2020年秋沪科版八年级数学上册第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章末达标测试(word版，含答案)

章末达标测试
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．100°
2．已知等腰三角形两边长是8
cm和4
cm，那么它的周长是(　　)
A．12
cm
B．16
cm
C．16
cm或20
cm
D．20
cm
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)
A．a不垂直于c
B．a，b都不垂直于c
C．a与b相交
D．a⊥b
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(　　)
A．，，
B．1，，
C．6，7，8
D．2，3，4
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是(　　)
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．10
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是(　　)
A．∠CAD＝30°
B．AD＝BD
C．BE＝2CD
D．CD＝ED
8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为(　　)
A．7
B．14
C．17
D．20
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：
①∠DEF＝∠DFE；
②AE＝AF；
③DA平分∠EDF；
④EF垂直平分AD.
其中结论正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．
12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．
13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．
14．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．
16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．
17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰三角形ABC底角的度数为________．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．
19．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为________．
20．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．
三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)
21．已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．
求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
23．如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画图．
(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上；
(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D中任意两点都不在同一条网格线上．
25．如图，已知△ABC是边长为6
cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1
cm/s，点Q运动的速度是2
cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t
s，解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
26．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式　等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题．
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
答案
一、1.D　2.D　3.C　4.B
5．C　点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ACB＝×(180°－30°)＝75°.
∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°－30°＝115°.
∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.∴∠2＝115°－75°＝40°.
6．C　7.C　8.D　9.C
10．C　点拨：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.∴AD垂直平分EF.∴①②③正确，④不正确．
二、11.110°　12.3　
13．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假
14．20°　15.2　16.70°
17．45°或15°或75°　点拨：如图①，AC是底边，AB＝CB.
∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC.
∵BD＝AC，∴AD＝BD.
∴∠A＝∠ABD＝45°.
如图②，BC是底边，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵BD＝AC，∴BD＝AB.
又∵BD⊥AC，∴∠BAD＝30°.
∵∠BAD＝∠ABC
＋∠C
＝2∠C，∴∠C＝15°.
如图③，BC是底边，同理可得∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝75°.
若AB是底边，同理可得等腰三角形ABC底角的度数为15°或75°.
综上，等腰三角形ABC底角的度数为45°或15°或75°.
18．2　点拨：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA＝90°.∴∠DAC＝∠ECB.
又∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE.
∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝1.
∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.
19．3
20．4　点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，连接ME，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵△ABC是等边三角形，
∴AF＝AB＝6，∴CF＝＝6，E′F＝AF－AE′＝2，
∴CE′＝＝4.
三、21.解：如图，△PBD为所求作的三角形．
　
22．(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2.
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3.
23．(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE，CD是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由：∵△BDC≌△CEB，
∴DC＝EB.
∵OB＝OC，
∴OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴点O在∠BAC的平分线上．
24．解：(1)如图①所示．
(2)如图②所示．
25．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．
理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6
cm，
∴t＝＝3.
∴AP＝3
cm.
∴BP＝AB－AP＝3
cm＝AP.
∴点P为AB的中点．∴PQ⊥AB.
(2)能．
∵∠B＝60°，
∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．
∴6－t＝2t，解得t＝2.
∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．
26．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.
故∠B为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个．
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．