2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试题(word版 含解析)
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试题(word版 含解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 322.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-04 20:19:15 | ||
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文档简介
2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第14章
勾股定理》单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．4，5，6
B．7，8，9
C．5，12，13
D．10，20，26
2．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点D在AB上，且BD＝BC，则AD的长是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3．若三角形的三边是
（1）1、、2；
（2），，；
（3）32，42，52
（4）9，40，41；（5）（m+n）2﹣1，2（m+n），（m+n）2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4．如图，为修铁路需凿隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝130m，BC＝120m，若每天凿隧道5m，则把隧道凿通需要（ ）
A．10天
B．9天
C．8天
D．11天
5．设长方体的长、宽、高分别是5分米、3分米、4分米，在长方体表面上从点M到点N处的最短的途径是（ ）
A．3+分米
B．10分米
C．分米
D．4分米
6．下列几组数：①7，24，25；②8，15，17；③9，40，41；④n2﹣1，2n，n2+1（n是大于1的正整数）．其中是勾股数的有（ ）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
7．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20
B．24
C．25
D．26
8．已知等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，则它的周长为（ ）
A．42cm
B．50cm
C．49cm
D．47cm
9．观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
10．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（ ）
A．
B．
C．a＜b
D．
二．填空题（共10小题）
11．观察下列一组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤15，m，n．根据你发现的规律可得m+n＝
．
12．已知：三条直线l1、l2、l3，l1∥l2，l2∥l3，求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，第一步应假设
．
13．如图一个圆桶，底面直径为6cm，高为12cm，则沿桶的侧面从点A到点B的最短距离为
．
14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形＝（上底+下底）?高＝（a+b）?（a+b），即S梯形＝（
）①
S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）
＝
+
+
，即S梯形＝（
）②
由①、②，得a2+b2＝c2．
15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BA＝10，AC＝8，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是
（结果保留π）．
16．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3，则中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为
．
17．在△ABC中，a2+b2＝25，ab＝12，且c＝5，则最大边上的高是
．
18．小强在操场上向东走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是
．
19．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为
．
20．在△ABC中，∠C＝90°，
（1）若c＝10，a：b＝3：4，则a＝
，b＝
．
（2）若a＝9，b＝40，则c＝
．
三．解答题（共7小题）
21．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．
22．小明和小亮在同一所学校上学，放学后，小明先向东走1800米，再向南走200米到家，小亮先向北1000米，再向东走200米到家，根据题意，先画出示意图，再计算小明家和小亮家的距离．
23．你能否利用给出的3个直角三角形得到勾股定理吗？要求：画出图形并给出验证过程．
24．已知a，b，c满足（a﹣）2++|c﹣|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
25．如图1，是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？
解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为
、
、
，比较后得AG2最小为
．即最短路线的长是
．
（2）如图3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC，若AB＝3，BC＝5，求AC的长．
27．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、72+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、52+122＝132，是正整数，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、102+202≠262，不能构成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
2．解：∵在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10．
∵BD＝BC＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
3．解：（1））∵12+（）2＝22，
∴构成直角三角形；
（2）∵（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形；
（3）∵（22）2+（42）2≠（52）2，
∴不能构成直角三角形；
（4）∵92+402＝412，
∴三角形是直角三角形；
（5）∵[（m+n）2﹣1]2+[2（m+n）]2＝[（m+n）2+1]2，
∴三角形是直角三角形．
故构成直角三角形的有（1）（4）（5）共3个．
故选：B．
4．解：∵∠A+∠B＝90°，AB＝130m，BC＝120m，
∴AC＝＝＝50（m）．
∵每天凿隧道5m，
∴＝10（天）．
故选：A．
5．解：（1）如图（1），
MN＝＝；
（2）如图（2），
MN＝＝；
（3）如图（3），
MN＝＝
＝4．
可见，MN的最小值为．
故选：C．
6．解：①72+242＝252，是勾股数；
②82+152＝172，是勾股数；
③92+402＝412，是勾股数；
④（n2﹣1）2+2n2＝（n2﹣1）2，是勾股数．
故选：D．
7．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10，
∴AC＝＝＝＝26，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26的路程．
故选：D．
8．解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，
∴底边的一半＝＝8cm，
∴底边长为16cm，
∴周长＝17+17+16＝50cm，
故选：B．
9．解：梯形面积＝，
三个三角形面积之和＝，
可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：D．
10．解：要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．解：由题意得：第n组数为（2n+1），，，
∴第1个数为15时，即相当于第7组数据，
∴m＝＝112，
n＝＝113，
m+n＝112+113＝225，
故答案为：225．
12．解：∵求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
∴第一步应假设l1与l3不平行，则设相交于点A．
故答案为：l1与l3不平行，则设相交于点A．
13．解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得
AC＝3π，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝cm．
故答案为：
cm．
14．解：因为，
又因为S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ab+c2+ab＝，
所以＝，
得c2＝a2+b2．
故答案为：a2+2ab+b2，
ab，
c2，
ab，2ab+c2．
15．解：在Rt△ABC中，BC＝，
所以半圆的半径为3，则这个半圆的面积是：
S＝π?（BC）2＝π．
故答案为：π．
16．解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，S阴影＝12x2，
∴中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为＝1：13；
故答案为：1：13．
17．解：∵a2+b2＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形为直角三角形，
c为斜边，c上的高为h，由面积公式S＝ab＝ch，
∴h＝＝2.4．
故答案为：2.4．
18．解：如图，AB＝200米，BC＝BD＝150米，AC＝AD＝250米，
根据2002+1502＝2502得：∠ABC＝∠ABD＝90°，
∴小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是向北或向南，
故答案为：向北或向南．
故答案为北或南
19．解：如图，根据题意得：EF2＝16，FG2＝9，
根据勾股定理得：EG2＝16+9＝25，
则直角三角形的斜边长为5．
故答案为5．
20．解：（1）∵c＝10，a：b＝3：4，
∴设a＝3x，则b＝4x，
故（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，
则a＝6，b＝8；
故答案为：6，8；
（2）∵a＝9，b＝40，
∴c＝＝41．
三．解答题（共7小题）
21．证明：假设c∥b；
∵a∥b，
∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；
所以c与b也相交．
22．解：如图所示：AB⊥BC，
由题意可得：AB＝1200m，BC＝1600m，
故AC＝＝2000（m）．
答：小明家和小亮家的距离为2000m．
23．解：如图，梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得，a2+b2＝c2．
24．解：（1）由题意得：a﹣＝0，b﹣＝0，c﹣＝0，
解得：a＝＝2，b＝＝4，c＝＝2；
（2）∵a2+b2＝（）2+（）2＝40＝（）2＝c2，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形．
25．解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为（4+2）2+12＝37、42+（1+2）2＝25、22+（4+1）2＝29，比较后得AG2最小为25．即最短路线的长是5．
（2）如图3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21．
故答案为37，25，29，5．
26．解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM．
∵AM2+BM2＝AB2，AB＝3，
∴AM＝BM＝3．
∴CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，
∴AC＝＝＝．
27．解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
勾股定理》单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．4，5，6
B．7，8，9
C．5，12，13
D．10，20，26
2．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点D在AB上，且BD＝BC，则AD的长是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3．若三角形的三边是
（1）1、、2；
（2），，；
（3）32，42，52
（4）9，40，41；（5）（m+n）2﹣1，2（m+n），（m+n）2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4．如图，为修铁路需凿隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝130m，BC＝120m，若每天凿隧道5m，则把隧道凿通需要（ ）
A．10天
B．9天
C．8天
D．11天
5．设长方体的长、宽、高分别是5分米、3分米、4分米，在长方体表面上从点M到点N处的最短的途径是（ ）
A．3+分米
B．10分米
C．分米
D．4分米
6．下列几组数：①7，24，25；②8，15，17；③9，40，41；④n2﹣1，2n，n2+1（n是大于1的正整数）．其中是勾股数的有（ ）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
7．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20
B．24
C．25
D．26
8．已知等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，则它的周长为（ ）
A．42cm
B．50cm
C．49cm
D．47cm
9．观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
10．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（ ）
A．
B．
C．a＜b
D．
二．填空题（共10小题）
11．观察下列一组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤15，m，n．根据你发现的规律可得m+n＝
．
12．已知：三条直线l1、l2、l3，l1∥l2，l2∥l3，求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，第一步应假设
．
13．如图一个圆桶，底面直径为6cm，高为12cm，则沿桶的侧面从点A到点B的最短距离为
．
14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形＝（上底+下底）?高＝（a+b）?（a+b），即S梯形＝（
）①
S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）
＝
+
+
，即S梯形＝（
）②
由①、②，得a2+b2＝c2．
15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BA＝10，AC＝8，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是
（结果保留π）．
16．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3，则中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为
．
17．在△ABC中，a2+b2＝25，ab＝12，且c＝5，则最大边上的高是
．
18．小强在操场上向东走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是
．
19．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为
．
20．在△ABC中，∠C＝90°，
（1）若c＝10，a：b＝3：4，则a＝
，b＝
．
（2）若a＝9，b＝40，则c＝
．
三．解答题（共7小题）
21．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．
22．小明和小亮在同一所学校上学，放学后，小明先向东走1800米，再向南走200米到家，小亮先向北1000米，再向东走200米到家，根据题意，先画出示意图，再计算小明家和小亮家的距离．
23．你能否利用给出的3个直角三角形得到勾股定理吗？要求：画出图形并给出验证过程．
24．已知a，b，c满足（a﹣）2++|c﹣|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
25．如图1，是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？
解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为
、
、
，比较后得AG2最小为
．即最短路线的长是
．
（2）如图3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC，若AB＝3，BC＝5，求AC的长．
27．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、72+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、52+122＝132，是正整数，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、102+202≠262，不能构成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
2．解：∵在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10．
∵BD＝BC＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
3．解：（1））∵12+（）2＝22，
∴构成直角三角形；
（2）∵（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形；
（3）∵（22）2+（42）2≠（52）2，
∴不能构成直角三角形；
（4）∵92+402＝412，
∴三角形是直角三角形；
（5）∵[（m+n）2﹣1]2+[2（m+n）]2＝[（m+n）2+1]2，
∴三角形是直角三角形．
故构成直角三角形的有（1）（4）（5）共3个．
故选：B．
4．解：∵∠A+∠B＝90°，AB＝130m，BC＝120m，
∴AC＝＝＝50（m）．
∵每天凿隧道5m，
∴＝10（天）．
故选：A．
5．解：（1）如图（1），
MN＝＝；
（2）如图（2），
MN＝＝；
（3）如图（3），
MN＝＝
＝4．
可见，MN的最小值为．
故选：C．
6．解：①72+242＝252，是勾股数；
②82+152＝172，是勾股数；
③92+402＝412，是勾股数；
④（n2﹣1）2+2n2＝（n2﹣1）2，是勾股数．
故选：D．
7．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10，
∴AC＝＝＝＝26，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26的路程．
故选：D．
8．解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，
∴底边的一半＝＝8cm，
∴底边长为16cm，
∴周长＝17+17+16＝50cm，
故选：B．
9．解：梯形面积＝，
三个三角形面积之和＝，
可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：D．
10．解：要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．解：由题意得：第n组数为（2n+1），，，
∴第1个数为15时，即相当于第7组数据，
∴m＝＝112，
n＝＝113，
m+n＝112+113＝225，
故答案为：225．
12．解：∵求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
∴第一步应假设l1与l3不平行，则设相交于点A．
故答案为：l1与l3不平行，则设相交于点A．
13．解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得
AC＝3π，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝cm．
故答案为：
cm．
14．解：因为，
又因为S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ab+c2+ab＝，
所以＝，
得c2＝a2+b2．
故答案为：a2+2ab+b2，
ab，
c2，
ab，2ab+c2．
15．解：在Rt△ABC中，BC＝，
所以半圆的半径为3，则这个半圆的面积是：
S＝π?（BC）2＝π．
故答案为：π．
16．解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，S阴影＝12x2，
∴中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为＝1：13；
故答案为：1：13．
17．解：∵a2+b2＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形为直角三角形，
c为斜边，c上的高为h，由面积公式S＝ab＝ch，
∴h＝＝2.4．
故答案为：2.4．
18．解：如图，AB＝200米，BC＝BD＝150米，AC＝AD＝250米，
根据2002+1502＝2502得：∠ABC＝∠ABD＝90°，
∴小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是向北或向南，
故答案为：向北或向南．
故答案为北或南
19．解：如图，根据题意得：EF2＝16，FG2＝9，
根据勾股定理得：EG2＝16+9＝25，
则直角三角形的斜边长为5．
故答案为5．
20．解：（1）∵c＝10，a：b＝3：4，
∴设a＝3x，则b＝4x，
故（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，
则a＝6，b＝8；
故答案为：6，8；
（2）∵a＝9，b＝40，
∴c＝＝41．
三．解答题（共7小题）
21．证明：假设c∥b；
∵a∥b，
∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；
所以c与b也相交．
22．解：如图所示：AB⊥BC，
由题意可得：AB＝1200m，BC＝1600m，
故AC＝＝2000（m）．
答：小明家和小亮家的距离为2000m．
23．解：如图，梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得，a2+b2＝c2．
24．解：（1）由题意得：a﹣＝0，b﹣＝0，c﹣＝0，
解得：a＝＝2，b＝＝4，c＝＝2；
（2）∵a2+b2＝（）2+（）2＝40＝（）2＝c2，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形．
25．解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为（4+2）2+12＝37、42+（1+2）2＝25、22+（4+1）2＝29，比较后得AG2最小为25．即最短路线的长是5．
（2）如图3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21．
故答案为37，25，29，5．
26．解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM．
∵AM2+BM2＝AB2，AB＝3，
∴AM＝BM＝3．
∴CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，
∴AC＝＝＝．
27．解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．