实数根。
题型一.命题及真假判断
例2.分别指出下列复合命题的构成“p或q” “p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假
（1） 既大于3又是无理数
（2）直角不等于90
（3）x+1≥x 3
例3．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：
（１）若x,y都是奇数，则x+y是偶数。
（２）若xy=0，则x=0或y=0
例4.（1）关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的
解集为R的充要条件是( )
(A)m＜0 (B)m≤0
(C)m＜1 (D)m≤1
（2）已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则非p是非q（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
C
A
题型二.条件
例5已知p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R，q:函数y= -(5-2a)x是R上的减函数，若p且q假， p或q为真，求实数a的取值范围？
（1，2）
例6．写出下列命题的否定,并判断真假
（1）对任意的正数x， >x-1；
（2）存在实数x0，x02+1<2x0；
（3）已知集合A B，如果对于任意的元素x∈A，那么x∈B；
（4）已知非空集合A B，存在至少一个元素x0∈B，使得x0∈A；
题型三.全称量词与特称量词
1．指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：
（１）p：a2>b2 q：a>b 则p是q的（ ）
（２）p：{x|x> 2或x<3} q：{x|x2 x 6<0} 则p是q的（ ）
（３）p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的（ ）
（４）p：0基础训练
基础训练
3．已知关于x的方程 (1 a)x2+(a+2)x 4=0 a R
求：1) 方程有两个正根的充要条件；
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
基础训练
1)[10,+∞) ∪(1,2] 2)[10, +∞) ∪(-∞,2]
本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！
再见！
作业 p30 复习参考题A组3，4B组1(共15张PPT)
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交换原命题的条件和结论，所得的命题是________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________
逆命题。
否命题。
逆否命题。
复习引入
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
复习引入
原命题
若p 则q
逆命题
若q 则p
否命题
若 则
逆否命题
若 则
互 逆
互 逆
互 否
互 否
互为 逆否
互为 逆否
四种命题之间的相互关系
原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
思考引入
逆命题:在平面内角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等. 否命题:在平面内到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上. 逆否命题:在平面内不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.
(1)在平面内，到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上.
原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真)
例1写出下列命题的逆，否，逆否命题，并判断它们的真假。
.
逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.
否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等.
逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们
不全等.
(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.
原命题 (真) 逆命题 (假)
否命题 (假) 逆否命题 (真)
逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
(3)相等的角是对顶角
原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假)
逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
(4)凡质数都是奇数.
原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假)
1若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r,则命题q是命题r的（ ）
A逆命题 B否命题 C逆否命题 D本身
2写出下列命题的逆，否，逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若m>0,则x2+x-m=0有实数根。
（2）若x2>4,则x<-2.
C
四种命题及真假的关系
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁ p则﹁ q
逆否命题
若﹁ q则﹁p
互为逆否 同真同假
互为逆否 同真同假
互逆命题 真假无关
互逆命题 真假无关
互否命题真假无关
互否命题真假无关
例2 证明：若x2＋y2＝0，则x=y=0
分析：将“若x2＋y2＝0，则x=y=0”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析：将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。
这节课主要是学习了四种命题间的相互关系，以及利用原命题与逆否命题同真同假的关系，要证明原命题成立只须证逆否命题成立即可。
课堂小结
作业 P8.练习3，4，B组
再见！(共16张PPT)
京山县第一高级中学
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回顾:复合命题的三种基本形式是什么
(1)0.3是整数或实数;
(2) 0.3是整数且是实数;
(3)0.3非整数.
问题：复合命题的真假与构成复合命题
的简单命题的真假有什么关系？
非p: 2不是10的约数 ( )
p: 2是10的约数 ( )
非p: 平行线不相交 ( )
p: 平行线相交 ( )
假
真
真
假
p 非p
真
假
真
假
P: 5是10的约数
q: 5是15的约数
P且q: 5是10的约数且是15的约数
p: 矩形的对角线相等
q: 矩形的对角线互相垂直
P且q: 矩形对角线相等且互相垂直
p:π是有理数
q:π是自然数
P且q:π是有理数且为自然数 （ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
真
真
真
真
假
假
假
假
假
p q P且q
真 真
真 假
假 真
假 假
真
假
假
假
规定:当p,q都是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, 是假命题.
全真为真,有假即假.
p
q
P：12是３的倍数
q：12是４的倍数
p或q：12是3的倍数或是4的倍数
P：12是3的倍数
q：12是8的倍数
p或q：12是3的倍数或是8的倍数
P：12是7的倍数
q：12是8的倍数
p或q：12是7的倍数或是8的倍数 ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p q p或q
真 真
真 假
假 真
假 假
真
真
真
真
真
假
假
假
假
真
真
真
假
p
q
当p,q两个命题中有一个是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题都是假命题时, 是假命题.
开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题 的真与假.
全假为假,有真即真.
p 非p
真 假
假 真
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
说明:
说明:
说明:
真假相反
同真为真 其余为假
同假为假 其余为真
真值表
例1 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q”
“非p”形式的复合命题的真假
p: 2+2=5 q: 3>2
p: 9是质数 q: 8是12的约数
p: 1∈｛1,2｝ q: ｛1｝是｛1,2｝子集
p: φ是｛0｝的真子集 q: φ= ｛0｝
解:
(1) 因为p假q真 所以
“ p或q”为真 , “p且q”为假 ,“非p”为真
(2) 因为p假q假 所以
“p或q”为假 , “p且q”为假 ,“非p”为真
(3) 因为p真q真 所以
“p 或q”为真 , “p且q”为真 ,“非p”为假
例2 指出下列复合命题的形式及构成复合命题的简单命题,并判断复合命题的真假。
(2)5≥3.
(3)梯形的中位线平行于两底且等于两底之和.
(4)正数或0的平方根是实数.
(1)非空集合A∩B的元素,既是集合A的元素,也是集合B的元素.
例3. 如果命题 P∨q 与 均为真命题，则 （ ）
P不一定为真 (B) q 一定为真
(C) q不一定为真 （D) p与q的真假相同
B
例4.
判断复合命题真假的步骤:
(1)写出构成复合命题的简单命题p与q
(2)判断p 、q的真假
(3)由真值表判断真假
对于复合命题真假的判断,我们可以结合如下的真值表:
p q
真 真
真 假
假 真
假 假
非p
假
假
真
真
P且q
真
假
假
假
P或q
真
真
真
假(共12张PPT)
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知识要点
1.充分与必要条件
①若 p q, 但 q p, 则 p 是 q 的充分但不必要条件.
（若 p q ,则 p是q 的充分条件）
②若 q p, 但 p q, 则 p 是 q 的必要但不充分条件.
（若 q p 则 p是q 的必要条件）
③若 p q, 且 q p, 则 p 是 q 的充要条件.
④若 p q, 且 q p, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
2.充分必要条件与四种命题的关系:
①如果 p 是 q 的充分条件, 则原命题“若 p 则 q”以及逆否命题 “若 q 则 p”都是真命题.
②如果 p 是 q 的必要条件, 则逆命题“若 q 则 p”以及否命题“若 p 则 q”为真命题.
③如果 p 是 q 的充要条件, 则四种命题均为真命题.
3.集合观点理解充分、必要条件
设 P={x | p(x)成立}, Q={x | q(x)成立},
①若 P Q, 则 p 是 q 的充分但不必要条件;
②若 Q P, 则 p 是 q 的必要但不充分条件;
③若 P=Q, 则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件);
④若 P Q 且 Q P, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
判断时注意：
典型例题
例1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件:
(1) p: x>5, q: x≥5;
(2) p: 1+sin =a, q: sin +cos =a;
2
2
(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切;
(4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体;
(5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形.
解: (1)设 P={x | x>5}, Q={x | x≥5},
∴p 是 q 的充分但不必要条件.
∵P Q,
(2)∵ 1+sin =a |sin +cos |=a
2
2
sin +cos =a,
2
2
而 sin +cos =a 1+sin =a2
2
2
1+sin =|a|
1+sin =a,
∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.
解: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x 轴相切
∴p 是 q 的必要但不充分条件.
解: ∵正四棱柱是特殊的长方体,
∴p 是 q 的充分但不必要条件.
∴{正四棱柱} {长方体}.
解: ∵acosB=bcosA,
∴2RsinAcosB=2RcosAsinB.
∴A=B .
∴sin(A-B)=0.
∴p q.
∴p 是 q 的充分但不必要条件.
而 q 中没有指明哪两个角相等, 又显然 q p,
|- |= D2+E2-4F 且 E 0
E
2
1
2
.
D2-4F=0
E 0
将 形成的值看作集合 Q,
D2-4F=0
E 0
(4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体.
(5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形.
P 形成的集合看作 P,
显然 Q P.
(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切.
在此前提下考虑至少有一个非负根的反面即两个负根的充要条件是:
例2 已知集合 M={(x, y) | y2=2x}, N={(x, y) | (x-a)2+y2=9}, 求证: M∩N 的充要条件是 -3≤a≤5.
即关于 x 的方程 x2 +2(1-a)x+a2-9=0 至少有一个非负根.
证: 由已知M∩N 的充要条件是 方程组
由 △≥0 得 a≤5.
解得 a<-3.
从而使M∩N 的充要条件是 -3≤a≤5.
至少有一组实数解, 且 x≥0.
y2=2x
(x-a)2+y2 =9
△≥0,
x1+x2<0,
x1x2>0.
分析：①遇到不等式应先化简，求出其解集的最简形式
②由非p与非q之间的关系可推得p与q之间的关系
原命题与逆否命题同真假。
解析：
B
D
练习
c(共25张PPT)
1.2.2
复习
1、充分条件，必要条件的定义:
若 ，则p是q成立的＿＿＿＿条件
q是p成立的＿＿＿＿条件
充分
必要
思考：
已知p：整数a是６的倍数，
q：整数a是２和３的倍数，
那么p是q的什么条件？
定义:
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件
(也可以说成”p与q等价”)
1、充分且必要条件
2、充分非必要条件
3、必要非充分条件
4、既不充分也不必要条件
各种条件的可能情况
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
充分非必要条件
必要非充分条件
1）A B且B A，则A是B的
2）若A B且B A，则A是B的
3）若A B且B A，则A是B的
既不充分也不必要条件
充分且必要条件
4）A B且B A，则A是B的
注:一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
3、从集合与集合的关系看充分条件、
必要条件
3）若A B且B A，则甲是乙的
2) 若A B且B A，则甲是乙的
1）若A B且B A，则甲是乙的
充分非必要条件
必要非充分条件
既不充分也不必要条件
一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
4）若A=B ，则甲是乙的充分且必要条件。
小结 充分必要条件的判断方法
定义法
集合法
等价法（逆否命题）
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
判别步骤：
判别技巧：
判别充要条件问题的
④充要性包括：充分性p q和必要性q p两个方面。
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件
p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
P: x>0,y>0, q: xy>0;
P: a>b, q: a+c>b+c.
例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.
求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明
充分性 和必要性 即可
练习1、
变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充
要条件，D是C的充分而不必要条件，
那么D是A的________
充分不必要条件
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）P是q的什么条件？
充要条件
充要条件
必要条件
注、定义法（图形分析）
必要不充分条件
2：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。
1）sinA>sinB是A>B的___________条件。
2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的
________条件。
既不充分又不必要
充要条件
注、定义法（图形分析）
3、a＞b成立的充分不必要的条件是（ ）
A. ac＞bc B. a/c＞b/c
C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2
D
4.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的
解集为R的充要条件是( )
(A)m＜0 (B)m≤0
(C)m＜1 (D)m≤1
C
练习2、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的
A.充要条件 B必要不充分条件
C充分不必要 D不充分不必要
B
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0A
1.已知p是q的必要而不充分条件，
那么┐p是┐q的_______________.
练习3、
充分不必要条件
注、等价法（转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条件,则A为C的（ ）条件
A.充要 B必要不充分
C充分不必要 D不充分不必要
Ａ
集合法与转化法
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,
则非p是非q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
练习4、
A
A
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
注意点
2.搞清
①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；
②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系
３、注意几种方法的灵活使用：
定义法、集合法、逆否命题法
４、判断的技巧
①向定语看齐，顺向为充（原命题真）
逆向为必（逆命题为真）
②等价性：逆否为真即为充，
否命为真即为必
练习５
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根
为-1的充要条件是a-b+c=0.
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：
证充分性即证A =>B，
证必要性即证B=>A
练习：设x、y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0
充要条件的证明的两个方面：
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y|
3、点明结论
求：已知关于x的方程
(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
求：⑴方程有两个正根的充要条件；
⑵方程至少有一个正根的充要条件。
【解题回顾】
一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件.
回顾总结：
1、条件的判断方法
定义法 集合法 等价法（逆否命题）
2、图形分析法（网）(共12张PPT)
*
下列语句的表述形式有什么特点 你能判断
它们的真假吗
（1） 12>5;
（2） 3是12的约数;
（3） 0.5是整数;
（4）对顶角相等;
（5）3 能被2整除;
（6）若x2=1,则x=1.
语句都是陈述句，
并且可以判断真假。
思考引入
命题的概念
1.在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
2.判断为真的语句叫做真命题。
3.判断为假的语句叫做假命题。
（1） 12>5; （2） 3是12的约数;
（3） 0.5是整数; （4）对顶角相等;
（5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1.
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？
1.判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。
2.有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。
7是23的约数吗
X>5.
-2画线段AB=CD.
开语句
疑问句
祈使句
今天天气如何？
你是不是作业没交？
这里景色多美啊！
-2不是整数。
4>3。
x>4。
例1判断下列语句是不是命题？是真命题还是假命题？
不是（疑问句）
不是（疑问句）
不是（感叹句）
是（否定陈述句）假命题
是（肯定陈述句）真命题
不是（开语句）
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。
q
p
1.通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。
2.“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。
3.其中p和q可以是命题也可以不是命题.
4.“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活.
“若p则q”形式的命题的书写
1.了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与结论。
2.对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
若整数a能被2整除，则a是偶数；
菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除，
结论q：整数a 是偶数。
2) 写成“若p则q” 的形式：若四边形是菱形，
则它的对角线互相垂直且平分。
条件p：四边形是菱形，
结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
例3把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数.
(2) 正方形的四条边相等.
(3) 相切两圆的连心线经过切点.
(4) 面积相等的两个三角形全等.
(5) 等边三角形的三个内角相等.
真命题
真命题
真命题
假命题
真命题
这节课主要是学习了什么样的语句是命题，以及把命题进行改写成“若p则q”的形式，以便容易找到命题的条件和结论。
课堂小结
课外作业
P4.练习2,3
P8习题1.1第1题(共74张PPT)
充要条件的探求与证明
第一课时：
充 要 条 件 的 探 求：
第一课时：
充 要 条 件 的 探 求：
[课前引导]
第一课时：
充 要 条 件 的 探 求：
[课前引导]
1. 若a，b，c∈R，则b2－4ac<0是ax2+bx+c>0恒成立的 ( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
第一课时：
充 要 条 件 的 探 求：
[课前引导]
1. 若a，b，c∈R，则b2－4ac<0是ax2+bx+c>0恒成立的 ( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
D
2. 函数 f (x) = x|x+a|＋b是奇函数的充要条件是 ( ) A. ab=0 B. a+b=0 C. a=b D. a2+b2=0
2. 函数 f (x) = x|x+a|＋b是奇函数的充要条件是 ( ) A. ab=0 B. a+b=0 C. a=b D. a2+b2=0
[解] 法一：f (x)为奇函数 对任意实数x都有 f( x) = f (x)成立. 即 x| x+a|+b = (x|x+a|+b)成立, 即 x|x a|+b= x|x+a| b成立.
法二：当a=0, b＝1时, f (x) = x|x|+1, 此时, f( x)= x| x|+1= x|x|+1≠ f (x), ∴ f (x)不是奇函数. 从而排除A、B、C, 故选D.
[考点搜索]
[考点搜索]
1. 根据已知，探求使一个命题成立的充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件等.
[考点搜索]
1. 根据已知，探求使一个命题成立的充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件等.
2. 探求充要条件常用三种思维方法: ① 先求必要条件，再验证充分性； ② 先求充分条件，再验必要性； ③ 将命题作条件转化后再作探求，化难为易.
[链接高考]
[链接高考]
[例1]
A. b<0且c>0 B. b>0且c<0 C. b<0且c=0 D. b≥0且c=0
[解] 作函数 y=f(x)的图象, 由图知, 方程 f(x)＝0有3个不同实根, 方程f(x)＝a (a>0)有4不同实根.
若使关于x的方程f 2(x)＋bf(x)+c=0有7个不同的实根，则当且仅当关于t的方程 t2+bt+c=0有一个零根和一个正根. ∴c=0, 且b<0.
[例2] 设a、b、c为常数，对任意x∈R，不等式asinx+bcosx＋c>0恒成 立的充要条件是________.
[例2] 设a、b、c为常数，对任意x∈R，不等式asinx+bcosx＋c>0恒成 立的充要条件是________.
[解析] 设函数 f(x)=asinx+bcosx+c, x∈R, 据题意, f(x)>0恒成立,∴f(x)min >0.
[例2] 设a、b、c为常数，对任意x∈R，不等式asinx+bcosx＋c>0恒成 立的充要条件是________.
[解析] 设函数 f(x)=asinx+bcosx+c, x∈R, 据题意, f(x)>0恒成立,∴f(x)min >0.
[解析]
[解析]
[例3] 已知函数f(x)＝2cosx(sinx+acosx) a, 其中a为常数, 求函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称的充要条件.
[例3] 已知函数f(x)＝2cosx(sinx+acosx) a, 其中a为常数, 求函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称的充要条件.
[解析]
[例4]
[解析]
[解析]
[例5]
[例5]
[解]
[在线探究]
[在线探究]
1. 设a, b∈R, 则使|a|+|b|>1成立的一个充分不必要条件是 ( )
[在线探究]
1. 设a, b∈R, 则使|a|+|b|>1成立的一个充分不必要条件是 ( )
[解] 取a＝1, b＝0, 则|a|+|b|＝1,从而排除A、D.
2. 已知a>0, a≠1, 设P: 函数y=loga(x+1) 在区间(0,+∞)内单调递减; Q: 曲线y=x2+(2a 1)x+1与x轴交于不同的两点, 求P与Q有且只有一个正确的充要条件.
2. 已知a>0, a≠1, 设P: 函数y=loga(x+1) 在区间(0,+∞)内单调递减; Q: 曲线y=x2+(2a 1)x+1与x轴交于不同的两点, 求P与Q有且只有一个正确的充要条件.
[解]
第二课时：
充 要 条 件 的 判 定
第二课时：
充 要 条 件 的 判 定
[课前引导]
第二课时：
充 要 条 件 的 判 定
[课前引导]
[解]
[解]
[解]
[解]
[考点搜索]
[考点搜索]
1. 充要条件的证明分两面证，即从条件成立来证明结论成立，同时也要从结论成立证明条件也成立.
[考点搜索]
1. 充要条件的证明分两面证，即从条件成立来证明结论成立，同时也要从结论成立证明条件也成立.
2.为了证明充要条件的方便，可把命题的条件或结论价等价转化，目的是化生为熟，便于证明.
[链接高考]
[链接高考]
[例1]
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
[解析]
[例2] 给出下列四个命题：
[解析]
[例3]
[例3]
[解析]
[例4] 四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形, E、F分别是棱PD、PC上的点, 且PE＝2ED, 求证：BF∥平面AEC的充要条件是点F为棱PC的中点.
P
A
B
C
D
O
F
E
M
[例4] 四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形, E、F分别是棱PD、PC上的点, 且PE＝2ED, 求证：BF∥平面AEC的充要条件是点F为棱PC的中点.
[证明] (1) 充分性： 若点F为棱PC的中点, 取PE的中点M, 连接 FM, 则FM∥CE ①
P
A
B
C
D
O
F
E
M
连结BD交AC于O点, 则O为BD的中点, 连结OE、BM.
P
A
B
C
D
O
F
E
M
∴BM∥OE ② 由①、②知: 平面BFM∥平面AEC. ∵BF平面BFM. ∴BF∥平面AEC.
(2) 必要性： 由(1)知BM∥OE, ∵OE平面AEC, BM平面AEC, ∴BM∥平面AEC. 若BF∥平面AEC, 则平面BFM∥平面AEC ∵平面BFM∩ 平面PCD＝FM
P
A
B
C
D
O
F
E
M
平面AEC∩平面PCD=CE， ∴FM∥CE. ∵M是PE的中点, ∴F是PC的中点 综合(1)、(2)知: BF∥平面AEC的 充要条件是点F为 棱PC的中点
P
A
B
C
D
O
F
E
M
[例5]
y
x
O
F
C
D
M
B
A
[解析]
y
x
O
F
C
D
M
B
A
y
x
O
F
C
D
M
B
A
y
x
O
F
C
D
M
B
A(共17张PPT)
复 习
作业
小结
新 课
1、命题：
可以判断真假的语句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系：
逆命题 若q则p
原命题 若p则q
否命题 若 p则 q
逆否命题 若 q则 p
互逆
互逆
互 否
互 否
互为 逆否
小 结
作 业
复 习
新 课
复习引入
例 判断下列命题是真命题还是假命题 （1）若x>a2+b2,则x>2ab。 （2）若ab=0，则a=o。 （3）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （4）若a2>b2，则a>b。
小 结
作 业
复 习
新 课
复习引入
(1)、（3）为真命题。
（2）、（4）为假命题。
判断下列命题的真假
1已知 ,若 ,则.
2.若 则
如果“若p，则q”是真命题，是指通过条件p能得到结论q，即是由p可以推导出q。
记作 ，我们就说p是q的充分条件，反过来q是p的必要条件。
如果命题“若p则q”为假，则记作p q。
如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。
小 结
作 业
复 习
新 课
新课
定义:如果 ,则说p是q的充分条件(sufficient condition),
q是p的必要条件(necessary condition).
p q，相当于P q ，即 P q 或 P、q
从集合角度理解：
复 习
小 结
作 业
新 课
新课
P足以导致q,也就是说条件p充分了；
q是p成立所 必须具备的前提。
＞
a = 0 ab=0。
要使结论ab=0成立，只要有条件a =0就足够了，“足够”就是“充分”的意思，因此称a =0是ab=0的充分条件。另一方面如果ab≠0，也不可能有a =0，也就是要使a =0，必须具备ab=0的条件，因此我们称ab=0是a =0的必要条件。
充分条件与必要条件的判断
（2）利用等价命题关系判断：“p q”的等价命题是“┐q ┐p”。
即“若┐q ┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.
（条件与结论是相对的）
理解：
1、当p q时，
p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件。
3、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件。
＞
例1、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件
若 x=1,则x2-4x+3=0;
若f(x)=x,则f(x)为增函数;
若x为无理数,则x2为无理数 .
新课
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
复 习
小 结
作 业
新 课
例2、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件
若 x=y,则x2=y2;
若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
若a>b,则ac>bc.
新课
复 习
小 结
作 业
新 课
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
例3、 判断下列命题中前者是后者的什么条件？ 后者是前者的什么条件？ （1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。 （2）ax2+ax+1>0的解集为R，则0b2，则a>b。
复 习
小 结
作 业
新 课
(1) p q ,
q p
(2) p q ,
q p
(3) p q ,
q p
前者是后者的充分不必要条件。
前者是后者的必要不充分条件。
前者是后者的既不充分也不必要条件。
新课
例4 、 判断下列问题中，p是q成立的什么条件？ p q （1） x2>1 x<-1 （2） |x-2|<4 -x2+4x+5>0 （3） xy≠0 x≠0或y≠0
(1)、(2) p q，q p
（3）p q，q p
（原问题 q p）
复 习
小 结
作 业
新 课
新课
复 习
小 结
作 业
新 课
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
6 判别步骤：
7 判别技巧：
判别充要条件问题的
新课
例5、 探讨下列生活中名言名句的充分、必要关系。
（1） 水滴石穿。
复 习
小 结
作 业
新 课
（2） 骄兵必败。
（3） 有志者事竟成。
（4） 头发长，见识短。
（5） 名师出高徒。
（6） 放下屠刀，立地成佛。
（7） 兔子尾巴长不了。
（8） 不到长城非好汉。
（9） 春回大地，万物复苏。
（10）海内存知己。
（11）蜡炬成灰泪始干。
（12）玉不琢，不成器。
新课
如果已知p q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
定 义：
判别步骤：
判别技巧：
新 课
复 习
作 业
小 结
小结
1、课本P 10 练习3、4。 补： 2、写出生活中有充分条件、必要条件关系的名言名句各1句。 (剖析名言名句充分、必要关系）。
新 课
复 习
小 结
作 业
作业(共16张PPT)
*
思考
下列语句是命题吗 (1)与(3)之间,(2)(4)之间有什么关系
(1) X > 3 ;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的
(4)对任意一个 2x+1是整数.
常见的全称量词有:
“对所有的”,“对任意一个”,“对一切”,“对每一个”,“任给”,“所有的”等.
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.
符号
全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为
读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.
例1判断下列全称命题的真假:
(1)所有的素数是奇数;
(2)
(3)对每一个无理数x, 也是无理数.
真
假
假
思考
下列语句是命题吗 (1)与(3),,(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3;
(2)X能被2和3整除;
(3)存在一个x∈ R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.
常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”等.
例如,命题:
有的平行四边形是菱形;
有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定;
存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
有一些实数不能取对数.
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成
立”可用符号简记为
.
读做“存在一个x∈R,使p(x)成立”
例2 判断下列特称命题的真假
有一个实数x,使
存在两个相交平面垂直于同一条直线;
有些整数只有两个正因数.
判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集；
判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集；
例3指出下述推理过程的逻辑上的错误:
第一步：设a=b，则有a2=ab
第二步：等式两边都减去b2，
得a2-b2=ab-b2
第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b)
第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：由a=b代人得，2b=b
第六步：两边都除以b得，2=1
判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向；
回顾反思
要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。(共13张PPT)
*
思考1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定 .
这些命题和它们的否定在形式上有什么不同？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3） x∈R，x2-2x+1≥0；
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p:
全称命题的否定是特称命题.
练习：写出下列命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
（4）p：任意素数都是奇数；
（5）p：每个指数函数都是单调函数；
（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两
个端点的距离相等；
思考2
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;
3)
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
特称命题
它的否定
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
特称命题
特称命题的否定是全称命题.
关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p： x R，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p： x∈R，x2－x+1＝0；
例2 写出下列特称命题的否定
（
(2)有的三角形是等边三角形;
(3)有一个素数含三个正因数.
例3 写出下列命题的否定
（1） 所有自然数的平方是正数。
（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3） 有些质数是奇数。
例4 写出下列命题的否定
（1） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
例5 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
命题的否定与否命题是完全不同的概念
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则 q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。(共16张PPT)
京山县第一高级中学
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日常生活用语中如果说“哥哥的年龄比我大或我的年龄比哥哥大”、“萝卜长在土地里或长在树上”肯定不妥，但数学语言3>4或4>3却是正确的，这究竟是为什么呢？
下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？并说明理由：
（1） 12>6
（2） 3是15的约数
（3） 0.2是整数
（4） 3是12的约数吗？
（5） x > 2
（6）这是一棵大树
是
不 是
是
是
不 是
不 是
下列语句是命题吗？如果是命题，则与前命题(1)(2)(3)的
区别是什么呢？
（7）10可以被2或5整除
（8）菱形的对角线互相垂直且平分
（9）x > 3 或 x = 1
（10）x > 5 且 x ≥4
（11）0.5非整数
（1） 12>6
（2） 3是15的约数
（3） 0.2是整数
（7）10可以被2或5整除
（8）菱形的对角线互相垂直且平分
（11）0.5非整数
或
且
非
（9）x > 3 或 x = 1
或
（10）x > 5 且 x ≥4
且
逻辑联结词：或、且、非
简 单 命 题：不含逻辑联结词的命题
复 合 命 题：由简单命题和逻辑联结词
构成的命题
（常用小写字母p,q,r,s,……表示）
一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作
P ∧ q
读作 “p 且 q”
一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作
P ∨ q
读作 “p 或 q”
一般地,对一个命题p的否定,就得到一个新命题,记作
读作“非p”或“p的否定”
请辨识下列语句中的“且”“或”“非”
(1)我们班的同学有的来自新市,有的来自宋河.
(2)我们的新教材既注重理论,又注重实际
(3)高一没开美术课.
(4) 6<7<8.
(5)a=±b
（7）10可以被2或5整除
（8）菱形的对角线互相垂直且平分
（11）0.5非整数
p: 10可以被2整除
q: 10可以被5整除
p或q：10可以被2整除或被5整除
p: 菱形的对角线互相垂直
q: 菱形的对角线互相平分
p且q：菱形的对角线互相垂直且对角线互相平分
p: 0.5是整数
非p: 0.5非整数
复合命题的构成
指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题：
（1）24 既是 8 的倍数也是 6 的倍数
（2）小李是篮球运动员或跳高运动员
（3）平行线不相交
（4）小张是学生，小王也是学生
p且q
p或q
非p
p且q
p:24是8的倍数
q:24是6的倍数
p:小李是篮球运动员
q:小李是跳高运动员
p:平行线相交
p:小张是学生
q:小王是学生
1.逻辑联结词“且”“或”“非”的含义
且：就是两者都有的意思。
或：就是两者至少有一个的意思（可兼容）
非：就是否定的意思。
我们把使用逻辑联结词联结而成的命题称为复合命题。
课堂小结
2.简单命题与复合命题：
１）区别：是否有逻辑联结词．
２）复合命题的构成形式：
P且Q
P或Q
非P
(共22张PPT)
[例2] 判断命题：“若a＋b≠7，
则a≠3，且b≠4”的真假．
[解析] 其逆否命题为：
“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．
显然这是一个假命题，
∴原命题为假．