北师大版九年级数学下册第三章圆质量评估卷（Word版 含答案）

第一章质量评估试卷
A卷(共100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法正确的是(　
　)
A．平分弦的直径垂直于弦
B．半圆(或直径)所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．若直线与圆有公共点，则这条直线与圆相交
2．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(　
　)
?A.50°
?B.55°
?C.60°
?D.65°
3．如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，则下列结论错误的是(　　)
?A．AP＝2OP
?B．CD＝2OP
?C．OB⊥AC
?
D．AC平分OB
4．绍兴是著名的桥乡．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8
m，桥拱半径OC为5
m，则水面宽AB为(　　)
A．4
m
B．5
m
C．6
m
D．8
m
5．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(　　)
?A.4
?B.6.25
?C.7.5
?D.9
6．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(　
　)
?A.4π－8
?
B.2π
?C.4π
?
D.8π－8
7．如图，正三角形ABC的边长为4
cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2
cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为(　
　)
?A．(2－π)
cm2
?
B．(π－)
cm2
?C．(4－2π)
cm2
?
D．(2π－2)
cm2
8．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M
在⊙O上，∠MAB＝20°，N
是的中点，点P是直径AB
上一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为(　??　)
?A.4
?B.5
?
C.6
?
D.7
　　　
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，给出下列结论：①CD＝BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2＝AE·AC.其中正确的结论有(　
　)
?A.1个
?B.2个
?C.3个
?D.4个
10．如图，⊙P与x轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为(　
　)
?A.＋
?
B.2＋
?C.4
?
D.2＋2
　
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．75°的圆心角所对的弧长是2.5π
cm，则此弧所在圆的半径是
cm?．
12．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为
度．
13．如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于
度．
14．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝
．
三、解答题(共54分)
15．(9分)如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5
cm，弦DE＝8
cm，求直尺的宽．
16．(9分)如图1是长春新地标——摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图2是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶AD距地面BC为34米，摩天轮⊙O与楼顶AD近似相切，切点为G.测得∠OEF＝∠OFE＝67°，EF＝27.54米，求摩天轮的最高点到地面BC的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：sin
67°≈0.92，cos
67°≈0.39，tan
67°≈2.36)
图1　
图2　
17．(9分)如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
18．(9分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC＝DC，BC＝BD.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)作CD的平行线AE交⊙O于点E.已知DC＝10，求圆心O到AE的距离．
19．(9分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝，∠C＝30°，求的长．
20．(9分)如图，直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C的切线CD⊥PB，垂足为点D，连接AC.
(1)求证：AC平分∠PAE；
(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．
B卷(共50分)
一、
填空题(每小题4分，共20分)
21．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F.已知∠A＝110°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是
．
22．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…依次连接，它们的圆心依次按A，B，C，D循环．当AB＝1时，曲线DEFGH的长是
．
23．如图，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上的一个动点，
PB切⊙O于点B，则PB的最小值是
．
24．如图，四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，AB＝1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是
．
25．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝CA，连接DB，并延长交⊙O于点E，连接AE.若AE＝13,
AC＝5，则AB＝
．
二、解答题(共30分)
26．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠BAC，交BC于点O.以O为圆心，OC为半径作⊙O，分别交AO，BC于点E，F.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)延长AO交⊙O于点D，连接CD.若AD＝2AC，求tan
D的值；
(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求BC的长．
27．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若?tan?∠BCP＝，AD·BC＝4m2(m＞0)，求⊙O的半径(用含m的代数式表示)；
(3)如图2，在(2)的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF＝5，求线段PE的长．
图1　　
图2
28．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG.
(1)求证：FG是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为4.
①当OD＝3，求AD的长；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
　　
备用图
参考答案
A卷(共100分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.B
2.A
3.A
4.D
5.A
6.A
7.C
8.B
答图
【解析】
如答图，作点N关于AB
的对称点C，连接PC，NC，CM，AC，OM，OC.∵点N
是的中点，则＝＝.∵∠MAB＝20°，∴∠CAB＝10°，∴∠MAC＝30°，∴∠MOC＝2∠MAC＝60°.又∵OM＝OC，∴△MOC是等边三角形，∴MC＝OC＝4.根据AB垂直平分线段CN，∴PN＝PC，∴PM＋PN＋MN＝PM＋PC＋MN＝MC＋MN＝4＋1＝5，∴△PMN周长的最小值是5.故选B.
9.D
10.B
答图
【解析】
如答图，连接PA，PB，PC，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥OC于点E.
∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°.
∵A(－5，0)，B(1，0)，∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2.
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE＋OE＝2＋，
∴点C的纵坐标为2＋.
故选B．
二、填空题(每小题4分，共16分)
11.
6
12.
144
13.
60
14.
2
答图
【解析】
如答图，连接OC，BC.∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.∵BD＝OB，⊙O的半径为2，∴BC＝BD＝OB＝OC＝2，即△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°.∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，∴CE＝EF，AB⊥CF，即△OEC为直角三角形．在Rt△OEC中，∵OC＝2，∠BOC＝60°，∠OEC＝90°，∴CE＝，∴CF＝2CE＝2.
三、解答题(共54分)
15.
答图
解：如答图，过点O作OM⊥DE于点M，连接OD，则DM＝DE.
∵DE＝8
cm，∴DM＝DE＝4(cm)．
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5
cm，DM＝4
cm，
∴OM＝＝＝3
(cm)，
即直尺的宽度为3
cm.
16.
答图
解：
如答图，连接OG.
∵∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF.
∵⊙O与AD相切于点G，∴OG⊥EF，
∴∠OGF＝90°，FG＝EG＝EF＝×27.54＝13.77(米)．
在Rt△OGF中，∠OGF＝90°，tan∠OFE＝，
∴OG＝FG·tan∠OFG≈13.77×2.36≈32.50(米)，
∴32.50×2＋34＝99.0(米)，
即摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米．
17.
证明：
(1)∵C是的中点，
∴＝.
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF.
在△BFG和△CDG中，
∵
∴△BFG≌△CDG(?AAS
(2)解法一：如答图1，连接OF，设⊙O的半径为r.
答图1
答图2
在?Rt?△ADB中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.
在?Rt?△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r－2)2.
∵＝＝，
∴＝，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，
解得r＝1(舍)或3，
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，
∴BF＝2.
解法二：如答图2，连接OC，交BD于点H.
∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH.
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1.
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH(?AAS
∴OE＝OH＝1，
∴CE＝EF＝＝2，
∴BF＝＝＝2.
18.
(1)证明：如答图1，连接OC.
∵AC＝DC，BC＝BD，
∴∠D＝∠CAD＝∠BCD.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠BCD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
即∠OCB＋∠OCA＝90°，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°，即∠OCD＝90°.
∵点C在圆上，∴DC是⊙O的切线．
(2)解：如答图2，作OM⊥AE.
∵∠D＝∠CAD＝∠BCD＝∠OCA，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD＝∠D＝30°.
∵CD∥AE，∴∠EAB＝∠D＝30°.
∵DC＝AC＝10，∴由对称性可得AE＝10.
在Rt△AOM中，∠EAB＝30°，AM＝5，
∴OM＝5，即圆心O到AE的距离为5.
答图1
答图2
19.
(1)证明：
如答图，连接OD.∵OC＝OD.AB＝AC，
∴∠1＝∠C.∠C＝∠B，∴∠1＝∠B.
∵DE⊥AB，∴∠2＋∠B＝90°.
∴∠2＋∠1＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为⊙O的切线．
答图
(2)解：
如答图，连接AD.∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，
∴∠AOD＝60°.
∵DE＝，∴BD＝CD＝2，∴OC＝2，
∴＝＝π.
20.
　
答图
(1)证明：
如答图，连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵CD⊥PB，∴AB∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠PAE.
(2)解：
如答图，过点O作OF⊥AB，垂足为点F，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD.
∵DC＋DA＝6，
∴设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.
∵⊙O的直径为10，
∴DF＝OC＝5，
∴AF＝5－x.
在?Rt?△AOF中，由勾股定理得AF2＋OF2＝OA2，
即(5－x)2＋(6－x)2＝25，
化简得x2－11x＋18＝0，
解得x1＝2，x2＝9.
∵CD＝6－x大于0，∴x＝9舍去，
∴x＝2，
∴AD＝2，AF＝5－2＝3.
∵OF⊥AB，由垂径定理知F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝6.
?B卷(50分)
一、
填空题(每小题4分，共20分)
21.
70°
【解析】
∵∠A＝110°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－110°－30°＝40°.∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝180°－40°＝140°，∴∠DFE＝∠DOE＝70°.
22.
5π
【解析】
根据题意可得出AB＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，故曲线DEFGH的长是＋＋＋＝＋＋＋＝＋π＋＋2π＝5π.
23.
24.
－
25.
二、解答题(共30分)
26.
　
答图
(1)证明：
如答图，过点O作OM⊥AB交AB于点M.
∵AO平分∠BAC，OM⊥AB，∠ACB＝90°，
∴OC＝OM，
∴OM为⊙O半径，且OM⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
(2)解：
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCO＝∠ACE.
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠DCO，
∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ADC，
∴＝.
∵AD＝2AC，
∴tan
D＝＝＝.
(3)解：
∵△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD(AD－6)，且2AC＝AD，
∴AD＝8，
∴AC＝4.
∵AO＝AO，OC＝OM，
∴?Rt?△AOM≌?Rt?△AOC(?HL?)，
∴AM＝AC＝4.
∵∠B＝∠B，∠OMB＝∠ACB＝90°，
∴△OBM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴
∴BM＝，
∴AB＝4＋＝，
∴BC＝＝＝.
27.
(1)证明：
如答图1，连接OC，则OA＝OC，
则∠OAC＝∠OCA＝α.∵∠CAD＝∠CAB＝α，
∴∠DAC＝∠OCA＝α，
∴AD∥CO.又∵CD⊥AD，
∴CO⊥CD，∴PC是⊙O的切线．
答图1　　
,
答图2
(2)解：
由(1)知PC是⊙O的切线，则∠BCP＝∠CAB＝α，即?tanα＝，则sinα＝，
cosα＝.
∵∠DAC＝∠CAB＝α，
∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AD·BC＝AC·CD.
设圆的半径为R，则AC＝ABcosα＝2R×＝，
CD＝ACsinα＝，
∴AD·BC＝AC·CD＝＝4m2，
∴R＝m.
(3)解：
如答图2，连接OF，OC，CF平分∠ACB，则FO⊥AB.
∵∠ECP＝90°－∠OCE，∠CEP＝90°－∠OFC，而∠OCE＝∠OFC，
∴∠ECP＝∠CEP，∴PC＝PE.
又∵BF＝5＝R，∴R＝5，
∴AD＝ACcosα＝×＝8，同理CD＝4.
∵CO∥AD，∴＝，即＝，
解得PC＝，∴PE＝PC＝.
28.
(1)证明：
如答图1，连接AF.
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∴∠FAG＝90°，
∴∠BGF＋∠AFG＝90°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB＋∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°.
又∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线．
答图1　　
答图2
(2)解：
如答图2，①连接CF，则∠ACF＝∠ABF.
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO(?SSS?)，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，∴AO∥CF，
∴＝.
∵半径是4，OD＝3，∴DF＝1，BD＝7，
∴＝＝3，即CD＝AD.
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，∴＝，
∴AD·CD＝BD·DF，
∴AD·CD＝7，即AD2＝7，
∴AD＝(取正值)．
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴∠ODC＝90°或∠COD＝90°.
当∠ODC＝90°时，
∵∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝2，BD＝6，
∴AD＝CD，
∴AD·CD＝AD2＝12，
∴AD＝2，∴AC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12.
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝4.
延长AO交BC于点M，如答图3.
则AM⊥BC，
∴MO＝2，
∴AM＝4＋2，
答图3
24