人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径同步练习题（word解析版）

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)
24.1.2垂直于弦的直径
姓名：__________
班级：__________考号：__________
一、单选题（共15题；共45分）
1.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（??
）
A.?8???????????????????????????????????????B.?12???????????????????????????????????????C.?16???????????????????????????????????????D.?2
2.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则OE的长为(???
)
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
3.如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，OD＝3，则AB的长为（??
）
A.?8???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?3
4.如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（??
）
A.?3cm????????????????????????????????B.?3
cm????????????????????????????????C.?4cm????????????????????????????????D.?3
cm
5.已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（??
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（??
）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?3
7.“圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用现代的数学语言表达是：“如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE
=
1寸，AB
=
1尺，求直径的长”.
依题意，CD长为（??
）
A.?
寸???????????????????????????????????B.?13寸???????????????????????????????????C.?25寸???????????????????????????????????D.?26寸
8.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（??
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（??
）
A.?8cm?????????????????????????????????????B.?5cm?????????????????????????????????????C.?3cm?????????????????????????????????????D.?2cm
10.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（??
）
A.?AD=2OB???????????????????????B.?CE=EO???????????????????????C.?∠OCE=40°???????????????????????D.?∠BOC=2∠BAD
11.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（??
）
A.?16??????????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????????D.?6
12.如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm
，
OC⊥AB于点C
，
则OC等于（　　）
A.?3cm?????????????????????????????????????B.?4cm?????????????????????????????????????C.?5cm?????????????????????????????????????D.?6cm
13.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点
是这段弧所在圆的圆心，
，点
是
的中点，点D是AB的中点，且
，则这段弯路所在圆的半径为（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
14.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（???
）
A.?12cm???????????????????????????????????B.?10cm???????????????????????????????????C.?8cm???????????????????????????????????D.?6cm
15.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于(???
)
A.?72．5°?????????????????????????????????????B.?75°?????????????????????????????????????C.?80°?????????????????????????????????????D.?60°
二、填空题（共15题；共45分）
16.已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为________cm.
17.如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.
18.如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，则水的深度CD是________.
19.⊙O的半径OA与弦BC交于点D，若OD
=
3，AD
=
2，BD
=
CD，则BC的长为________．
20.如图，
为
的直径，弦
于点E，已知
，
，则
的半径为________.
21.工程上常用钢珠来测量零件口宽，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠的顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个零件的口宽AB的长度是________
22.如图，
为
的直径，弦
，垂足为
，
，
，
，则弦
的长度为________．
23.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为________.
24.如图，圆弧形拱桥的跨径
米，拱高
米，则拱桥的半径为________米.
25.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是________
26.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，
AE=2cm，则OF的长度是________．
27.⊙O的直径为20，弦AB长为12，点P是弦AB上一点，则OP的取值范围是________．
28.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________．
29.半径分别为3cm与
cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB=
cm，那么圆心距O1O2的长为________cm.
30.如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为________m.
三、解答题（共5题；共60分）
31.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，求线段AE的长。（10分）
32.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径.（12分）
33.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,以点C为圆心，CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、E，求圆心到AB的距离及AD的长．（13分）
34.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）（10分）
35.已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．（15分）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝
＝
＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
2.【答案】
B
【解析】【解答】解：连接OC.
∵直径AB=10，
∴OC=5.
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴CD=2CE=8，∠OEC=90°，
∴CE=4，
由勾股定理得：OE
3.
故答案为：B.
【分析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出OE即可.
3.【答案】
A
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵⊙O的半径为5，OD＝3，
∵AD＝DB，
∴OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴BD＝
∴AB＝2BD＝8.
故答案为：A.
【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论.
4.【答案】
B
【解析】【解答】如图所示，
由题意知
，且
，
，
，
则
.
故答案为：
.
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
5.【答案】
D
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=
AB，
由勾股定理可得，AM=
=4，
所以AB=2AM=8.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得出AM=
AB，然后由勾股定理算出AM的长，从而即可得出AB的长.
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝
CD＝
×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP?OA＝8?x，
∴OC2＝PC2＋OP2
，
即x2＝42＋（8?x）2
，
解得x＝5，
∴⊙O的直径为10.
故答案为：A.
【分析】连接OC，根据垂径定理得出PC＝
CD＝
×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，OP＝AP?OA＝8?x，根据勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出答案.
7.【答案】
D
【解析】【解答】解：连接OA.
设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA=x，OE=x-1，
∵OA2=OE2+AE2
，
则x2=（x-1）2+25，
解得：x=13.
则CD=2×13=26.
故答案为：D.
【分析】连接OA.根据垂径定理得出AE=5寸，设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA=x，OE=x-1，根据勾股定理建立方程，求解算出x的值，从而即可得出答案.
8.【答案】
A
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6，
∴
?
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得DE=CD可求解。
9.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=
CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE=
=3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得出CE=4，在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE的长，再根据AE=AO+OE即可算出答案。
10.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴
=
，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到
=
，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
11.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6，
∴OC⊥AB，
∴AB=2BC，
在Rt△BOC中，OB=10，OC=6，
∴BC=
=
=8，
∴AB=2BC=2×8=16．
故选A．
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案．
12.【答案】
D
【解析】【解答】解：连接OA
，
如图：
∵AB＝16cm
，
OC⊥AB
，
∴AC＝
AB＝8cm
，
在Rt
OAC中，OC＝
＝
＝6（cm），
故答案为：D
．
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
13.【答案】
A
【解析】【解答】连接AC，
?
∵点
是
的中点，点D是AB的中点，
∴OC经过D点，且
，
∴
，
在
中，
，
设半径为
得：
，
解得：
，
∴这段弯路的半径为
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据题意可得OC经过D点，且
，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值.
14.【答案】
B
【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OC，则CD=2，AB=8；设圆的半径为r。
利用圆和矩形的轴对称性可得：OC⊥AB
∴AD=AB=4?
，OD=r-2
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2
，
即（r-2）2+42=r2
，
解得r=5
∴2r=10（cm）
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理和勾股定理求解即可。
15.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=BC=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，
又∵
OD⊥AB
，
∴∠DOB=30°，
∵∠DAB=∠DOB=15°，
∴
∠OAD
=∠OAB+∠DAB=60°+15°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和圆的性质得AB=BC=OA=OC，由等边三角形判定可得△OAB是等边三角形，根据等边三角形性质和垂径定理∠DAB=15°，由
∠OAD
=∠OAB+∠DAB即可求得答案.
二、填空题
16.【答案】
12
【解析】【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝
AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝
＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm.
故答案为：12.
【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=
AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可.
17.【答案】
3
【解析】【解答】解：过点
作
于
，连接
，如图，
则
，
在
中，
，
所以
与
之间的距离是3.
故答案为3.
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH的长。
18.【答案】
8
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，OD⊥AB，
∴OD＝OA＝13，AC＝
AB＝12，
在Rt△AOC中，OC＝
＝
＝5，
∴CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8.
故答案为：8.
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD＝OD﹣OC即可得出结论.
19.【答案】
8
【解析】【解答】解：如图∵BD＝CD，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝
＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为8．
【分析】利用垂径定理的推论得到OD⊥BC，然后利用勾股定理计算出BD，从而得到BC的长．
20.【答案】
5
【解析】【解答】解：连接OD，
?
∵CD⊥AB于点E，
∴DE=CE=
CD=
×8=4，∠OED=90°，
由勾股定理得：OD=
,
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．
21.【答案】
8
mm
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD=
mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm.
故答案为：8
mm.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得出AB=2AD，在Rt△AOD中，利用勾股定理算出AD的长，从而即可得出答案.
22.【答案】
【解析】【解答】
连接
、
，
交
于
，如图，
∵
，
，
设⊙
的半径为
，则
，
，
在
中，
，解得
，
∵
，
，
，
在
中，
，①
在
中，
，②
解由①②组成的方程组得到
，
．
故答案为
．
【分析】先利用勾股定理求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理求出AF的一半，继而可求出AF的长。
23.【答案】
【解析】【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5?R，
∵直径EF⊥CD,垂足为M,CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2
，
R2=(5?R)2+12
，
解得R=
.
故答案为
.
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，可表示出OC，OM，利用垂径定理求出CM的长，再利用勾股定理求出圆的半径。
24.【答案】
【解析】【解答】解：如图，
设圆心为O，半径长为r米，
可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：
，
解得r=6.5米，即半径长为6.5米.
故答案为：6.5。
【分析】设圆心为O，半径长为r米，由题意可知OD=(r-4)米，根据垂径定理得出AD=BD=6米，Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解即可。
25.【答案】
8
【解析】【解答】解：如图，连接OA；
∵OC=5,CE=2,
∴OE=OC-CE=3,
∵
OC⊥AB
,
∴AB=2AE,
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2+OE2=AO2
，
又OA=5,OE=3,
∴AE=4,
∴AB=2AE=8;
故答案为8.
【分析】如图，连接OA；根据垂径定理得出AB=2AE，在Rt△AOE中，根据勾股定理算出AE的长，从而得出答案。
?
26.【答案】
【解析】【解答】解：连接OB
∵BD⊥OA，BD=8
∴BD=2BE
∴BE=8÷2=4
设圆O的半径为r，则OE=r-2
在Rt△DBE中，
OB2=OE2+BE2
r2=（r-2）2+42
解之：r=5
∴CE=8
在Rt△CBE中，BC=
∵OF⊥BC
∴BC=2BF
∴BF=
在Rt△BOF中，OF=,
故答案为：
【分析】利用垂径定理易证BD=2BE，BC=2BF，求出BE的长，再利用勾股定理求出圆的半径，从而可求出CE的长，在Rt△CBE中，利用勾股定理求出BC的长，从而可求出BF的长，然后在Rt△BOF中，利用勾股定理求出OF的长度。
27.【答案】
8≤OP≤10
【解析】【解答】解：作OC⊥AB，则AC＝BC＝6，
∵OA＝10，
∴OC＝8，
∴OP的取值范围是8≤OP≤10．
故答案为：8≤OP≤10．
【分析】用垂径定理求得OC的长即为OP的最小值，半径OA的长即为OP的最大值，从而求得OP的取值范围。
28.【答案】
（2，6）
【解析】【解答】解:
∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF=
CD=8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．
连接MC，则MC=
OA=10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF=
=6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【分析】过点M作MF⊥CD于点F，过点C作CE⊥OA于点E，连接MC。由圆的性质可得MC=
OA；由平行四边形的性质和勾股定理即可求解。
29.【答案】
2或4
【解析】【解答】连接O1O2、O1A、O2A，令O1O2交AB于点C，如图所示
由已知得O1A=3，O2A=
，AB=
∴
∴
∴
或
∴答案为2或4.
【分析】首先连接O1O2、O1A、O2A，令O1O2交AB于点C，根据垂径定理和勾股定理即可得解.
30.【答案】
5
【解析】【解答】解：连接OA，
∵CD⊥AB
∴AD=AB=×6=3
设圆的半径为r，则OD=9-r
∴AO2=OD2+AD2,
∴r2=（9-r）2+9
解之：r=5.
故答案为：5.
【分析】连接OA，利用垂径定理求出AD的长，设圆的半径为r，则OD=9-r，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
三、解答题
31.【答案】
解：连接OC，
∵AB=10，∴OC=OA=5，
∵CD⊥AB，∴CE=
CD=
×8=4，
在Rt△OCE中，OE=
=3，
∴AE=OA-OE=5-3=2
【解析】【分析】
连接OC，?根据垂径定理和勾股定理，即可求出OE的值，进而即可得到答案.
32.【答案】
解：连接OD，
设OB＝OD＝R，则OE＝16﹣R，
∵直径AB⊥CD，CD＝16，
∴∠OED＝90°，DE＝
CD＝8，
由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2
则R2＝（16﹣R）2+82
解得：R＝10，
∴⊙O的半径为10.
【解析】【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理列式计算.
33.【答案】
解：过C作CH⊥AB，
∵∠C=90°，
∴AB==10，
S△ABC=AC×BC=AB×CH，
即6×8=10×CH，
解得CH=4.8，
∴AH=
AD=2AH=2×3.6=7.2.
∴圆心到AB的距离及AD的长分别为4.8和7.2.?
【解析】【分析】过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出AB，在直角三角形ABC中用面积法求出斜边上高CH的长，在Rt△ACH中，利用勾股定理求出AH，根据垂径定理，则AD的长可求.
34.【答案】
解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
【解析】【分析】
在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可。
35.【答案】
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
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