北师大版九年级数学下册2.4.1最大面积问题同步练习（Word版，含答案）

北师大版九年级数学下第二章4
二次函数的应用
4.1最大面积问题（含答案）
一、选择题
1．把一根长为50
cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x
cm，它的面积为y
cm2，则y与x之间的函数关系式为(　　)
A．y＝－x2＋50x
B．y＝x2－50x
C．y＝－x2＋25x
D．y＝－2x2＋25x
2．用长8
m的铝合金条制成如图1所示形状的矩形窗框，这个窗户的最大透光面积为(　　)
　图1
A.
m2
　　　　　
B.
m2
C.
m2
D．4
m2
二、填空题
3．如图2，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________
m时，矩形土地ABCD的面积最大．
图2
1.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50
m)，中间用两道墙隔开(如图3)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48
m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图3
5．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图4所示的三处各留1
m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27
m，则能建成的饲养室面积最大为________．
图4
6．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，如图5，大门地面宽为4
m，顶部距离地面的高度为4.4
m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4
m，该车要想通过此门，装货后的最大高度应是________m.
图5
三、解答题
7．某高中学校为高一新生设计的单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉的底面周长为180
cm，高为20
cm.请通过计算说明，当抽屉底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大，最大为多少？(材质及其厚度等忽略不计)
8．如图6所示，矩形ABCD的两边长AB＝18
cm，AD＝4
cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2
cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1
cm的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x
s(x>0)，△PBQ的面积为y
cm2.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
图6
9．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图7所示的直角墙角(两边足够长)，用28
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x
m.
(1)若花园的面积为192
m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15
m和6
m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
图7
10．如图8，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H.
(1)求证：＝；
(2)设EF＝x，则当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？请求出其最大面积．
图8
附加题
如图9①，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图②中的点P处，正好得到一个长方体形状的包装盒．图①中，点E，F在AB边上，且是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x
cm.
(1)若要求包装盒的高是20
cm(以图中所示位置为参照)，则x的值应是多少？
(2)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？
图9
参考答案
1．[解析]
C　这个长方形的一边长为x
cm，则另一边长为(25－x)cm，根据长方形的面积公式可得y＝x(25－x)＝－x2＋25x.故选C.
2．[解析]
C　设窗框水平的边长为x
m，则竖直的边长为
m，
∴S＝·x＝－x2＋4x＝－(x－)2＋(0＜x＜)，
∴当x＝时，S最大值＝，即这个窗户的最大透光面积是
m2.
3．[答案]
150
4．[答案]
144
[解析]
如图，设这三间长方形种牛饲养室的总占地面积为S
m2，CD的长度为x
m.
由题意知AB＝CD＝EF＝GH＝x
m，
∴BH＝(48－4x)m.
∵00，∴0∵S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144，
∴当x＝6时，S取得最大值，最大值为144.
5．[答案]
75
m2
[解析]
设垂直于现有墙的一边长为x
m，则平行于现有墙的一边长为27＋3－3x＝(30－3x)m.
设饲养室的面积为S
m2，则S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75.
∵0故饲养室的最大面积为75
m2.
6．[答案]
2.816　
[解析]
建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的表达式为y＝ax2，
由题意得，点A的坐标为(2，－4.4)，
∴－4.4＝4a，解得a＝－1.1，
∴抛物线的表达式为y＝－1.1x2.
当x＝1.2时，y＝－1.1×1.44＝－1.584，
∴线段OB的长为1.584
m，
∴BC＝4.4－1.584＝2.816(m)，
∴装货后的最大高度应是2.816
m.
故答案为2.816.
7．解：因为长方体抽屉的底面宽为x
cm，则长为(90－x)cm.
由题意可列不等式组解得0＜x≤45.
根据题意，得y＝20x(90－x)．
整理，得y＝－20x2＋1800x＝－20(x－45)2＋40500.
∵a＝－20＜0，0＜x≤45，
∴当x＝45时，y取得最大值，y最大＝40500，
即当抽屉底面的宽为45
cm时，抽屉的体积最大，最大为40500
cm3.
8．[解析]
先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数表达式，然后运用公式法或配方法把函数表达式化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题．
解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0(2)由(1)知y＝－x2＋9x，
∴y＝－(x－)2＋.
∵当x<时，y随x的增大而增大，而0∴当x＝4时，y取得最大值，y最大值＝20，
即△PBQ的面积的最大值是20
cm2.
9．解：(1)∵AB＝x
m，
∴BC＝(28－x)m，
∴x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16.
则x的值为12或16.
(2)由题意，得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15
m和6
m，
∴解得6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取得最大值，此时S＝－(13－14)2＋196＝195.
因此，花园面积S的最大值为195
m2.
10．解：(1)证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，
∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC，EF∥PQ，
∴AH⊥EF，
∴＝.
(2)设矩形EFPQ的面积为y.
∵＝，
∴＝，
∴AH＝x，
∴DH＝4－x，
∴y＝－x2＋4x＝－(x－)2＋5(0＜x＜5)．
又∵a＝－＜0，
∴当x＝时，y有最大值5.
即当x＝时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5.
附加题
解：由题意可得，包装盒的底面为正方形．
(1)∵AE＝FB＝x
cm，则EF＝(60－2x)cm，
∴包装盒的高为×(60－2x)＝(30－x)cm.
由题意，得
(30－x)＝20，
解得x＝30－10
.
(2)∵AE＝x
cm，
∴包装盒的底面边长为x
cm，
则包装盒的侧面积
S＝x·(30－x)·4
＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋1800(0∴当x＝15时，S取得最大值．