中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.4解一元二次方程（因式分解法）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21·cn·jy·com
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
www.21-cn-jy.com
1．（2020?秦皇岛一模）方程x2+x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0
B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝1
D．x1＝0，x2＝﹣1
2．（2019秋?玄武区期末）一元二次方程x2＝﹣3x的解是（ ）
A．x＝0
B．x＝3
C．x1＝0，x2＝3
D．x1＝0，x2＝﹣3
3．（2019秋?耒阳市期末）一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（ ）
A．x＝6
B．x
C．x1＝6，x2
D．x1＝﹣6，x2
4．（2020?营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
5．（2020?黔东南州）若菱形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．16
B．24
C．16或24
D．48
6．（2019秋?鄄城县期末）解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（ ）
A．.直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
7．（2019秋?汾阳市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（ ）21cnjy.com
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
8．（2019秋?江津区期中）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（ ）21·世纪
教育网
A．10
B．10或8
C．9
D．8
9．（2019秋?青浦区校级月考）已知三角形的两条边分别是2和4，第三边是方程x2﹣9x+18＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．9或12
B．9
C．12
D．不能确定
10．（2020春?莆田月考）给
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（ ）2·1·c·n·j·y
A．x＝3
B．x＝﹣3
C．x1＝0，x2＝3
D．x1＝0，x2＝﹣3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?新化县期末）一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是
．
12．（2019秋?建邺区期末）方程x2＝2020x的解是
．
13．（2020?无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是
．
14．（2020春?沙坪坝区校级月考）方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为
．
15．（2019秋?端州区期末）方程x（x﹣2）﹣x+2＝0的正根为
．
16．（2020?天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为
．21世纪教育网版权所有
17．（2020?宜城市模拟）一个菱形的边长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为
．2-1-c-n-j-y
18．（2020?呼和浩特一模）若
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是
；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是
．21
cnjy
com
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?高淳区期末）解方程：x2﹣3x＝2（3﹣x）．
20．（2020春?新昌县期末）解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
21．（2018秋?定州市期中）根据要求解方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；
（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．
22．（2019秋?昭通期中）等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？21教育网
23．（2020?定海区模拟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．【来源：21cnj
y.co
m】
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x第四步
小明的解法从第几步开始岀现错误？请你写出正确的求解过程．
24．（2019秋?太仓市期中）阅读理解以下内容，解决问题：
例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，
原方程化为：x2+x﹣2＝0．
解得x1＝1，x2＝﹣2，
∵x≥0，∴x2＝﹣2舍去
（2）当x＜0时，
原方程化为：x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1
∵x＜0，∴x1＝2舍去
综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．
依照上述解法，解方程：x2﹣2|x﹣2|﹣4＝0．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.4解一元二次方程（因式分解法）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【来源：21cnj
y.co
m】
1．（2020?秦皇岛一模）方程x2+x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0
B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝1
D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】利用因式分解法解方程得出答案．
【解析】x2+x＝0
x（x+1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：D．
2．（2019秋?玄武区期末）一元二次方程x2＝﹣3x的解是（ ）
A．x＝0
B．x＝3
C．x1＝0，x2＝3
D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据因式分解法解方程即可求解．
【解析】x2＝﹣3x，
x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3．
故选：D．
3．（2019秋?耒阳市期末）一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（ ）
A．x＝6
B．x
C．x1＝6，x2
D．x1＝﹣6，x2
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解析】∵x（3x+2）＝6（3x+2），
∴（x﹣6）（3x+2）＝0，
∴x＝6或x，
故选：C．
4．（2020?营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解法解方程．
【解析】（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
故选：D．
5．（2020?黔东南州）若菱形ABCD的一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）21cnjy.com
A．16
B．24
C．16或24
D．48
【分析】解方程得出x＝4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．www-2-1-cnjy-com
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6．（2019秋?鄄城县期末）解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（ ）
A．.直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
【分析】先移项得到（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，然后根据因式分解法解方程．
【解析】（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0
解得：x1，x2＝1．
故选：D．
7．（2019秋?汾阳市期末）定义：如果一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（ ）21
cnjy
com
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．
【解析】A、方程x2﹣16＝0的实数根是4，x2＝25的实数根是5，
∵4：4＝5：5，
∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；
B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，
∵6：6＝﹣2：﹣2，
∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；
C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，
∵0：7≠﹣3：2，
∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；
D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，
∵﹣2：﹣8＝1：4，
∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程；
故选：C．
8．（2019秋?江津区期中）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（ ）【出处：21教育名师】
A．10
B．10或8
C．9
D．8
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，再根据三角形三边的关系得到这个等腰三角形的腰为4，底边为2，然后计算这个三角形的周长．【版权所有：21教育】
【解析】x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝2，
因为2+2＝4，
所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2，
所以这个三角形的周长为4+4+2＝10．
故选：A．
9．（2019秋?青浦区校级月考）已知三角形的两条边分别是2和4，第三边是方程x2﹣9x+18＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）21·世纪
教育网
A．9或12
B．9
C．12
D．不能确定
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣9x+18＝0得到x1＝3，x2＝6，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长，再计算三角形周长．21教育名师原创作品
【解析】x2﹣9x+18＝0
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，三角形的周长为2+4+3＝9；
当x＝6时，2+4＝6，不符合三角形三边的关系，应舍去．
故选：B．
10．（2020春?莆田月考）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（ ）21教育网
A．x＝3
B．x＝﹣3
C．x1＝0，x2＝3
D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．
【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，
∴3x2＝9x，
3x2﹣9x＝0，
3x（x﹣3）＝0，
3x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?新化县期末）一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是 x1＝2，x2＝3 ．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故答案为：x1＝2，x2＝3．
12．（2019秋?建邺区期末）方程x2＝2020x的解是 x1＝0，x2＝2020 ．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x1＝0，x2＝2020，
故答案为：x1＝0，x2＝2020．
13．（2020?无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝1．
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
14．（2020春?沙坪坝区校级月考）方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为 x＝1或x＝2 ．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】∵（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝1或x＝2，
故答案为：x＝1或x＝2．
15．（2019秋?端州区期末）方程x（x﹣2）﹣x+2＝0的正根为 x＝1或x＝2 ．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1，
故答案为：x＝1或x＝2．
16．（2020?天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为 13 ．21世纪教育网版权所有
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．2·1·c·n·j·y
【解析】∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故答案为：13．
17．（2020?宜城市模拟）一个菱形的边长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 24 ．2-1-c-n-j-y
【分析】利用因式分解法解方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程得到x1＝2，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【解析】x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝28，
∴菱形的面积6×8＝24．
18．（2020?呼和浩特
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一模）若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是 x＝0 ；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 x＝0或x＝1 ．21
cnjy
com
【分析】第一个方程两边都除以a可得；第二个方程利用因式分解法求解可得．
【解析】∵a≠0，
∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，
解得x＝0；
∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x＝0或x＝1，
故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?高淳区期末）解方程：x2﹣3x＝2（3﹣x）．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】左边提取﹣x得：﹣x（3﹣x）＝2（3﹣x），
移项，得﹣x（3﹣x）﹣2（3﹣x）＝0，
（﹣x﹣2）（3﹣x）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
20．（2020春?新昌县期末）解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）∵x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
则x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），
∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，
∴（x+3）（﹣x+4）＝0，
则x+3＝0或﹣x+4＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝4．
21．（2018秋?定州市期中）根据要求解方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；
（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．
【分析】（1）直接求出△＝b2﹣4ac＝25，进而利用公式法解方程即可；
（2）直接利用配方法解方程得出答案；
（3）直接利用提取公因式法解方程得出答案．
【解析】（1）∵△＝b2﹣4ac＝25＞0，
∴x，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（2）x2+4x﹣12＝0，
x2+4x＝12，
（x+2）2＝16，
则x+2＝±4，
解得：x1＝﹣6，x2＝2；
（3）（x+4）2＝7（x+4）
（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，
则x+4＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4．
22．（2019秋?昭通期中）等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？21·cn·jy·com
【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形三边关系判断是否构成三角形，继而可得答案．
【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，
当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；
当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8．
23．（2020?定海区模拟）小明同学在解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．www.21-cn-jy.com
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x第四步
小明的解法从第几步开始岀现错误？请你写出正确的求解过程．
【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可．
【解析】小明的解法从第一步开始出现错误；
3x2﹣8x（x﹣2）＝0，
x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，
x（﹣5x+16）＝0，
解得：x1＝0，．
24．（2019秋?太仓市期中）阅读理解以下内容，解决问题：
例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，
原方程化为：x2+x﹣2＝0．
解得x1＝1，x2＝﹣2，
∵x≥0，∴x2＝﹣2舍去
（2）当x＜0时，
原方程化为：x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1
∵x＜0，∴x1＝2舍去
综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．
依照上述解法，解方程：x2﹣2|x﹣2|﹣4＝0．
【分析】分为两种情况：当x≥2和x＜2，得出两个一元二次方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】x2﹣2|x﹣2|﹣4＝0，
当x﹣2≥0，即x≥2时，
原方程化为：x2﹣2（x﹣2）﹣4＝0．
解得：x1＝0，x2＝2，
∵x≥2，∴x2＝0舍去；
（2）当x﹣2＜0，即x＜2时，
原方程化为：x2﹣2（2﹣x）﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4，
∵x＜2，∴x1＝2舍去；
综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣4．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
