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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.3解一元二次方程（公式法）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21教育网
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2-1-c-n-j-y
1．（2020?黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．k
B．k
C．k＞4
D．k且k≠0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，
解得：k．
故选：B．
2．（2019秋?沈河区期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．2x2﹣x﹣1＝0
D．2x2﹣x+1＝0
【分析】根据判别式即可求出答案．
【解析】（A）△＝4，故选项A有两个不同的实数根；
（B）△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；
（C）△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；
（D）△＝1﹣8＝﹣7，故选项D有两个不同的实数根；
故选：D．
3．（2020?武侯区模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞3
B．k≥﹣3
C．k＞﹣3且k≠﹣2
D．k≥﹣3且k≠﹣2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】由题意可知：△＝4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥﹣3，
∵k+2≠0，
∴k≥﹣3且k≠﹣2，
故选：D．
4．（2020?英德市模拟）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．0
D．±2
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2m）2﹣4×4＝0，然后解关于m的方程即可．
【解析】根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4×4＝0，
解得m＝±2．
故选：D．
5．（2020?武汉模拟）关于x的方程2x2+3x﹣7＝0的根的情况，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】由题意可知：△＝9+4×2×7＞0，
故选：A．
6．（2020?安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2x
B．x2+1＝0
C．x2﹣2x＝3
D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．21世纪教育网版权所有
【解析】A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
7．（2020?荆州）定义新运算
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“a
b”：对于任意实数a，b，都有a
b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4
3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）21
cnjy
com
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【出处：21教育名师】
【解析】∵x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（2019秋?富平县期末）若关于x的一元二次方程x（x﹣1）+bx＝0有两个相等的实数根，则实数b的值为（ ）【版权所有：21教育】
A．﹣1
B．1
C．﹣2或2
D．﹣3或1
【分析】先将方程整理为一般式，再由方程有两个相等的实数根得出△＝（b﹣1）2﹣4×1×0＝0，解之可得答案．
【解析】将方程整理为一般式可得x2+（b﹣1）x＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4×1×0＝0，
解得b＝1，
故选：B．
9．（2020?鹿邑县二模）关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）﹣p2＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根
D．条件不足，无法计算
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝16+4p2＞0，然后根据判别式的意义进行判断．
【解析】原方程整理为：x2﹣2x﹣（3+p2）＝0，
∵△＝（﹣2）2+4（3+p2）＝16+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
10．（2020?攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1
B．
C．0
D．1
【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．21cnjy.com
【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?二道区一模）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的判别式的值为 0 ．
【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝1代入△＝b2﹣4ac中计算即可．
【解析】∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0．
故答案为0．
12．（2019秋?新安县期中）方程3x2+x﹣1＝0的解是 x ．
【分析】根据公式法即可求出答案．
【解析】∵3x2+x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝1+12＝13，
∴x
故答案为：x．
13．（2019春?高邑县期末）若非零实数a、b满足a2+4b2＝4ab，则的值为 2 ．
【分析】由已知等式得出（a﹣2b）2＝0，据此知a＝2b，再代入计算可得．
【解析】∵a2+4b2＝4ab，
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
则（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
则2，
故答案为：2．
14．（2020?丹东）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m且m≠﹣1 ．www.21-cn-jy.com
【分析】根据方程有两个实数根，得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于0，确定出m的范围即可．
【解析】∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，
解得：m且m≠﹣1．
故答案为：m且m≠﹣1．
15．（2020?龙岗区校级模拟）关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是 m ．21教育名师原创作品
【分析】分m≠0和m＝0分别求解可得．
【解析】当m≠0时，∵关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m；
当m＝0时，方程为2x＝0，
解得x＝0；
综上，m；
故答案为：m．
16．（2018春?开福区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校级期中）在实数范围内定义一种运算“
”，其运算法则为a
b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①
2b＝0，则a
b＝b
a；③（x+2）
（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）
1＝1的根是x1，x2．21
cnjy
com
【分析】根据运算法则为a
b＝a2﹣ab，一一判断即可；
【解析】
（）22，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a
b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b
a，②正确；
（x+2）
（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）
1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）
1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1，x2，④正确．
故答案为：①②④
17．（2019秋?肥城市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，请写出一个满足条件的m值 5（答案不唯一） ．21·cn·jy·com
【分析】根据方程没有实数根得到其根的判别式小于0，据此得到m的取值范围，然后从中找到一个值即可．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＜0，
解得：m＞4，
∴满足条件的m值5（答案不唯一）．
故答案为：5（答案不唯一）．
18．（2019春?萧山区期末）当0＜m＜3时，一元二次方程x2+mx+m＝0的根的情况是 无实数根 ．
【分析】写出一元二次方程的判别式△，由已知m的范围，得出△＜0，从而问题可解．
【解析】∵a＝1，b＝m，c＝m
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4m＝m（m﹣4）
∵0＜m＜3
∴m﹣4＜0
∴m（m﹣4）＜0
∴△＜0
∴一元二次方程x2+mx+m＝0没有实数根．
故答案为：无实数根．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?昌图县校级一模）请用合适的方法解方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）整理为一般式后，利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）∵a＝4，b＝﹣8，c＝1，
∴△＝（﹣8）2﹣4×4×1＝48＞0，
则x；
（2）方程整理为一般式，得：x2﹣5x﹣6＝0，
则（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
解得：x＝6或x＝﹣1．
20．（2019秋?云梦县期末）解方程：
（1）x2﹣10x+15＝0
（2）x2+3x﹣9＝0
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解析】（1）∵x2﹣10x＝﹣15，
∴x2﹣10x+25＝﹣15+25，即（x﹣5）2＝10，
则x﹣5＝±，
∴x＝5；
（2）∵x2+3x﹣9＝0，
∴a＝1，b＝3，c＝﹣9，
∴△＝（3）2﹣4×1×（﹣9）＝45+36＝81＞0，
则x．
21．（2020?怀柔区模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．
（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．
∵12﹣4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
（2）∵m≤3且m≠2，
∴m＝1或3，
∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1，x2＝﹣1．
当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．
22．（2019秋?叙州区期末）已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．
【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；2·1·c·n·j·y
（2）m的最小正整数为1，此时方程化为x2﹣x﹣1＝0，然后利用求根公式法解方程．
【解析】（1）根据题意得m≠0且△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）＞0，
解得m且m≠0；
（2）根据题意得m＝1，
此时方程化为x2﹣x﹣1＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
x，
所以x1，x2．
23．（2020春?海淀区校级月考）关于x的方程x2﹣4x+3m﹣2＝0有两个不等实根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】利用判别式的意义得到m＜2，则m＝1，原方程变形为x2﹣4x+1＝0，然后利用求根公式解方程即可．21·世纪
教育网
【解析】根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（3m﹣2）＞0，
解得m＜2，
而m为正整数，
所以m＝1，
原方程变形为x2﹣4x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝2．
24．（2020春?玄武区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；www-2-1-cnjy-com
（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
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精品试卷·第
2
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.3解一元二次方程（公式法）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
2·1·c·n·j·y
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【来源：21·世纪·教育·网】
1．（2020?黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．k
B．k
C．k＞4
D．k且k≠0
2．（2019秋?沈河区期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．2x2﹣x﹣1＝0
D．2x2﹣x+1＝0
3．（2020?武侯区模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）21cnjy.com
A．k＞3
B．k≥﹣3
C．k＞﹣3且k≠﹣2
D．k≥﹣3且k≠﹣2
4．（2020?英德市模拟）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．0
D．±2
5．（2020?武汉模拟）关于x的方程2x2+3x﹣7＝0的根的情况，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．（2020?安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2x
B．x2+1＝0
C．x2﹣2x＝3
D．x2﹣2x＝0
7．（2020?荆州）定义新运算“a
b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)”：对于任意实数a，b，都有a
b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4
3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）21·cn·jy·com
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
8．（2019秋?富平县期末）若关于x的一元二次方程x（x﹣1）+bx＝0有两个相等的实数根，则实数b的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．﹣1
B．1
C．﹣2或2
D．﹣3或1
9．（2020?鹿邑县二模）关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）﹣p2＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根
D．条件不足，无法计算
10．（2020?攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1
B．
C．0
D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?二道区一模）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的判别式的值为
．
12．（2019秋?新安县期中）方程3x2+x﹣1＝0的解是
．
13．（2019春?高邑县期末）若非零实数a、b满足a2+4b2＝4ab，则的值为
．
14．（2020?丹东）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是
．
15．（2020?龙岗区校级模拟）关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是
．
16．（2018春?开福区校级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）在实数范围内定义一种运算“
”，其运算法则为a
b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是
．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①
②若a+b＝0，则a
b＝b
a；③（x+2）
（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）
1＝1的根是x1，x2．www.21-cn-jy.com
17．（2019秋?肥城市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，请写出一个满足条件的m值
．21·世纪
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18．（2019春?萧山区期末）当0＜m＜3时，一元二次方程x2+mx+m＝0的根的情况是
．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?昌图县校级一模）请用合适的方法解方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12
20．（2019秋?云梦县期末）解方程：
（1）x2﹣10x+15＝0
（2）x2+3x﹣9＝0
21．（2020?怀柔区模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
22．（2019秋?叙州区期末）已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．
23．（2020春?海淀区校级月考）关于x的方程x2﹣4x+3m﹣2＝0有两个不等实根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．21教育网
24．（2020春?玄武区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
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